Fundações Matemáticas de Filtros Kalman Extendidos na Localização de Robots

O filtro de Kalman estendido (EKF) é um algoritmo amplamente utilizado na localização do robô. Estima a posição e orientação do robô combinando dados do sensor com um modelo matemático do movimento do robô. Compreender as bases matemáticas do EKF é essencial para a implementação e ajuste eficazes.

Representação e previsão do Estado

O núcleo do EKF envolve representar o estado do robô como um vetor, tipicamente incluindo posição e orientação. A etapa de previsão usa um modelo de movimento não linear para projetar o estado atual para frente no tempo. Isto envolve calcular a matriz jacobiana do modelo de movimento para linearizar as equações não lineares em torno da estimativa atual.

Atualização de Medição e Linearização

As medições do sensor são incorporadas através da etapa de atualização. Como as medições são frequentemente funções não lineares do estado, o EKF lineariza essas funções usando seus jacobitas. Este processo ajusta o estado previsto com base na diferença entre leituras de sensores esperadas e reais.

Equações Matemáticas

As equações de predição são:

Previsão do Estado:

x , k + 1 - = f ( x , k , uk)

Previsão de covariância:

Pk+1− = Fk Pk Fkt + Qk

onde f é o modelo de movimento não linear, Fk é seu Jacobiano, P é a matriz de covariância, e Q é a covariância de ruído de processo.

As equações de atualização são:

[[FLT: 0]] Ganho de Kalman:

Kk = Pk− Hkt (Hk Pk− Hkt + Rk)−1

Actualização do Estado:

x'k = x'k- + Kk (zk - h(x'k-))

Actualização da covariância:

Pk = (I - Kk Hk) Pk−

Aqui, h é o modelo de medição não linear, Hk é seu Jacobian, Rk é a covariância de ruído de medição, e zk é a medição real do sensor.