Как провести исследование способности процесса в многомерном процессе

Введение

Исследования возможностей процесса являются краеугольным камнем статистического контроля качества, обеспечивая количественную оценку того, насколько хорошо процесс производства или обслуживания может соответствовать его спецификациям. В то время как традиционные одномерные исследования изучают одну характеристику качества за раз, многие реальные процессы включают в себя несколько взаимосвязанных переменных, которые должны рассматриваться вместе. Проведение исследования возможностей процесса в многомерном контексте имеет важное значение, когда характеристики коррелируют, потому что оценка каждой переменной отдельно может привести к вводящим в заблуждение выводам об общей производительности процесса. Эта статья предоставляет всеобъемлющее, пошаговое руководство по выполнению эффективного многомерного исследования возможностей процесса, от основополагающих концепций до передовых методов анализа и практической интерпретации.

Понимание многомерной способности процесса

Многомерная способность процесса расширяет принципы одномерного анализа способности до ситуаций, когда одновременно важны и часто коррелируют две или более качественных характеристик. Например, в процессе химического производства может потребоваться, чтобы концентрация и температура продукта оставались в определенных пределах, и эти переменные часто взаимодействуют. В таких случаях оценка способности с использованием только отдельных индексов Cp или Cpk для каждой переменной может пропустить совместное поведение, которое определяет качество продукта.

Ключевое различие между одномерной и многомерной способностью заключается в обработке корреляции. Процесс может казаться способным для каждой переменной индивидуально, но комбинация переменных может производить высокую долю несоответствующих единиц, которые выходят за пределы многомерной области спецификации. Многомерные индексы способности, такие как многомерный Cp (Cp_]MV) и Cpk (Cpk_MV), учитывают совместное распределение переменных, часто используя концепцию многомерного нормального распределения и область спецификации, определяемую эллипсоидом или прямоугольным ящиком в переменном пространстве.

Еще одна важная концепция - использование анализа основных компонентов (PCA) для уменьшения размерности при сохранении существенной структуры данных. Преобразуя исходные коррелированные переменные в некоррелированные основные компоненты, аналитики могут вычислять индексы возможностей на этих компонентах или непосредственно в исходном пространстве с помощью статистики T2 Hotelling. Выбор метода зависит от характера спецификаций и лежащих в их основе предположений о нормальности и линейности.

Шаги для проведения многомерного исследования возможностей процесса

1.Определить процесс и переменные

Начните с четкого определения границ процесса и ключевых характеристик качества, которые должны контролироваться. Взаимодействуйте с инженерами-технологами, операторами и менеджерами по качеству, чтобы выбрать переменные, которые имеют решающее значение для требований клиентов и могут проявлять корреляцию. Документируйте пределы спецификации для каждой переменной, отмечая, являются ли они двусторонними (верхними и нижними) или односторонними. Когда спецификации определяются как область (например, прямоугольник или эллипс в двух измерениях), запишите точные границы.

Важно также определить, является ли процесс стабильным и находится ли он в состоянии статистического контроля, прежде чем пытаться анализировать возможности. Используйте контрольные диаграммы (такие как контрольная диаграмма T2 Hotelling), чтобы проверить, что процесс не проявляет особых изменений причин в течение периода сбора данных.

2. Сбор данных о представителях

Сбор данных для многомерных возможностей требует тщательного планирования, чтобы гарантировать, что образец адекватно представляет вариацию процесса в нормальных условиях эксплуатации. Общее правило заключается в сборе по меньшей мере 100-150 наблюдений, когда число переменных невелико (например, 2-5), но более крупные образцы становятся необходимыми по мере увеличения размерности. Образец должен охватывать период, достаточно длительный для захвата вариации общей причины, такой как сдвиги в сырье, изменения окружающей среды или износ инструмента.

Запись данных во времени для проверки автокорреляции и тенденций. Если процесс ориентирован на партии, рассмотрите возможность отбора проб по партиям и внутри партий для захвата как краткосрочных, так и долгосрочных изменений. Документируйте любые корректировки процесса или события обслуживания, которые происходят во время отбора проб, поскольку они могут помочь объяснить аномалии позже.

3. Оценка качества и предположений данных

Перед построением любой многомерной модели проверьте данные на наличие отбросов, отсутствующих значений и отклонений от нормальности. Для многомерной нормальности можно использовать тест Мардиа или квантиль-квантильную диаграмму квадратного расстояния Махаланобиса. Если данные значительно отклоняются от нормальности, рассмотрите преобразования (например, Box-Cox) или непараметрические подходы.

Проверка мультиколлинеарности с использованием корреляционных матриц и коэффициентов дисперсии инфляции (VIFs). Высокая мультиколлинеарность может дестабилизировать расчеты индекса возможностей и может потребовать уменьшения размерности с помощью PCA или выбора подмножества переменных. Также проверьте, что процесс стабилен, начертив данные в порядке времени и используя многомерные контрольные диаграммы.

4. Анализ переменных отношений

Понимание корреляционной структуры является центральным для многовариантной способности. Вычислите матрицу корреляции образца и визуализируйте ее с помощью матриц рассеяния или тепловых карт. Если переменные сильно коррелированы, рассмотрите анализ основных компонентов (PCA), чтобы превратить их в некоррелированные компоненты. PCA не только упрощает анализ, но и показывает, какие направления в переменном пространстве вносят наибольший вклад в общую вариацию.

Еще одним полезным методом является факторный анализ, который может идентифицировать скрытые факторы, определяющие корреляции. Однако для большинства исследований возможностей ПСА является предпочтительным, поскольку он непосредственно относится к дисперсии, учитываемой и может использоваться для расчета индексов возможностей по показателям компонентов.

5.Процедура моделируется

Существует несколько подходов к моделированию для многовариантного анализа возможностей:

• Статистика T2 Hotelling: Для процесса, который является многомерным, обычно распределенным, статистика T2 измеряет расстояние от среднего значения выборки до цели. Вы можете вычислить долю точек данных, которые попадают в заданный контрольный предел T2, который служит мерой возможностей.
• Анализ основных компонентов (PCA): После PCA можно вычислить одномерные индексы возможностей на каждом основном компоненте, поскольку компоненты являются независимыми.Однако первоначальные пределы спецификации должны быть преобразованы в пространство компонентов, которое может быть сложным, если пределы не являются эллиптическими.
• Многовариатные индексы возможностей (Cp_MV и Cpk_MV]: Эти индексы являются расширениями Cp и Cpk, которые используют концепцию многовариативной области толерантности (часто эллипсоида) по сравнению с вариацией процесса эллипсоида, определённой ковариационной матрицей.Существует несколько составов; наиболее распространённое основано на соотношении объёмов спецификации эллипсоида и процесса эллипсоида.

Когда спецификации образуют прямоугольную область (наиболее распространенный случай на практике), общий подход заключается в использовании доли несоответствующих единиц, оцененных из многомерного нормального распределения. Эта доля может быть преобразована в индекс возможностей, аналогичный Cpk, с использованием обратного нормального преобразования.

6. Расчет индексов способности

Рассмотрим расчет Cp_MV более подробно. Предположим, что у нас есть две переменные (X1, X2) с бивариативным нормальным распределением. Область спецификации определяется нижними и верхними пределами спецификации (LSL1, USL1, LSL2, USL2). Изменение процесса описывается ковариационной матрицей Σ. Индекс Cp_MV вычисляется как:

Cp_MV = (Объем области спецификации) / (Объем области вариации процесса)

Область вариации процесса определяется как наименьший эллипсоид, содержащий некоторую долю (обычно 99,73%) выходного процесса, соответствующую 3-сигматической сфере в многомерном пространстве.Объем p-мерного эллипсоида пропорционален квадратному корню детерминанта ковариационной матрицы.Поэтому Cp_MV может быть выражен как:

Cp_MV = ( ⁇ (USL_i — LSL_i) / (χ2_{p, 0.9973}^p/2 × √ |Σ | ))

где χ2_{p, 0.9973} — критическое значение хи-квадрата с p степенями свободы для покрытия 99,73%.

Для Cpk_MV, который учитывает центрирование процессов, общим индексом является тот, который предложен Чаном, Ченгом и Спирингом (1988). Он использует отношение расстояния от среднего процесса к ближайшему пределу спецификации вдоль многомерного направления к изменению процесса в этом направлении. Альтернативно, вы можете использовать отношение несоответствующих единиц: преобразовать оценочную фракцию, не соответствующую Z-значению, а затем выразить Cpk_MV = Z_min / 3, где Z_min является наименьшим односторонним Z-значением.

7. Интерпретировать результаты и определять области улучшения

Интерпретация многомерных индексов возможностей требует осторожности. Значение Cp_MV, превышающее 1, указывает на то, что вариация процесса занимает меньшую область, чем область спецификации, но не гарантирует, что процесс центрирован. Cpk_MV следует использовать для оценки централирования. Когда Cpk_MV значительно ниже Cp_MV, среднее значение процесса нуждается в корректировке.

Нагрузки PCA могут указывать, какие исходные переменные приводят в движение основные компоненты с низкой способностью. Например, если первый основной компонент (который объясняет наибольшее изменение) показывает низкий индекс способности, переменные с высокой нагрузкой на этот компонент являются основными кандидатами для улучшения процесса.

Укажите данные и область спецификации (например, наложите эллипс доверия 99,73% на график рассеяния), чтобы визуально оценить, как процесс сравнивается со спецификациями.

Инструменты и методы

Анализ основных компонентов (PCA)

PCA преобразует набор коррелированных переменных в меньший набор некоррелированных основных компонентов, которые захватывают максимальную дисперсию. Особенно полезно, когда число переменных велико (например, 10 и более) или когда существует мультиколлинеарность. После PCA можно вычислить одномерные индексы возможностей на первых нескольких компонентах, которые составляют большую часть вариации. Однако интерпретация этих индексов в терминах оригинальных спецификаций требует обратной трансформации.

Многомерные контрольные диаграммы

Перед проведением анализа возможностей используйте многомерные контрольные диаграммы, такие как диаграмма T2 Hotelling (для анализа фазы I) и диаграммы MEWMA или MCUSUM (для мониторинга фазы II).Стабильный процесс является предпосылкой для обоснованных оценок возможностей. На диаграмме T2 показано общее расстояние от цели; точка выше контрольного предела предполагает многомерный выброс или сдвиг процесса.

Многомерные индексы способности

Помимо Cp_MV и Cpk_MV, существуют и другие индексы, такие как многомерный индекс возможностей, предложенный Wierda (1992) на основе доли несоответствующих единиц. Программные пакеты, такие как Minitab, JMP и R (с использованием пакетов _или ), предлагают функции для вычисления этих индексов. Добавления Excel также доступны, но часто ограничены.

Толкование результатов многомерной способности

При интерпретации результатов многомерного исследования возможностей рассмотрите следующие рекомендации:

• Cp_MV > 1.33: Изменение процесса находится в пределах области спецификации, что указывает на отличную потенциальную возможность.
• 1.00 ≤ Cp_MV ≤ 1.33: Процесс способен, но может потребовать мониторинга для предотвращения ухудшения.
• Cp_MV< 1.00: Изменение процесса превышает область спецификации; требуется немедленное улучшение.
• Cpk_MV против Cp_MV: Большой разрыв указывает на то, что процесс находится вне центра.
• Унивариат против многомерных индексов: Если одномерные значения Cp/Cpk все высокие, но многомерные индексы низкие, вероятной причиной является корреляция между переменными.

Имейте в виду, что мультивариативные индексы способностей чувствительны к предположению о многовариативной нормальности.Если данные не являются нормальными, рассмотрите возможность использования непараметрических методов, которые оценивают долю несоответствующих единиц непосредственно из эмпирического распределения, например, многовариативный подход, описанный Шором (2005).

Лучшие практики и общие подводные камни

Лучшие практики

• Соберите достаточные данные: Цель — по меньшей мере 100 наблюдений для маломерных случаев, больше для более высоких измерений. Используйте силовой анализ для определения размера выборки для требуемой точности.
• Проверяйте предположения: Всегда проверяйте многомерную нормальность и корреляционную структуру перед вычислениями индексов. Используйте преобразования, если это необходимо.
• Используйте соответствующее программное обеспечение: Используйте статистические пакеты, которые поддерживают многомерный анализ возможностей, такие как Minitab, JMP, R или Python, с библиотеками, такими как и . В электронной книге статистических методов NIST/SEMATECH содержатся подробные руководства и примеры. Посетите электронную книгу NIST .
• Сотрудничайте с экспертами в области: Работайте с инженерами-технологами и статистами, чтобы гарантировать, что выбранные переменные и спецификации имеют смысл и что анализ согласуется с практическими ограничениями.
• Проверить модель: Используйте данные о задержке или перекрестной валидации, чтобы подтвердить, что оценки возможностей надежны и стабильны с течением времени.

Общие подводные камни

• Игнорирование корреляции: Это самая частая ошибка. Возможности унивариата могут выглядеть нормально, но коррелированные переменные могут вызывать высокий процент несоответствующих единиц. Всегда выполняйте многомерный анализ, когда переменные известны или подозреваются в корреляции.
• Использование недостаточных данных: Небольшие выборки приводят к большим ошибкам выборки в оценках ковариационной матрицы, что приводит к ненадежным показателям возможностей.
• Качество данных при взгляде: Выбросы и недостающие данные могут сильно искажать многовариантные индексы. Выполняйте строгую очистку данных.
• Неправильное толкование индексов: Cp_MV не учитывает центрирование; всегда используйте Cpk_MV в сочетании. Также помните, что многие индексы полагаются на форму области спецификации; прямоугольные спецификации могут требовать иного подхода, чем эллиптические.
• Применение многомерных методов к нестабильным процессам: Анализ возможностей бессмыслен, если процесс не находится в статистическом контроле.

Заключение

Проведение исследования возможностей процесса в многомерном контексте является более сложным, чем его одномерный аналог, но оно обеспечивает гораздо более точную картину производительности процесса при взаимодействии переменных.Определяя переменные тщательно, собирая репрезентативные данные, проверяя предположения, используя соответствующие статистические инструменты, такие как PCA и T2 Hotelling, и вычисляя надежные многомерные индексы возможностей, организации могут эффективно идентифицировать истинное состояние возможностей процесса и целевые улучшения. Многомерный анализ возможностей является мощным инструментом для достижения высококачественного производства и сокращения отходов в современных производственных и сервисных процессах. Для дальнейшего изучения Американское общество качества (ASQ) предлагает курсы и ресурсы качества по способности процессов. [...] Кроме того, книга «Статистический контроль качества» Монтгомери обеспечивает углубленную обработку многомерных методов.