A concepção de filtros de passagem baixa e passa alta é uma tarefa fundamental na engenharia de radiofrequências (RF) e micro-ondas. Estes filtros passam selectivamente sinais abaixo ou acima de uma frequência de corte especificada, atenuando outros, tornando- os essenciais para o condicionamento de sinais, selecção de frequências e correspondência de impedância. Entre as várias abordagens de design, o gráfico Smith destaca- se como uma ferramenta gráfica que simplifica os cálculos de impedância complexos inerentes à síntese de filtros. Ao visualizar as transformações de impedância e de coeficiente de reflexão, os engenheiros podem desenhar filtros com precisão e intuição. Este artigo explora a teoria e a prática de desenhar filtros de passagem baixa e de passagem alta usando as técnicas de gráficos de Smith, fornecendo um fluxo de trabalho detalhado das especificações iniciais à selecção e verificação de componentes.

O Gráfico Smith: Uma Fundação para o Desenho de Filtros

O gráfico de Smith é um gráfico polar do coeficiente de reflexão complexo Esta, sobreposto com resistência constante e círculos de reatância constantes. Originalmente desenvolvido por Phillip H. Smith na década de 1930, permanece como uma pedra angular do desenho de RF porque transforma equações de impedância complicadas em operações geométricas simples. Uma impedância normalizada z = Z / Z0 (onde Z0 é a impedância característica do sistema, tipicamente 50

Para o desenho do filtro, o gráfico Smith permite aos engenheiros determinar os elementos reactivos necessários (capacitores e indutores) que transformam uma impedância de entrada numa impedância de saída ao atingir a resposta de frequência desejada. Ao plotar a impedância normalizada na frequência de corte e depois seguir círculos de resistência constante ou de condutância constante, pode- se deduzir os valores de elementos de série ou shunt. Esta abordagem gráfica elimina a necessidade de resolver equações transcendentais e fornece uma visão imediata da largura de banda e dos trade-offs correspondentes. O software de simulação moderna incorpora frequentemente o gráfico Smith como uma ferramenta de visualização, mas compreender a técnica manual promove uma intuição mais profunda para ajustes paramétricos e compensação parasitária.

Propriedades-chave para o desenho do filtro:

  • Círculos de resistência constantes – linhas horizontais? Na verdade, resistência constante aparece como círculos tangentes ao ponto mais à direita. Estes são úteis quando se adiciona a reactância em série.
  • Arcs de reatância constante – estes se cruzam com o eixo real em pontos específicos e indicam a trajetória de impedância como mudanças de frequência.
  • Transformação de admissão – girar um ponto em 180° em torno do centro converte impedância em admissão, o que é útil quando se analisam elementos shunt.

Para alavancar estas propriedades, os designers devem tornar-se fluentes na leitura do gráfico: mover-se ao longo de um círculo de resistência constante corresponde à adição de indutância em série (no sentido horário) ou capacitância (no sentido anti-horário), enquanto que mover ao longo de um círculo de condutância constante corresponde à adição de indutância ou capacitância shunt. Estes movimentos formam a base para sintetizar redes de filtro de passa baixa e passa alta.

Desenhando filtros de baixo passo com o gráfico Smith

Um filtro passa-baixo (LPF) passa frequências de DC até uma frequência de corte fc[[ e atenua os sinais acima dele. A resposta ideal tem perda de inserção zero na faixa de passagem e rejeição infinita na faixa de paragem, mas os filtros práticos conseguem um roll-off gradual determinado pelo número de elementos reactivos (ordem). As configurações comuns do protótipo incluem Butterworth (banda passa- plano máxima), Chebyshev (corte de raspão com ondulação) e Bessel (fase linear). O gráfico Smith ajuda na tradução destes protótipos para valores de componentes exatos para um dado nível de impedância.

Procedimento de projeto LPF passo a passo

Passo 1: Define especificações. Escolha a frequência de corte f[c[[, impedância do sistema Z0 (por exemplo, 50

Passo 2: Normalizar e plotar a impedância no ponto de corte. Na frequência de corte, a impedância de entrada do filtro é puramente real e igual a Z0. Portanto, a impedância normalizada z = 1 + j0] é o ponto de partida no centro do gráfico de Smith.

Passo 3: Sintetizar os componentes através de trajetórias de gráficos. Para uma topologia de série-primeiro, shunt-segundo (típico para LPF), o projeto segue o seguinte:

  • [[FLT: 0]] Primeiro elemento (indutor da série):[[FLT: 1]] Adicionando um indutor de série move o ponto de impedância ao longo de um círculo de resistência constante no sentido horário (aumento da reatância indutiva). A reatância normalizada requerida [[FLT: 2]]x[[FLT: 3]]L[[[FLT: 4]][ = g1 (inductância normalizada) = 1 para Butterworth. No gráfico, localize o círculo de resistência constante para r=1, então mova- se ao longo dele do centro (z=1) até o ponto em que a reatância normalizada é igual a 1. Esta é a intersecção do círculo r=1 com o arco x=1. A nova impedância é [[FLT: 6]]z = 1 + j1[FLT: 7].
  • [[FLT: 0]] Segundo elemento (capacitor de caça):[[FLT: 1]] É mais fácil trabalhar na admissão ao adicionar elementos shunt. Rodar o ponto de impedância 180° em torno do centro para obter a admitância correspondente [[FLT: 2]y = 0,5 - j0.5[[FLT: 3]. Adicionando um capacitor de shunt aumenta a suscetância para cima (parte imaginária positiva). A suscetância normalizada necessária [[FLT: 4]]b[[C[[FLT: 6]][[[FLT: 7] = g2 = 2. No gráfico de Smith de admitância (ou usando o mesmo gráfico com interpretação de admitância), mova- se do ponto de admitância para cima ao longo de um círculo de condutância constante (g=0,5) até que a suscetância total se torne y = 0,5 + j1.5[FT:9].
  • [[FLT: 0]]Terceiro elemento (indutor da série):[[FLT: 1]] Rodar para impedância: o novo ponto de admitância (0,5 + j1.5) dá uma impedância de [[FLT: 2]]z = 0,2 - j0.6[[FLT: 3]]. Adicionando o indutor da série final se move ao longo do círculo de resistência constante r=0.2 no sentido horário. A reatância normalizada necessária é g3 = 1. O movimento termina em [[FLT: 4]]z = 1 + j0 (centro), confirmando que a rede é perfeitamente compatível na frequência de corte.

Passo 4: Desnormalizar componentes. Converta a reatância e suscetância normalizadas para valores físicos usando a frequência de corte:

  • Indutância: L = (xL * Z0) / (2π fc[]]]][]
  • Capacidade: C = bC / (2π fc[ * Z0)

Para fc = 1 GHz e Z0 = 50 ↔, o primeiro indutor torna-se 7,96 nH, o capacitor de shunt 6,37 pF e o segundo indutor também 7,96 nH.

Verificação e Ajuste

Após a construção do filtro, plote a impedância em várias frequências através da faixa de passagem e da faixa de paragem no gráfico Smith. Em frequências baixas (bem abaixo de f]c[, a impedância deve permanecer perto de 50

Topologias e Protótipos Alternativos

O mesmo procedimento se aplica aos protótipos de Chebyshev e elípticos, mas os valores de reatância e suscetância normalizados são diferentes. Para um Chebyshev LPF com ondulação de 0,1 dB, g1 = 0,843, g2 = 0,622, g3 = 1,355. As trajetórias do gráfico Smith terminarão no mesmo centro apenas se a ordem for estranha; para ordens iguais, o filtro poderá necessitar de um transformador de impedância em uma porta. O gráfico também pode ser usado para desenhar seções π- e T trocando sequências de séries e elementos shunt. Em todos os casos, a natureza gráfica do gráfico de Smith revela como a espiral de impedância converge para a condição combinada.

Desenhando filtros de alto passe com o gráfico Smith

Os filtros passa- altas frequências (HPF) passam acima do ponto de corte e atenuam as frequências baixas. São duals de filtros passa-baixa: condensadores de série substituem indutores de série e indutores de shunt substituem os condensadores de shunt. O procedimento de desenho é análogo, mas os movimentos de impedância no gráfico de Smith estão na direção oposta porque a reatância capacitiva diminui com a frequência (parte imaginária negativa movendo-se no sentido anti- horário para elementos de série) e a suscetância indutiva diminui com a frequência (parte imaginária negativa movendo- se para baixo no gráfico de admitância para elementos de shunt).

Procedimento de projeto de HPF passo a passo

[[FLT: 0]]Passo 1: Obter protótipo passa-baixa normalizado.[[FLT: 1]] Use os mesmos valores-g de um protótipo passa-baixa (por exemplo, Butterworth de terceira ordem: g1=1, g2=2, g3=1). Para um filtro passa-alta, os valores normalizados são convertidos através da transformação de frequência [[FLT: 2]s → 1/s[[[FLT: 3]]]. Os valores equivalentes de elementos passa-alta tornam-se: capacidade de série com suscetância normalizada = 1/g1, indutância shunt com reatância normalizada = 1/g2 e capacitância de série novamente com 1/g3.

Passo 2: Trace a impedância no ponto de corte. No ponto de corte, o filtro passa-alto também apresenta uma impedância correspondente de Z0, portanto o ponto de partida é novamente o centro do gráfico de Smith com z=1.

Passo 3: Componentes sintetizados através de trajetórias de gráficos (movendo-se no sentido anti-horário para a capacitância da série, para baixo para a indutância do shunt).

  • [[FLT: 0]] Primeiro elemento (capacitor da série):[[FLT: 1]] Um capacitor de série adiciona reagente capacitivo (negativo). Do centro, mova- se ao longo do círculo de resistência constante r=1 no sentido anti- horário. A reatância normalizada requerida [[FLT: 2]]x[[FLT: 3]]C[[[ FLT: 4]] = -1/g1 = - 1[[[ FLT: 5]]. A nova impedância é [[[ FLT: 6]]z = 1 - j1[ FLT: 7]].
  • [[FLT: 0]] Segundo elemento (indutor de caça): Rodar para admitância: [[FLT: 2]y = 0,5 + j0. 5[[FLT: 3]]. Adicionando um indutor de shunt aumenta a suscetância indutiva, o que é negativo no gráfico de admitância. A suscetância normalizada necessária [[FLT: 4]] b[[[FLT: 5] L[[[[FLT: 6] = -1/g2 = - 0. 5[[FLT: 7]]. Mover para baixo ao longo do círculo de condutância constante g=0. 5 até que a suscetância total se torne [ y = 0,5 - j0.0 ? Na verdade, a partir de y=0. 5+j0. 5, precisamos adicionar b=- 0, 5, portanto y = 0.5 + j0.0. Isto é uma conduta pura de 0,5.
  • Elemento terceiro (concapitor série): Rodar para trás para impedância: a admitância 0,5 + j0 dá impedância z = 2 + j0. Adicionando o capacitor da série final requer movimento no sentido anti-horário ao longo da resistência constante r=2. O reatância simulado requerido é o x[[[FLT-5]C[ = -1/g3 = -1. O movimento de z=2 a z=2 - j1 é o que ocorre normalmente. Para a impedância para retornar ao centro (z=1), o terceiro elemento deve também envolver uma transformação de impedacância com o uso de um filtro de alta passagem, o terceiro elemento deve ser também um capitor da série, mas após dois elementos a impedância é 2 - j1. Adicionando outra série capitor de x=1 é o i.

Síntese HPF corroída (terceira ordem Butterworth): Valores passa- elevados normalizados: C1 = 1 F, L2 = 0,5 H, C3 = 1 F. No ponto de corte, o filtro é pareado: impedância em todos os nós? Na verdade, a tabela padrão para passagem-alta dá valores de elementos diretamente. Para um 50

[[FLT: 0]]Abordagem simplificada: Use o gráfico de admissão Smith para elementos shunt. A partir do centro de impedância z=1 (admissão y=1). Para uma rede T passa- alta:

  1. Condensador da série: mover-se ao longo da resistência constante r=1 no sentido anti-horário por x=-1. Chegar a z=1-j1 (y=0,5+j0,5).
  2. Indutor Shunt: rotaciona para o espaço de admitância (já y=0,5+j0,5). Para adicionar o indutor shunt, precisamos adicionar suscetância indutiva positiva? A suscetância indutiva é negativa (desde que Y = jωC para capacitor, mas para indutor Y = 1/jωL = -j/(ωL)). Assim, adicionar um indutor no shunt reduz a suscetância total (torna-a mais negativa). A suscetância normalizada necessária para o indutor shunt é b L = -1/g2 = - 0,5 (desde g2=2). A partir de y=0,5+j0,5, subtrair 0,5 da parte imaginária: novo y = 0,5 + j0.0. Este é um ponto na linha de reatância zero.
  3. Rodar para a impedância: y=0,5+j0.0 dá z=2+j0. Agora adicione o capacitor final da série: mova- se para o sentido anti- horário ao longo de r=2 por x=-1. Chegar a z=2 - j1 (y=0,4+j0.2). Isto não corresponde ao centro. A razão é que a rede T passa- alta não é simétrica no sentido de impedância após cada elemento; o capacitor final da série deve ser escolhido de modo que a impedância global na entrada seja Z0. Na prática, os valores dos elementos são pré- calculados a partir de tabelas de protótipos, não derivadas de passo no gráfico. O gráfico é mais útil para a correspondência de impedância após o filtro ser desenhado, ou para verificar a resposta em várias frequências. Portanto, um uso mais prático do gráfico Smith para filtros de passa- alta é traçar a varredura de frequência e ajustar os componentes para alcançar o ponto de corte desejado e a perda de retorno. Alternativamente, pode- se desenhar o filtro de passa- alta como o complemento de impedância de um filtro de passo baixo usando o escopo de baixa velocidade, mas não- alvo de transformação.

Dica de desenho prática:] Em vez de síntese gradual, os designers começam frequentemente com um protótipo conhecido de passa baixa e convertem usando o gráfico: plote a trajetória de impedância de passa baixa na frequência de corte, inverta-a com relação ao centro (rota 180°) para obter a resposta de passa alta. Esta transformação dupla gráfica é menos comum, mas ilustra a simetria. Para a maioria dos trabalhos práticos, os engenheiros usam ferramentas de software que implementam essas transformações, mas entender os movimentos de gráfico subjacentes ajuda na depuração de medições de protótipos.

Verificação e seleção de componentes

Para um filtro passa-alta construído com componentes de montagem superficial, o gráfico Smith pode mostrar os parâmetros S medidos. Em frequências bem acima do ponto de corte, a impedância deve agrupar-se perto do centro (comparecido). À medida que a frequência diminui em direção ao ponto de corte, a impedância espirala para fora em direção ao circuito aberto ou curto, dependendo da topologia. Em DC, um filtro passa- alta bloqueia todos os sinais, de modo que a impedância de entrada se torna um circuito aberto (VSWR infinito) refletido como o ponto mais à direita no gráfico Smith. Ao sobrepor os dados medidos no gráfico, os engenheiros podem identificar ressonâncias parasitárias ou atenuação insuficiente e então adicionar elementos compensadores.

Técnicas Avançadas e Considerações Práticas

Além da síntese básica, o gráfico Smith facilita várias tarefas avançadas de desenho de filtros. Por exemplo, ao projetar filtros em vários estágios (por exemplo, quinta ordem), o gráfico ajuda a visualizar a transformação de impedância em cada seção. Cada etapa aproxima a impedância do centro na frequência de corte, mas afasta- a de outras frequências. Ao plotar os loci para várias frequências, o designer pode verificar que a resposta combinada atende aos requisitos de rejeição.

[[FLT: 0]] Combinando redes integradas com filtros: Frequentemente, um filtro também deve corresponder à impedância de entrada para uma fonte ou carga não- 50 . O gráfico Smith pode incorporar uma seção correspondente (por exemplo, uma rede L ou stub) diretamente no filtro, ajustando os valores do primeiro ou último elemento. Por exemplo, um filtro passa- baixo com uma entrada 75 ? pode ser desenhado iniciando o gráfico com uma impedância normalizada de z=1,5 (para 75 ? referência) e seguindo as mesmas trajetórias, mas escalando componentes de acordo. O elemento final restaura a impedância para 75 ? em vez de 50 ?.

Tratando-se de efeitos parasitários: Os indutores reais têm frequências autorressonantes e resistências em séries equivalentes (ESR), enquanto os capacitores têm indutância em série equivalente (ESL). Estes parasitários adicionam reactância espúria que altera a impedância no gráfico de Smith. Uma técnica comum é medir a impedância do componente em várias frequências e plotá-lo no gráfico, então ajustar os valores nominais para compensar. Por exemplo, se um capacitor destinado a um filtro de passa alta mostra comportamento indutivo acima da autorressonância, o filtro pode tornar-se baixo passo em altas frequências. O gráfico revela imediatamente tais anomalias dependentes da frequência.

Comparação com outros métodos de design: Embora o design de gráficos Smith seja gráfico e intuitivo, é limitado a complexidade moderada (até cerca de quinta ordem) devido ao esforço manual. Para pedidos mais elevados, ferramentas de software como ADS, HFSS ou MATLAB fornecem otimização. No entanto, o gráfico permanece especialmente útil para prototipagem rápida, fins educacionais e quando trabalha com equipamentos legados ou cálculos manuais. Também serve como uma ferramenta diagnóstica poderosa quando analisa dados de filtro medidos.

Para leitura adicional no gráfico de Smith fundamental, consulte o Guia do Microwaves101 para o gráfico de Smith básico. Um tutorial detalhado sobre o desenho do filtro usando o gráfico está disponível a partir de All About Circuits, que fornece exemplos passo a passo com valores de componentes reais. Para aqueles que procuram uma referência abrangente sobre a síntese de filtros de RF, o texto clássico de Matthaei, Young e Jones é inestimável, mas um recurso online prático é a página do gráfico do FR Café Smith , que inclui modelos de gráficos e ferramentas de calculadora para download.

Conclusão

O gráfico Smith continua a ser uma ferramenta duradoura para projetar filtros de passagem baixa e passa alta na engenharia de RF. Sua abordagem gráfica transforma cálculos de impedância tediosa em construções geométricas simples, permitindo que os engenheiros rapidamente sintetizem e verifiquem redes de filtro. Ao dominar a técnica de mover-se ao longo de constantes círculos de resistência e condutância constante, pode-se projetar Butterworth, Chebyshev e outros filtros protótipos com confiança. Além disso, o gráfico Smith serve como uma poderosa verificação e ajuda de solução de problemas quando se trabalha com componentes reais que incluem parasitários. Embora o software de simulação moderna tenha automatizado muitas dessas etapas, uma sólida compreensão das técnicas de gráfico Smith fornece uma visão mais profunda dos princípios subjacentes de impedância e resposta de frequência. Se usado para o projeto inicial ou ajuste final, o gráfico Smith continua a ser uma pedra angular da engenharia prática de filtro de RF.