Как рассчитать размеры выборки для планов отбора проб

Введение в расчет размера выборки при приемке проб

Выборка приемки - это статистический метод контроля качества, используемый для определения того, соответствует ли партия продукции заранее определенным стандартам качества. Вместо проверки каждого блока составляется и оценивается репрезентативная выборка. Решение о принятии или отклонении всей партии основано на количестве дефектных элементов, обнаруженных в этой выборке. Расчет правильного размера выборки имеет решающее значение: слишком малая выборка может не обнаружить неприемлемые уровни дефектов, в то время как слишком большая выборка может тратить время и ресурсы. В этом руководстве рассматриваются концепции, формулы, стандарты и практические методы определения соответствующего размера выборки для планов приемки выборки, что позволяет производителям эффективно балансировать риск, стоимость и обеспечение качества.

Понимание планов отбора проб на принятие

План приемки выборки состоит из двух ключевых параметров: размер выборки (]n) и число приемки (]c. План указывает, что случайная выборка nnN. Если количество дефектных единиц в выборке меньше или равно c, принимается вся партия; если она превышает c, то лот отклоняется. Этот процесс двоичного решения является фундаментальным для атрибутирования выборки, где каждая единица классифицируется как соответствующая или несоответствующая.

Планы отбора проб имеют важное значение в отраслях, где 100%-ная проверка непрактична из-за затрат, времени или разрушительных требований к тестированию. Они обеспечивают статистически обоснованный метод для вывода о качестве всего лота с известными уровнями риска. Два основных риска: отказ от хорошей партии (риск производителя, α) и принятие плохой партии (риск потребителя, β). Размер выборки и число приемки выбраны для того, чтобы держать эти риски в приемлемых пределах.

Как работает выборка приемки

Процесс начинается с определения партии и выбора плана отбора проб. Как правило, план выводится из таких стандартов, как ANSI/ASQ Z1.4 или ISO 2859, которые предоставляют таблицы размеров выборки и номеров приемки на основе размера партии и приемлемого уровня качества (AQL). Пользователь выбирает уровень проверки (например, нормальный, затянутый, уменьшенный) и AQL, затем читает соответствующую кодовую букву. Кодовая буква определяет размер выборки, а номер приемки считывается из отдельной таблицы. Затем проверка продолжается: необходимое количество единиц отбирается случайным образом и проверяется. Результаты сравниваются с номером приемки для принятия решения о размещении партии.

Ключевые терминологии и понятия

Чтобы точно рассчитать размеры выборки, необходимо понимать несколько ключевых терминов и их взаимосвязи:

• Размер лота (N): Общее количество единиц в партии, представленной для проверки. Большие партии обычно требуют больших размеров выборки, но связь не является линейной из-за статистических соображений.
• Размер выборки (n): Количество единиц, взятых из партии для проверки. Это основная переменная, которую мы вычисляем.
• Номер приема (c): Максимально допустимое количество дефектных единиц в образце для партии, которая должна быть принята. Если дефекты превышают c, партия отклоняется.
• Номер отказа (r): В некоторых планах (например, двойная выборка) число отказа является порогом, который вызывает немедленный отказ.r =c + 1.
• Риск производителя (α): Вероятность отказа от многого, что на самом деле соответствует стандарту качества (т.е. ошибка типа I). Обычно устанавливается на уровне 5% или 1%.
• Риск потребителя (β): Вероятность принятия много, что не соответствует стандарту качества (т.е. ошибка типа II). Обычно устанавливается на уровне 10% или 5%.
• Допустимый уровень качества (AQL): Максимальный процент дефектных единиц, который считается приемлемым для партии. AQL представляет собой среднее качество процесса, которое производитель готов поставлять.
• Лот-толерантность Процент дефекта (LTPD): Процент дефектных единиц, которые потребитель считает неприемлемыми. Это соответствует высокой вероятности отказа (например, 90% или 95%).

Факторы, влияющие на размер выборки

Несколько факторов взаимодействуют для определения требуемого размера выборки для данного плана отбора проб. Понимание этих факторов помогает в выборе соответствующего плана, который уравновешивает риск и стоимость.

• Размер лота (N): В то время как размер лота влияет на размер выборки в некоторых стандартах (например, ANSI/ASQ Z1.4 использует диапазоны размеров лота для определения кодовой буквы размера выборки), статистический эффект минимален для больших лотов. Гипергеометрическое распределение учитывает конечный размер лота, но для больших N биномиальное приближение адекватно.
• Номер приема (c): Большее число приема уменьшает размер выборки, требуемый для данного риска, но также увеличивает вероятность принятия много с большим количеством дефектов.
• Риски производителя и потребителя: Более высокие риски (нижние α и β) требуют больших размеров выборки. Например, уменьшение α с 5% до 1% при сохранении других факторов постоянными может удвоить или утроить размер выборки.
• Уровень качества (p): Ожидаемая доля дефектных элементов в партии влияет на изменчивость выборки. Для низких показателей дефектов образец должен быть достаточно большим, чтобы обнаружить по меньшей мере один дефект с приемлемой вероятностью.
• Уровень инспекции: Стандарты определяют различные уровни инспекции (нормальные, ужесточенные, пониженные), которые корректируют размер выборки и критерии приемлемости на основе прошлой истории качества.

Статистические основы для расчета размера выборки

Гипергеометрическое распределение

При отборе проб без замены из конечного множества число дефектных единиц в образце следует за гипергеометрическим распределением. Вероятность точного наблюдения дефектов x в образце размера n из большого размера N, содержащих дефекты D, определяется:

P(X = x) = (C(D, x) * C(N-D, n-x)) / C(N, n)

Это распределение точное, но вычислительно интенсивное для больших N.Вычисления размера выборки с использованием гипергеометрического распределения часто выполняются через стандартные таблицы или специализированное программное обеспечение.

Биномиальное приближение

Для больших размеров лота (обычно, когда n и le; 0,1N) гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимировано биномиальным распределением. Биномиальное распределение предполагает выборку с заменой, но оно точно, когда размер лота большой относительно образца. Вероятность точного x дефектов составляет:

P(X = x) = C(n, x) * p^x*

где p = D/N является дефектным лот-дробью. Это упрощает вычисления и широко используется в формулах размера выборки.

Близость Пуассона

Для очень низких скоростей дефектов (]p <0.1) и больших размеров выборки биномиальное распределение может быть дополнительно аппроксимировано распределением Пуассона. Это полезно для расчета размеров выборки в таких ситуациях, как мониторинг качества редких событий. В приближении Пуассона используется параметр λ = np и вероятность дефектов x:

P(X = x) = (e^-λ * λ^x) / x!

Методы расчета размера выборки

Стандартные таблицы: ANSI/ASQ Z1.4 и ISO 2859

Наиболее распространенным подходом в промышленности является использование опубликованных стандартов, которые обеспечивают предварительно рассчитанные планы отбора проб. ANSI/ASQ Z1.4 (эквивалент ISO 2859-1) является ведущим стандартом для отбора атрибутов. Пользователь выбирает:

1. Уровень инспекции: Уровни I, II, III для обычной, ужесточённой или пониженной инспекции. Уровень II является по умолчанию.
2. Допустимый уровень качества (AQL): Максимальный процент дефектов, который производитель считает приемлемым (например, 0,1%, 1,0%, 2,5%).
3. Размер лота: Общее количество единиц в партии.

Из размера лота и уровня проверки определяется кодовая буква (A-R). Эта кодовая буква затем указывает на таблицу, которая обеспечивает размер выборки (]n) и номер приемки (c) для выбранного AQL. Например, для размера лота 1000 единиц и нормального уровня проверки II кодовая буква J. Для AQL = 1,0% размер выборки составляет 80 и число приемки 2. Эти таблицы предназначены для обеспечения высокой вероятности принятия лотов на уровне или ниже AQL, защищая потребителя от лотов выше LTPD.

Формуловый подход

Если не применяются конкретные стандарты или когда требуются индивидуальные уровни риска, то для оценки размера выборки может использоваться формула.Обычная формула для оценки размера выборки в выборке атрибутов выводится из нормального приближения к биномиальному распределению:

n = (Z_α/2² * p * (1 — p)) / E²

Где:

• Z_α/2 является критическим значением от стандартного нормального распределения для двуххвостого уровня достоверности (например, 1,96 для 95% достоверности).
• p — ожидаемая доля дефектов в партии (часто оценивается по историческим данным или принимается за AQL).
• E — это предел погрешности — максимально допустимая разница между частотой дефекта выборки и истинной частотой дефекта партии.

Например, если вы ожидаете 5% дефектов, хотите 95% уверенности и допускаете погрешность 2%, расчет дает:

n = (1.96² × 0,05 × 0,95) / (0.02)² = (3.8416 × 0,0475) / 0,0004 ≈ 456.2

Закругление дает n = 457. Эта формула, однако, не включает непосредственно число принятия или риски α и β так же, как это делают стандарты. Она более подходит для оценки размера выборки для оценки пропорции, а не для плана принятия решения.

Более строгий подход использует распределения вероятностей для решения для n и c одновременно. Для данной пары точек на кривой OC (AQL с вероятностью 1-α и LTPD с вероятностью β) можно решить уравнения:

P(принять | p = AQL) ≥ 1 - α
P(принять | p = LTPD) ≤ β

Для биномиального распределения вероятность принятия для одного плана выборки с размером выборки n и числом приемки c составляет:

P(принять | p) = Σ_x=0^cC(n, x) p^x

Для нахождения n и c, удовлетворяющих обоим неравенствам, часто требуются итеративные численные методы или таблицы поиска.На таких вычислениях построены стандарты, подобные ANSI/ASQ Z1.4.

Операционные характеристики (OC) кривые

Кривая OC показывает вероятность принятия лота в качестве функции истинной частоты дефектов лота p. Для заданного размера выборки n и числа приемки c кривая OC показывает производительность плана на всех уровнях качества. Для оценки плана выборки пользователь проверяет, что кривая OC проходит через желаемые точки: около 1-α в AQL и около β в LTPD.n и c, можно выбрать план, который обеспечивает наилучший компромисс. Кривые OC могут быть получены с использованием статистического программного обеспечения или ручного расчета с использованием биномиальных или гипергеометрических распределений.

Программные инструменты для расчета размера выборки

Ручные расчеты требуют много времени, особенно для двойных или множественных планов отбора проб. Несколько программных пакетов и онлайн-калькуляторы обеспечивают определение размера выборки для приемочной выборки:

• R статистическое программное обеспечение: Пакеты, такие как , позволяют пользователям проектировать и оценивать планы выборки, вычислять кривые OC и находить оптимальные n и c.
• Minitab: Включает выделенный модуль выборки приемки для планов атрибутов и переменных.
• Онлайн калькуляторы: Веб-сайты, такие как NIST Engineering Statistics Handbook, предоставляют интерактивные инструменты для создания планов выборки и кривых OC.
• Шаблоны таблиц: Excel можно использовать со встроенными функциями, такими как , для оценки биномиальных вероятностей и выполнения итеративного поиска n и c.

Шаг 1: Используйте стандартную таблицу. Для размера лота 2000 и нормального уровня проверки II кодовая буква K. Из ANSI/ASQ Z1.4 для AQL = 1,0% кодовая буква K даёт n = 125 и c = 3. (Это общий план).

Шаг 2: Оценить кривую OC в AQL и LTPD. Используя биномиальное распределение с n=125, c=3:
При p=0.01 (AQL): P(принять) = Σ_{x=0³C^{x125-x. Вычислить: x=0:286, x=1:0.362, x=2:0.226, x=3:0.967 → сумма ≈ 0.967.Так что риск производителя = 1-0.967 = 0,033 (3,3%), что находится в пределах 5% надбавки.}}

При p=0.05 (LTPD): P(принять) = Σ_x=0³C(125, x)[0.05][0.95]^{125-x.Приблизительно с использованием Poisson: λ = 125×0.05 = 6.25. P(X≤3) = e6.25 (1+6.25+19.53+40.57) ≈0.13. Так что риск потребителя = 0.13 (13%), немного выше желаемых 10%. На практике может быть выбран другой план (например, nn200, c=5) для снижения β, или риски принимаются}

Шаг 3: Если использовать формулярный подход, настроить два неравенства и решить их численно. Используя программное обеспечение, план с n=145, c=4 даёт α=0,048 и β=0,099, более точно удовлетворяя требованиям. Это иллюстрирует, что стандартные таблицы обеспечивают удобные планы, но пользовательские планы могут быть оптимизированы для конкретных целей риска.

Двойные и множественные планы отбора проб

План двойной выборки уменьшает средний размер выборки, позволяя второй образец, если первый результат неубедителен. План определяет первый размер выборки nc, и номер отказа r_{c, принять; если ≥]r, отклонить; в противном случае взять второй образец размера nc. Общий размер выборки не фиксируется — он часто требует меньших средних размеров выборки, чем одиночные планы выборки для той же защиты}