Как рассчитать скорость оседания для разных типов частиц

Понимание того, как частицы оседают в жидкости, имеет основополагающее значение для областей, начиная от геологии и науки об окружающей среде до химической инженерии и фармацевтики. Скорость оседания - конечная скорость, с которой частица опускается под действием силы тяжести через жидкость или газ - определяет эффективность прояснителей, транспорт осадка в реках, образование осадочных пород и разделение клеток в биообработке. Точное предсказание этой скорости требует учета размера частиц, плотности, формы, вязкости жидкости и режима потока. Эта статья предоставляет всеобъемлющее руководство по расчету скорости оседания для различных типов частиц, от идеальных сфер до нерегулярных агрегатов, а также исследует управляющие уравнения, поправки и практические методы измерения.

Физика осадка: ключевые параметры

Осадок происходит, когда гравитационная сила, действующая на частицу, превышает плавучую силу, а вязкое сопротивление сопротивления ее движению. При конечной скорости гравитационная сила равна силе сопротивления. Основными параметрами, влияющими на это равновесие, являются:

Эти параметры объединяются в различные эмпирические и теоретические формулы для оценки конечной скорости оседания.Простейшей и наиболее широко используемой отправной точкой является закон Стокса, действительный для малых сферических частиц, оседающих в покоящейся жидкости в ламинарных условиях.

Закон Стокса и его предположения

Закон Стокса описывает силу сопротивления на сфере, движущейся при низком числе Рейнольдса (Re < 0.1). Скорость оседания терминала v для сферической частицы получается путем приравнивания силы тяжести (вес минус плавучесть) к силе сопротивления Стокса:

v = (2/9) · (r²) · (Δρ) · g/ η

где r — радиус частицы, g — гравитационное ускорение, а остальные символы — как определено выше.

  • Частица представляет собой жесткую сферу.
  • Жидкость несжимаема и ньютоновская.
  • Поток ламинарный (Re < 0.1), что означает, что вязкие силы доминируют над инерциальными силами.
  • Частицы находятся далеко от стенок и друг от друга (т.е. разбавленная суспензия).
  • Нет взаимодействия частица-частица, флокуляции или затрудненного оседания.

На практике многие природные и промышленные частицы нарушают одно или несколько из этих предположений. Например, песчинки нерегулярны, микробные клетки могут деформироваться, а флоки имеют фрактальные структуры. Тем не менее, Закон Стокса остается ценным исходным пунктом, из которого могут быть применены поправки. Подробное производное Закона Стокса можно найти в стандартных учебниках по механике жидкости или онлайн-ресурсах, таких как Wikipedia’s статья о законе Стокса’.

Расчет скорости для сферических частиц

При работе с приблизительно сферическими частицами (например, стеклянными бусинами, однородными латексными сферами или каплями масла) закон Стокса дает прямую оценку. Например, рассмотрим частицу кремнеземного песка с радиусом 50 μm (5 × 10 −5 m), плотностью 2650 кг/m³, оседание в воде при 20°C (ρ]f = 998 кг/m³, η = 1.002 × 10−3 Pa·s. Разница плотности Δρ = 1652 кг/m³ Используя g = 9.81 m/s²:

v = (2/9) · (5 × 10−5)² · 1652 · 9.81/ (1.002 × 10−3

Это дает v ≈ 0,009 м/с (9 мм/с. Число Рейнольдса Re = (998 · 0,009 · 1 × 10−4) / 0,001 ≈ 0,9, что немного выше предела режима Стокса (0,1), поэтому коррекция для умеренных чисел Рейнольдса может быть оправдана для большей точности. Для частиц меньше примерно 30 μm, Re обычно значительно ниже 0,1, и закон Стокса применяется непосредственно.

За пределами Стокса: переходные и турбулентные режимы

По мере увеличения размера частиц инерционные эффекты становятся значительными, а коэффициент сопротивления CD отклоняется от значения Стокса (CD = 24/Re. Для промежуточных чисел Рейнольдса (0.1 < Re < 1000)) стандартная кривая сопротивления. В этом режиме терминальная скорость может быть найдена путем решения баланса сил итеративно или с использованием эмпирических корреляций, таких как корреляция Шиллера-Наумана: CD = (24/Re)(1 + 0.15 Re0.687) для Re <800.

Для больших, быстрорассеивающих частиц (Re > 1000) коэффициент сопротивления становится приблизительно постоянным (C]D ≈ 0,44 для гладких сфер. Скорость оседания в правовом режиме Ньютона независима от вязкости и задается:

v = sqrt( (4 г d [ρ]p − ρf) / (3 ρ]f CD)

где d — диаметр частиц. Для гравийной частицы диаметром 2 мм, тонущей в воде, Re будет порядка сотен, и следует использовать уравнение турбулентного режима. Многие руководства по инженерному проектированию, такие как руководства из Инженерный инструментарий, предоставляют калькуляторы и таблицы для этих вычислений.

Пример: переходный режим

Возьмите кварцевую сферу диаметра 0,5 мм (ρ]p = 2650 кг/м³) в воде. Начните с угадывания скорости, вычислите Re, найдите CD, затем решите для v. Первоначальная догадка от Стокса (игнорирование коррекции Re) даёт v≈ 0,09 м/с, Re≈45. Используя Шиллера-Наумана, CD ≈ 1.1. Подключение к силовому балансу даёт v≈ 0,074 м/с. Повторение итерации даёт конвергенцию вокруг v = 0,072 м/с, Re = 36, CDD = 1.25. Итеративная коррекция необходима, когда закон Стокса переоценивает

Корректировка несферических частиц

Большинство природных и промышленных частиц не являются совершенными сферами. Их нерегулярная форма увеличивает силу сопротивления, уменьшает скорость оседания и делает характеристику более сложной. Стандартный подход заключается в определении форм-фактора (S или ψ]), который связывает сопротивление частицы с сопротивлением сферы того же объема. Общие факторы формы включают:

  • Сферичность (ψ): Отношение площади поверхности сферы того же объема, что и частица, к фактической площади поверхности частицы.Сферичность колеблется от 0 (чрезвычайно вытянутая или хлопчатобумажная) до 1 (идеальная сфера).
  • Коридный форм-фактор: Используется для частиц осадка; определяется как c/sqrt(ab), где a, b, c — самые длинные, промежуточные и короткие размеры.
  • Динамический фактор формы: Отношение силы сопротивления к реальной частице к тому, что на сфере того же объема и плотности с той же скоростью оседания. Этот фактор часто определяется эмпирически.

Для несферических частиц в уравнении Стокса используется эквивалентный диаметр (например, объемно-эквивалентный диаметр d]v или диаметр Стокса dst, а затем вычисленная скорость умножается на коэффициент коррекции, как правило, менее 1. Например, песчинки со сферичностью 0,7 могут оседать на 60-80% скорости, предсказанной для сферы той же массы и плотности. Подробные таблицы для коэффициентов коррекции формы доступны в ссылках на седиментологию, таких как исследования по оседанию естественных отложений.

Эмпирические корреляции для природных осадков

Многие исследователи предложили уравнения для скорости оседания натурального песка и частиц ила, которые включают форму. Одним из наиболее широко используемых является формула Soulsby (1997) для мелкого песка для грубого ила, которая использует метод лобового закона, но заменяет диаметр номинальным диаметром и применяет эмпирический коэффициент. Другой часто цитируемой корреляцией является уравнение Фергюсона-Церкви:

v = (g Δρd²) / (C1 η + sqrt(C2 g Δρd³)]

где C1 и C2 являются эмпирическими константами, зависящими от формы частиц (например, C1 ≈ 18 для природного песка, C2 ≈ 0,4 до 1,0 для сферических и угловых частиц).Это уравнение плавно переходит от режима Стокса (маленький d) к турбулентному режиму (большой d) и по своей сути учитывает форму через константы.

Замедленное урегулирование и концентрированные сыпь

Во многих промышленных процессах (например, оседание в загустителях, проясняющих сточные воды) концентрация частиц слишком высока, чтобы игнорировать взаимодействия. При затрудненном оседании нисходящее движение каждой частицы затруднено восходящим смещением жидкости и столкновениями с соседями. Эффективная скорость оседания vh меньше конечной скорости изолированной частицы. Наиболее популярной моделью является уравнение Ричардсон-Заки:

vh = vt · (1 − φ)n

где φ - объемная фракция твердых тел, и n - экспонента, зависящая от числа частиц Рейнольдса при бесконечном разведении (Ret.Для Ret <0,2 (ламинар), n ≈ 4,65; для промежуточного Re, n уменьшается, и для полностью турбулентного (Ret >500), n ≈ 2.4.Корреляция Ричардсона-Заки широко используется при проектировании резервуаров для оседания и подробно обсуждается в теории замедляемого оседания.

Эффект флокуляции

В обработке воды и многих природных средах частицы не являются индивидуальными, но образуют агрегаты (флоксы), которые имеют фрактальную структуру. Плотность флока уменьшается с увеличением размера флока из-за внутренней пористости, а скорость оседания флока часто следует силовому закону отношения с диаметром флока. Например, глиняные флоки могут иметь скорости оседания, описанные v = k d m , где m составляет около 1-2 (гораздо ниже, чем мощность 2, ожидаемая от закона Стокса. floc floc f p p ff]ffff − 3 [[

Практические методы измерения скорости оседания

Хотя теоретические и эмпирические формулы полезны, прямое измерение часто необходимо для гетерогенных или нерегулярных частиц.

  • Метод Андреасена пипетки: Классический метод для осадков; пробе разрешается селиться в калиброванном цилиндре, а аликоты выводятся в разное время для определения распределения размера частиц по кумулятивной массе.
  • Седиментационный баланс: Масса оседлого материала на погруженной кастрюле записывается с течением времени, а скорость выводится из кривой накопления.
  • Лазерные дифракционные системы: Такие приборы, как Malvern Mastersizer, используют принцип лазерной дифракции для вывода распределения размеров частиц, из которого можно вычислить скорости оседания с использованием соответствующей модели сопротивления.
  • Видеомикроскопия: Прямое наблюдение за частицами, осевшими в клетке, позволяет отслеживать отдельные частицы, особенно полезные для изучения нерегулярных или флоккулентных частиц.

При измерении важно контролировать температуру (изменение вязкости и асимп; 2% на градус Цельсия для воды) и использовать достаточно разбавленные суспензии, чтобы избежать затрудненного оседания.

Приложения в разных отраслях

Точные расчеты скорости оседания имеют жизненно важное значение во многих областях:

  • Очистка воды и сточных вод: Конструкция первичных осветителей, вторичных резервуаров для осадков и загустителей осадка основана на распределении скорости осадков для достижения требуемого качества стоков.
  • Добыча и обработка полезных ископаемых: Классификация руд по размеру в гидроциклонах и загустителях использует модели затормаживания; конструкция хвостохранилища требует знания о том, как мелкие частицы консолидируются.
  • Океанография и транспортировка осадочных пород : Прогнозирование судьбы осадочных шлейфов из рек, дноуглубительных работ или глубоководной добычи зависит от скорости оседания песка, ила и глины, включая флоккуляцию в соленой воде.
  • Фармацевтические препараты и биотехнологии: Уборка клеток в центрифугировании и осадке; также для характеристики размера белковых агрегатов или эмульсий.
  • Экологическая инженерия: Моделирование удаления загрязняющих веществ в построенных водно-болотных угодьях, ливневых бассейнах и разделителях нефтяных вод.

В каждом случае тип частиц диктует, какая модель является подходящей.Например, в очистителях сточных вод, где присутствуют биологические флоки, используется фрактальная флоковая модель в сочетании с затрудненным оседанием, тогда как для удаления решётки на том же растении применяется закон Стокса с коррекцией формы.

Заключение

Расчет скорости оседания начинается с закона Стокса для простых сферических частиц в ламинарных условиях. Для более крупных или более быстро движущихся частиц коэффициент сопротивления должен быть скорректирован для перехода или турбулентного потока. Нерегулярные формы обрабатываются факторами формы и эмпирическими корреляциями, такими как уравнение Фергюсона-Церкови. В концентрированных суспензиях необходимы модели с затрудненным оседанием (Ричардсон-Заки), а для флокулирующих систем необходимо учитывать фрактальную природу агрегатов. Систематически применяя соответствующую модель для типа частиц и режима потока, инженеры и ученые могут точно предсказать поведение оседания, оптимизировать процессы разделения и лучше понять естественную динамику осадка.