Table of Contents

Почему уравнения Навье-Стокса имеют значение

Уравнения Навье-Стокса составляют математический костяк динамики жидкости. Они описывают, как скорость, давление, температура и плотность развиваются в движущихся жидкостях. Каждая капля дождя, каждый порыв ветра, каждая турбина реактивного двигателя и каждая кровяная клетка, движущаяся через артерию, подчиняется этим уравнениям. Тем не менее, при всей их вездесущности, они остаются одной из самых упрямых вычислительных задач в физике и технике.

Клод-Луи Навье впервые сформулировал уравнения в 1822 году, а Джордж Габриэль Стокс усовершенствовал их в 1845 году. С тех пор инженеры и ученые боролись с ними по всем дисциплинам, которые включают движение жидкости. Прогноз погоды зависит от решения их по всей атмосфере. Конструкторам самолетов нужны точные решения для снижения сопротивления и повышения топливной эффективности. Инженеры-химики полагаются на них для проектирования реакторов и трубопроводов. Медицинские исследователи используют их для моделирования кровотока через артерии и протезы сердечных клапанов.

Сами уравнения обманчиво компактны. Они сочетают сохранение импульса с сохранением массы и, во многих случаях, сохранение энергии. Уравнение импульса включает в себя инерционный термин, градиент давления, вязкий диффузионный термин и термин силы тела. Эта структура кажется простой, но нелинейный термин инерции вносит чрезвычайную сложность. Небольшие изменения начальных условий могут привести к резко различным результатам, отличительной чертой хаотических систем.

Институт математики Клэя обозначил проблему существования и гладкости Навье-Стокса как одну из семи своих проблем, отмеченных Премией тысячелетия. Скрупулезное доказательство того, всегда ли существуют гладкие глобальные решения для трехмерных уравнений, остается неуловимым. Даже если доказательство появится, практические вычисления останутся сложными, потому что диапазон пространственных и временных масштабов в турбулентном потоке охватывает много порядков величины. Прямое численное моделирование турбулентного потока вокруг крыла самолета потребует вычислительных ресурсов, намного превышающих то, что может предоставить любой классический суперкомпьютер сегодня.

Это вычислительное узкое место побудило исследователей исследовать принципиально разные вычислительные парадигмы. Квантовые вычисления, с их способностью работать на квантовых суперпозициях и эксплуатировать запутанность, предлагают путь, который может обойти экспоненциальное масштабирование, что делает моделирование Навье-Стокса непомерно дорогим на классических машинах.

Проблема вычислительного масштабирования

Чтобы понять, почему квантовые вычисления могут помочь, полезно точно понять, где именно ломаются классические симуляции. Уравнения Навье-Стокса представляют собой набор нелинейных уравнений частных дифференциалов. В турбулентном режиме поток содержит вихри и вихри, охватывающие широкий диапазон длинных шкал. Самые большие вихри сопоставимы с размером домена, а самые маленькие вихри, известные как шкалы Колмогорова, рассеивают кинетическую энергию в тепло через вязкие эффекты.

Отношение наибольшей к наименьшей шкале длины возрастает по мере того, как число Рейнольдса возрастает до мощности в три четверти. Для потоков с высоким числом Рейнольдса, которые распространены в аэрокосмической и геофизической сферах, это соотношение становится огромным. Прямое численное моделирование требует достаточного количества сетки, чтобы разрешить самые маленькие вихри по всей области. Количество шкалы точек сетки, как число Рейнольдса, до мощности в девять четвертей. Для числа Рейнольдса в 10 миллионов, что характерно для коммерческого самолета в полете, необходимое число точек сетки в триллионах. Каждая точка сетки требует решения связанных уравнений на каждом шаге, а сам шаг времени должен быть достаточно мал, чтобы захватить самую быструю динамику.

Это масштабирование ставит прямое численное моделирование многих важных потоков, постоянно недоступных для классических компьютеров, независимо от улучшений закона Мура. Рейнольдс-среднее моделирование Навье-Стокса (RANS) и крупнотоннажное моделирование (LES) предлагают приближения, которые снижают вычислительные затраты, но они жертвуют точностью, особенно в потоках с разделением, привязкой и сильными градиентами давления. Инженерам нужны лучшие инструменты, а не просто более быстрые версии тех же инструментов.

Квантовые вычислительные основы для динамики жидкости

Квантовые компьютеры обрабатывают информацию с помощью квантовых битов или кубитов. В отличие от классических битов, которые всегда либо 0, либо 1, кубит может существовать в суперпозиции обоих состояний. Когда несколько кубитов запутаны, состояние всей системы не может быть описано независимо для каждого кубита. Эти свойства позволяют квантовым компьютерам исследовать множество вычислительных путей одновременно.

Для решения дифференциальных уравнений квантовые алгоритмы могут достигать экспоненциальных ускорений при определённых условиях. Наиболее перспективные подходы для Навье-Стокса делятся на две широкие категории: алгоритмы квантовых линейных систем и методы гамильтоновского моделирования. Оба полагаются на переформулирование задачи гидродинамики в форму, с которой квантовые компьютеры могут эффективно справляться.

Алгоритмы квантовых линейных систем, такие как алгоритм Харроу — Хассидим — Ллойд, решают линейные системы уравнений экспоненциально быстрее классических алгоритмов в определённых режимах.Уравнения Навье — Стокса нелинейны, но их можно линеаризировать путём дискретизации и итерации или трансформировать с помощью таких методов, как линеаризация Карлмана. Ключевой вопрос заключается в том, сохраняют ли эти линеаризации преимущество квантовой скорости после учета накладных расходов по встраиванию задачи в квантовую схему.

Подходы гамильтоновского моделирования рассматривают поток жидкости как квантовую систему, развивающуюся под конкретным гамильтоновским, математически соответствующим оператору Навье-Стокса. Квантовый компьютер имитирует эту эволюцию напрямую, потенциально захватывая полную нелинейную динамику без необходимости массивных дискретизационных сеток. Эти методы по-прежнему высоко теоретически, но они предлагают наиболее драматичные потенциальные ускорения.

Квантовая оценка фазы и проблема эйгеннозначения Навье-Стокса

Квантовая фазовая оценка (КФЭ) является основополагающим алгоритмом в квантовых вычислениях. Она оценивает собственные значения унитарного оператора. При применении к динамике текучей среды КФЭ может использоваться для анализа стабильности конфигураций потока или для поиска доминирующих режимов в турбулентном поле потока. Эти режимы, известные как надлежащие режимы ортогонального разложения или режимы динамического разложения, раскрывают когерентные структуры, которые доминируют в переносе энергии и импульса в турбулентных потоках.

Классические вычисления этих режимов требуют решения больших собственных задач, которые плохо масштабируются с размером дискретизации. QPE предлагает путь к экспоненциальному ускорению для этой конкретной подзадачи. Исследователи из таких учреждений, как MIT, Caltech и Технический университет Мюнхена, опубликовали теоретические основы, показывающие, как QPE может извлекать наиболее энергичные режимы из поля потока, используя гораздо меньше вычислительных ресурсов, чем требуют классические методы.

Практическая реализация сталкивается со значительными аппаратными проблемами. QPE требует длительного времени когерентности и высокоточных квантовых вентилей. Нынешние шумные квантовые устройства промежуточного масштаба (NISQ) не могут поддерживать глубины схем, необходимые для полезных вычислений QPE на задачах Навье-Стокса. Однако по мере созревания отказоустойчивых квантовых вычислений анализ жидкостной динамики на основе QPE может стать одним из самых ранних практических применений.

Вариационные квантовые Eigensolvers

Вариационные квантовые эйгенсольверы (VQE) используют иной подход. Они объединяют квантовый компьютер с классическим оптимизатором. Квантовый компьютер готовит параметризованное квантовое состояние и измеряет его энергию по отношению к данному гамильтониану. Классический оптимизатор настраивает параметры для минимизации энергии, эффективно находя основное состояние системы. Для приложений Навье-Стокса VQE можно использовать для поиска конфигурации потока минимальной энергии в заданных граничных условиях, или для решения задач оптимизации в управлении потоком и аэродинамической конструкции формы.

VQE более терпим к шуму, чем QPE, поскольку квантовые схемы более мелкие, а классический оптимизатор может компенсировать некоторые ошибки. Это делает VQE возможным на аппаратном обеспечении NISQ, по крайней мере, для небольших проблем с тестами. Исследователи IBM Quantum продемонстрировали решения на основе VQE для упрощенных проблем динамики текучей среды, включая одномерное уравнение Бургерса и двумерные потоки полости. Эти демонстрации далеки от масштабов, необходимых для промышленных применений, но они подтверждают концептуальный подход и выделяют области, где улучшения аппаратного обеспечения будут иметь наибольшее влияние.

Квантовые алгоритмы для нелинейных дифференциальных уравнений

Уравнения Навье-Стокса принципиально нелинейны. Термин адвекции, где скорость умножает градиент скорости, вводит продукты неизвестных переменных. Эта нелинейность является основным источником турбулентности и главным препятствием для эффективного квантового моделирования. Линейные квантовые алгоритмы не могут напрямую обрабатывать нелинейные уравнения без кодирования нелинейности в структуру алгоритма.

Для решения этой задачи было разработано несколько стратегий. Один из подходов использует линейную систему Карлмана, которая переформулирует нелинейную систему как бесконечный набор линейных уравнений, вводя новые переменные, представляющие продукты исходных переменных. Пересечение этой бесконечной системы в конечном порядке приводит к линейному приближению, которое может быть решено с помощью алгоритмов квантовых линейных систем. Точность приближения улучшается по мере сохранения большего количества терминов, но размер системы растет экспоненциально с порядком усечения. Практический вопрос заключается в том, перевешивает ли квантовое ускорение этот рост для реалистичных размеров задачи.

Другой подход использует квантовые нелинейные процессоры, которые являются специализированными квантовыми схемами, предназначенными для применения нелинейных преобразований в квантовые состояния. Эти схемы используют тот факт, что измерение квантового состояния производит нелинейную функцию амплитуд состояния. Переплетая унитарные операции с измерениями и классическую постобработку, можно реализовать нелинейные операции в рамках квантового алгоритма. Это активная область теоретических исследований, с вкладами групп из Университета Мэриленда, Google Quantum AI и Токийского университета.

Третья стратегия использует квантовые коллекторные вычисления и квантовые экстремальные обучающие машины. Это гибридные классически-квантовые подходы, где случайная, фиксированная квантовая схема отображает вход в высокоразмерное пространство признаков, а классическая линейная модель учится предсказывать выход из этих признаков. Квантовая схема действует как нелинейная динамическая система, которая может приблизиться к поведению уравнений Навье-Стокса без явного их решения. Этот подход особенно привлекателен для приложений прогнозирования потоков в реальном времени и управления, где скорость важнее абсолютной точности.

Методы Латтиса Больцмана на квантовых компьютерах

Методы Латтиса Больцмана (LBM) предлагают другой путь. Вместо того, чтобы дискретизировать уравнения Навье-Стокса напрямую, LBM имитирует движение и столкновение частиц на дискретной решетке. Макроскопическое поведение жидкости возникает из динамики микроскопических частиц. LBM уже популярен на классических компьютерах для сложных потоков, особенно в пористых средах и многофазных системах, потому что его легче распараллеливать, чем прямые решатели Навье-Стокса.

На квантовых компьютерах LBM естественным образом отображает квантовые ходы и квантовые клеточные автоматы. Стадия столкновения становится унитарной операцией на кубитах, представляющих функции распределения частиц. Стадия потокового потока становится операцией сдвига в решетке. Поскольку эти операции унитарны, они сохраняют квантовую когерентность состояния и могут эффективно выполняться на квантовом оборудовании.

Исследователи Эдинбургского университета и Женевского университета опубликовали квантовые алгоритмы LBM, которые достигают многочленных ускорений по сравнению с классическими моделями LBM. Ускорение происходит от того, что квантовый компьютер может представлять распределение частиц по всем решетчатым участкам одновременно, а не повторяться по участкам один за другим. Для больших трехмерных сеток этот параллелизм дает значительное преимущество. Экспериментальные реализации на квантовых процессорах IBM и Rigetti подтвердили алгоритм простых двумерных потоков, включая поток полостей, управляемых крышкой, и поток, проходящий мимо цилиндра.

Оборудование блокировки дорог и путь вперед

Квантовое вычислительное оборудование быстро развивалось за последнее десятилетие, но практические симуляции Навье-Стокса остаются недоступными для текущих устройств.Основными ограничениями являются количество кубитов, время когерентности, точность ворот и накладные расходы на исправление ошибок.

Qubit Count и связность

Полезное моделирование динамики жидкости потребует тысячи, а, вероятно, и миллионы логических кубитов. Современные устройства NISQ предлагают максимум несколько сотен физических кубитов. Каждому логическому кубиту для отказоустойчивых вычислений могут потребоваться сотни или тысячи физических кубитов для коррекции ошибок. Общее количество физических кубитов, необходимое для промышленно релевантных симуляций Навье-Стокса, может составлять десятки миллионов. Этот масштаб по крайней мере через десять лет, основанный на текущих дорожных картах от IBM, Google и других разработчиков квантового оборудования.

Даже если станет доступно достаточное количество кубитов, связь между кубитами имеет значение. Моделирование Навье-Стокса требует взаимодействия между соседними точками сетки, которое отображает взаимодействия между соседними кубитами в квантовом процессоре. Двумерная сетка связи, где каждый кубит соединяется со своими четырьмя ближайшими соседями, хорошо отображает на поверхности исправление ошибок кода и доступна во многих текущих сверхпроводящих кубитных процессорах. Трехмерные сетки, которые необходимы для реалистичного моделирования жидкости, требуют более сложных схем связи или использования шлюзов SWAP для перемещения информации между не смежными кубитами, добавляя накладные расходы.

Слаженность и верность врат

Квантовые вычисления должны завершиться до того, как кубиты декогереруются и потеряют свою квантовую информацию. Время когерентности сверхпроводящих кубитов тока составляет порядка десятков-сотни микросекунд. Схема моделирования Навье-Стокса может потребовать миллиардов операций затвора, намного превышающих пределы когерентности тока. Точность затвора, теперь обычно выше 99,9% для однокубитных затворов и выше 99% для двухкубитных затворов, должна улучшиться до 99,99% или лучше поддерживать глубокие цепи, необходимые для практического квантового преимущества.

Квантовая коррекция ошибок может защитить от декогеренции и ошибок затвора, но она вводит значительные накладные расходы. Поверхностный код, наиболее широко изученная схема коррекции ошибок, требует решетку физических кубитов для кодирования одного логического кубита. Накладной фактор зависит от физической скорости ошибки и желаемой логической скорости ошибки. При нынешних физических скоростях ошибок накладные расходы могут составлять 1000 физических кубитов на логический кубит или более. Это дополнительно увеличивает общее количество кубитов, необходимое для полезных вычислений.

Стратегии эпохи NISQ

Пока исследователи ждут отказоустойчивого оборудования, они разрабатывают алгоритмы эпохи NISQ, которые могут работать на существующих шумных устройствах. Эти алгоритмы отменяют некоторые теоретические квантовые ускорения для повышения устойчивости к шуму. Вариационные методы, гибридные классические квантовые подходы и квантовые резервуарные вычисления попадают в эту категорию. Они могут справиться с небольшими двумерными проблемами динамики жидкости сегодня, и они будут масштабироваться до более крупных проблем по мере улучшения оборудования.

Стратегия NISQ смещает фокус с решения полных уравнений Навье-Стокса на решение моделей с уменьшенным порядком или конкретных подзадач. Например, устройство NISQ может не имитировать весь турбулентный поток вокруг крыла самолета, но оно может вычислять доминирующие режимы нестабильности или оптимизировать параметры в модели турбулентности. Эти ограниченные задачи по-прежнему обеспечивают ценность для инженеров и помогают проверить квантовый подход, создавая уверенность для эпохи отказоустойчивости.

Приложения, которые будут полезны в первую очередь

Даже частичные квантовые решения для задач Навье-Стокса преобразуют несколько отраслей.Приложения, которые принесут пользу в первую очередь, — это те, где текущие вычислительные ограничения наиболее остры и где приблизительные решения недостаточны.

Аэрокосмическая инженерия

Конструкция летательных аппаратов и космических аппаратов в значительной степени зависит от вычислительной динамики жидкости. Текущие модели RANS и LES могут с достаточной точностью прогнозировать подъем и перетаскивание прикрепленных потоков, но они борются с разделенными потоками, остановкой, трансонными ударными волнами и теплообменом. Квантовые вычисления могут обеспечить прямое численное моделирование полных конфигураций самолетов на номерах Рейнольдса, устраняя необходимость в приближении моделирования турбулентности. Это позволит дизайнерам оптимизировать конфигурации с уверенностью, сокращая время тестирования аэродинамической трубы и обеспечивая более эффективные, более тихие и безопасные самолеты.

Производители двигателей выиграют от возможности моделировать динамику сгорания внутри газотурбинных двигателей.Взаимодействие турбулентного потока, химических реакций и теплопередачи в горючем чрезвычайно сложно и плохо улавливается текущими моделями.Лучшее моделирование может привести к более высокой эффективности сгорания, снижению выбросов и более длительному сроку службы двигателя.

Прогноз погоды и климата

Погодные модели решают уравнения Навье-Стокса на глобальной сетке. Разрешение текущих операционных моделей составляет примерно 5—10 км. Многие важные процессы, включая формирование облаков, конвекцию и турбулентность пограничного слоя, происходят в масштабах, меньших, чем расстояние между сетками, и должны быть параметризированы. Эти параметризации являются основным источником прогнозной неопределенности.

Квантовые вычисления могут в конечном итоге позволить глобальные погодные модели с разрешением в километре, явно разрешая грозы, ураганы и атмосферные фронты. Это резко повысит точность суровых прогнозов погоды и климатических прогнозов. Метеорологические агентства, включая Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды и Национальное управление океанических и атмосферных исследований США уже начали изучать партнерства в области квантовых вычислений.

Динамика медицинских жидкостей

Поток крови в артериях и венах следует уравнениям Навье-Стокса. При сердечно-сосудистых заболеваниях модели потока нарушаются, а стресс сдвига стенок играет критическую роль в образовании и прогрессировании бляшек. Моделирование потока крови для пациента может помочь хирургам планировать вмешательства, но текущие моделирования медленные и дорогие. Квантовые вычисления могут позволить в реальном времени, гемодинамические симуляции для конкретного пациента, которые интегрируются непосредственно с данными медицинской визуализации.

Помимо кровотока, другие медицинские приложения включают воздушный поток в легких для моделирования респираторных заболеваний, динамику спинномозговой жидкости для понимания гидроцефалии и черепно-мозговой травмы, а также доставку лекарств через кровоток. Каждое из этих применений выиграет от более быстрого и точного моделирования жидкости.

Экологические и энергетические применения

Оптимизация компоновки ветровых электростанций требует моделирования турбулентных вейковых взаимодействий между турбинами. Текущие модели используют приближения, которые могут переоценить выработку энергии на 10% и более. Квантовые вычисления могут обеспечить точное моделирование ветровых электростанций, что приводит к созданию макетов ветровых электростанций, которые производят больше энергии и снижают усталостные нагрузки турбин. Аналогичным образом, приливные и речные турбинные массивы получат выгоду от детального моделирования потока.

В нефтегазовой отрасли поток жидкости через пористую породу определяет производительность резервуара. Текущие модели резервуаров используют высококлассные модели, которые усредняются по структурам микромасштабных пор. Квантовые вычисления могут позволить проводить прямое моделирование пор, которое захватывает капиллярные эффекты, смачиваемость и многофазный поток с гораздо большей точностью. Это улучшит прогнозы восстановления и снизит риск разведки.

Дорожная карта для практической квантовой динамики жидкости

Путь от сегодняшних небольших демонстраций к промышленно значимым квантовым симуляциям Навье-Стокса следует за четкой прогрессией. Каждый этап основывается на предыдущем, параллельно продвигаясь вперед с разработкой аппаратного обеспечения и алгоритма.

Первый этап: доказательство концепции

Мы сейчас находимся на этой стадии. Исследователи продемонстрировали квантовые решения одномерного уравнения Бургерса, двумерные потоки полостей и потоки каналов с низкими числами Рейнольдса на квантовых симуляторах и небольших устройствах NISQ. Эти демонстрации подтверждают алгоритмы и выявляют основные источники ошибок. Они не имеют практической ценности для инженерии, но закладывают основу для следующего этапа.

Второй этап: Маломасштабная валидация

В течение следующих пяти лет, по мере того как квантовое оборудование будет совершенствоваться до сотен логических кубитов с более низкими скоростями ошибок, исследователи будут решать двумерные потоки при умеренных числах Рейнольдса. Эти симуляции будут проверены на соответствие классическим прямым численным симуляциям и экспериментальным данным. Успех на этом этапе продемонстрирует, что квантовые решения могут достичь точности, сопоставимой с классическими методами для простых потоков. Целевые проблемы включают поток, проходящий через круговой цилиндр, поток полости с крышкой, и переход потока канала к турбулентности.

Третий этап: промышленно релевантные симуляторы

С отказоустойчивыми квантовыми компьютерами тысяч логических кубитов, запланированными на конец 2020-х — начало 2030-х годов по большинству дорожных карт, станет возможным трехмерное моделирование. Эти симуляции все равно будут ограничены относительно простыми геометриями и умеренными числами Рейнольдса, но они превысят возможности классического прямого численного моделирования для тех случаев. Промышленные партнеры начнут использовать квантовое моделирование для конкретных подзадач, таких как оптимизация форм аэродинамической пленки или прогнозирование шума от турбулентных джетов.

Четвертый этап: рутинное использование

К середине 2030-х — 2040-м годам системы с миллионным логическим кубитом могли бы обеспечить рутинное квантовое моделирование Навье-Стокса для сложных геометрий и высоких чисел Рейнольдса. На этом этапе квантовое моделирование дополнит классическое моделирование и эксперименты в качестве стандартного инструмента в инструментальном наборе гидродинамических инструментов. Инженеры будут запускать квантовое моделирование наряду с классическим моделированием, используя каждое из них, где оно предлагает лучший компромисс между точностью и стоимостью.

Сотрудничество по всем дисциплинам

Разблокирование потенциала квантовых вычислений для уравнений Навье-Стокса требует сотрудничества сверх того, что характерно для академических или промышленных исследований. Жидкие динамики должны научиться мыслить в терминах квантовых алгоритмов. Квантовые вычислительные исследователи должны развивать интуицию для физики жидкости. Математики должны преодолеть разрыв между непрерывным миром дифференциальных уравнений с частными производными и дискретным миром квантовых схем.

Несколько инициатив уже способствуют развитию этой междисциплинарной среды. Исследовательская группа по квантовым жидкостям в Кембриджском университете объединяет физиков и инженеров для разработки квантовых алгоритмов турбулентности. Квантовая сеть IBM включает аэрокосмические компании, такие как Airbus и Boeing, а также энергетические компании и исследовательские институты для изучения квантовых приложений в динамике жидкости. Управление науки Министерства энергетики США финансировало несколько проектов по квантовым алгоритмам для динамики вычислительной жидкости через свою программу Advanced Scientific Computing Research.

Образовательные программы также развиваются. Университеты внедряют курсы квантовых вычислений, адаптированные к инженерам и прикладным ученым, с акцентом на практические алгоритмы, а не абстрактную квантовую механику. Летние школы и семинары, такие как семинар по квантовым вычислениям для динамики жидкости, проводимый в Институте чистой и прикладной математики в UCLA, обучают следующее поколение исследователей, которые будут продвигать эту область вперед.

Как будет выглядеть успех

Конечной мерой успеха квантовых решателей Навье-Стокса станет возможность вычислять потоки, которые невозможны классическими методами. Это не обязательно означает моделирование каждого вихря в турбулентном потоке с нуля. Это может означать достижение эквивалентной точности с порядками величины меньше вычислительного времени или энергии. Это может означать решение обратных задач, где инженеры спрашивают не «каков поток является результатом этой геометрии», а «какой геометрии производит желаемый поток». Обратная конструкция чрезвычайно дорогостоящая с классическими методами, потому что она требует много передового моделирования. Квантовые вычисления, с его способностью исследовать многие конфигурации в суперпозиции, могут сделать обратный дизайн практичным.

Успех может также быть достигнут благодаря квантово-классическим гибридным подходам, когда квантовый процессор обрабатывает наиболее вычислительно интенсивные части моделирования, в то время как классический процессор управляет остальными. Это гибридное видение реалистично в ближайшей перспективе и позволяет постепенно внедряться по мере улучшения квантового оборудования.

Уравнения Навье-Стокса сопротивлялись полному вычислительному решению в течение почти двух столетий. Квантовые вычисления предлагают первый правдоподобный путь к прорыву через барьер масштабирования, который ограничивал классические методы. Дорога длинная и проблемы значительны, но потенциальное влияние на науку, инженерию и общество огромно. Каждая область, которая включает движение жидкости, от медицины до метеорологии, от аэрокосмической до энергетической, должна быть преобразована.