Проектирование фильтров нижних и верхних частот с использованием методов Smith Chart

Проектирование эффективных фильтров низких и высоких частот является фундаментальной задачей в радиочастотной (RF) и микроволновой инженерии. Эти фильтры выборочно передают сигналы ниже или выше заданной частоты отсечения при ослаблении других, что делает их необходимыми для кондиционирования сигналов, выбора частоты и соответствия импедансу. Среди различных подходов к проектированию диаграмма Смита выделяется как графический инструмент, который упрощает сложные вычисления импеданса, присущие синтезу фильтра. Путем визуализации преобразований импеданса и коэффициента отражения инженеры могут проектировать фильтры с точностью и интуицией. В этой статье исследуется теория и практика проектирования фильтров низких и высоких частот с использованием методов диаграммы Смита, обеспечивая подробный рабочий процесс от первоначальных спецификаций до выбора и проверки компонентов.

Смит-чарт: основа для дизайна фильтров

График Смита представляет собой полярный график комплексного коэффициента отражения Γ, наложенный с постоянным сопротивлением и постоянными кругами сопротивления. Первоначально разработанный Филлипом Х. Смитом в 1930-х годах, он остается краеугольным камнем RF-дизайна, поскольку он превращает сложные уравнения импеданса в простые геометрические операции. Нормализованное импеданс z = Z/Z0 (где Z0 является системным характерным импедансом, обычно 50 Ω) отображено на диаграмме как точка. Реальная ось диаграммы представляет чистое сопротивление, в то время как дуги выше и ниже соответствуют индуктивному (позитивному) и емкостному (отрицательному) реактивному сопротивлению, соответственно. Его двойная — диаграмма допуска — использует те же круги, но переосмысливает их как проводимость и восприимчивость, что одинаково ценно при работе с параллельными компонентами.

Для проектирования фильтров диаграмма Смита позволяет инженерам определять требуемые реактивные элементы (конденсаторы и индукторы), которые преобразуют входное импеданс в выходное импеданс при достижении желаемой частотной реакции. Нанося на график нормализованное импеданс на частоте отсечки и затем следуя постоянным сопротивлениям или постоянным кружкам проводимости, можно вывести ряды или значения шунтирующих элементов. Этот графический подход устраняет необходимость решения трансцендентальных уравнений и обеспечивает немедленную проницательность в полосу пропускания и соответствующие компромиссы. Современное программное обеспечение моделирования часто встраивает диаграмму Смита в качестве инструмента визуализации, но понимание ручной техники способствует более глубокой интуиции для параметрических регулировок и паразитической компенсации.

Основные свойства для проектирования фильтров:

Для использования этих свойств конструкторы должны свободно читать диаграмму: движение по кругу постоянного сопротивления соответствует добавлению последовательной индуктивности (по часовой стрелке) или емкости (против часовой стрелки), а движение по кругу постоянной проводимости соответствует добавлению шунтирующей индуктивности или емкости. Эти движения составляют основу для синтеза сетей фильтров низкого и высокого прохода.

Проектирование фильтров с низкими скоростями с помощью диаграммы Смита

Низкочастотный фильтр (LPF) передает частоты от постоянного тока до частоты отсечки fc и ослабляет сигналы над ним. Идеальный ответ имеет нулевую потерю вставки в полосе пропускания и бесконечное отклонение в полосе остановки, но практические фильтры достигают постепенного отката, определяемого количеством реактивных элементов (порядка).Обычные конфигурации прототипов включают Баттерворт (максимально плоская полоса пропускания), Чебышев (резкая отсечка с рябью) и Бессел (линейная фаза).Карта Смита помогает в переводе этих прототипов в точные значения компонентов для данного уровня импеданса.

Пошаговая процедура проектирования LPF

Шаг 1: Определить спецификации. Выбрать частоту среза fc, системный импеданс Z0 (например, 50 Ω), порядок фильтра (например, пульсация третьего порядка) и тип прототипа (например, 0,5 дБ рябь Чебышева). Для фильтра с низким проходом нормализованные значения элементов (g-параметры) для выбранного прототипа доступны из стандартных таблиц. Например, в LPF третьего порядка Butterworth с Z0 = 50 Ω используется g1 = 1 H, g2 = 2 F, g3 = 1 H (масштабируемый).

Шаг 2: Нормализовать и нанести на график импеданс при отсечке. На частоте отсечки входное импеданс фильтра чисто реален и равен Z0.Поэтому нормализованное импеданс z = 1 + j0 является отправной точкой в центре диаграммы Смита.

Шаг 3: Синтезируйте компоненты с помощью траекторий диаграмм. Для топологии первой серии, шунтирующей второй (типичной для LPF) дизайн продолжается следующим образом:

  • Первый элемент (индуктивность серии): Добавление индуктора серии перемещает точку импеданса по кругу постоянного сопротивления по часовой стрелке (повышение индуктивного сопротивления)] xxL = g1 (нормализованная индуктивность) = 1 для Баттерворта.На диаграмме найдите круг постоянного сопротивления для r=1, затем переместите его от центра (z=1) до точки, где нормализованное сопротивление равно 1. Это пересечение круга r=1 с дугой x=1.Новое импеданс — z = 1 + j1.
  • Второй элемент (конденсатор шунтирования): При добавлении шунтирующих элементов легче работать в точке входа. Повернуть точку импеданса на 180° вокруг центра, чтобы получить соответствующую допускаемость y = 0,5 — j0.5. Добавление шунтирующего конденсатора увеличивает чувствительность вверх (положительная мнимая часть).bC = g2 = 2.На диаграмме допуска Смита (или с использованием той же диаграммы с интерпретацией допуска) перемещайтесь от точки допуска вверх по окружности постоянной проводимости (g=0,5) до тех пор, пока общая чувствительность не станет y = 0,5 + j1,5. Это соответствует чистой ёмкости шунта 2.
  • Третий элемент (индуктивность серии): Поворот назад к импедансу: новая точка допуска (0.5 + j1.5) даёт импеданс z = 0,2 — j0,6. Добавление индуктора конечной серии движется по кругу постоянного сопротивления r=0,2 по часовой стрелке. Требуемое нормализованное реактивное сопротивление g3 = 1. Движение заканчивается на z = 1 + j0 (в центре), подтверждая, что сеть идеально совпадает на частоте отсечки.

Шаг 4: Денормализация компонентов. Преобразование нормализованного реактивного сопротивления и восприимчивости к физическим значениям с использованием частоты среза:

  • Индуктивность: L = (xL*Z0) / (2π fc)
  • Вместимость: C = bC / (2π fc*Z0]

Для fc = 1 ГГц и Z0 = 50 Ω, первый индуктивный элемент становится 7,96 нН, шунтирующий конденсатор 6,37 пФ, а второй индуктивный элемент также 7,96 нН.

Проверка и настройка

После построения фильтра нанесите на график Смита импеданс на нескольких частотах по полосе пропускания и полосе остановки. При низких частотах (значительно ниже f]c импеданс должен оставаться около 50 Ом) при высоких частотах импеданс движется к краю диаграммы (высокое отражение), что указывает на эффективное отклонение. Если потеря возврата полосы пропускания недостаточна, то на диаграмму можно ориентироваться с помощью незначительных корректировок значений компонентов — например, добавлением малой индуктивности серии для компенсации паразитной емкости. Практические радиочастоты также имеют саморезонансные частоты, которые необходимо учитывать; диаграмма Смита может помочь визуализировать эти паразиты при наложении измеренных данных.

Альтернативные топологии и прототипы

Та же процедура применяется к чебышевским и эллиптическим прототипам, но нормализованные значения реактивности и восприимчивости различны. Для чебышевского LPF с рябью 0,1 дБ, g1 = 0,843, g2 = 0,622, g3 = 1,355. Траектории диаграммы Смита закончатся в одном центре только в случае нечетности порядка; для четных порядков фильтру может потребоваться трансформатор импеданса в одном порту. График также может использоваться для проектирования π- и T-секций путем замены последовательностей рядов и шунтирующих элементов. Во всех случаях графическая природа диаграммы Смита показывает, как спираль импеданса сходится к соответствующему состоянию.

Проектирование фильтров с высоким разрешением с помощью диаграммы Смита

Высокочастотные фильтры (ВПФ) передают частоты выше отсечиваемых и ослабляют низкие частоты. Они представляют собой дуалы низкочастотных фильтров: серийные конденсаторы заменяют серийные индукторы, а шунтирующие индукторы заменяют шунтирующие конденсаторы. Процедура проектирования аналогична, но импедансные движения на диаграмме Смита идут в противоположном направлении, поскольку емкостное сопротивление уменьшается с частотой (отрицательная мнимая часть движется против часовой стрелки для элементов серии) и индуктивная восприимчивость уменьшается с частотой (отрицательная мнимая часть движется вниз на диаграмме допуска для шунтирующих элементов).

Пошаговая процедура проектирования HPF

Шаг 1: Получите нормализованный прототип с низким проходом. Используйте те же значения g из прототипа с низким проходом (например, Баттерворт третьего порядка: g1=1, g2=2, g3=1) Для фильтра с высоким проходом нормализованные значения преобразуются посредством преобразования частоты s → 1/s. Эквивалентными значениями элементов с высоким проходом становятся: емкость серии с нормализованной чувствительностью = 1/g1, индуктивность шунта с нормализованным сопротивлением = 1/g2, и емкость серии снова с 1/g3.

Шаг 2: Установите импеданс на отсечке. На отсечке фильтр высокого прохода также представляет сопоставленное импеданс Z0, поэтому отправная точка снова является центром диаграммы Смита с z=1.

Шаг 3: Синтезировать компоненты по траекториям диаграмм (движение против часовой стрелки для емкости серий, вниз для индуктивности шунта).

  • Первый элемент (конденсатор серии): Конденсатор серии добавляет емкостное (отрицательное) реактивное сопротивление. Из центра двигайтесь по кругу постоянного сопротивления r=1 против часовой стрелки. Требуемое нормализованное реактивное сопротивление xC = -1/g1 = -1. Новое импеданс z = 1 — j1.
  • Второй элемент (шунт-индуктивность): Поворот к допуску:y = 0,5 + j0.5. Добавление шунт-индуктора увеличивает индуктивную восприимчивость, которая отрицательна на диаграмме допуска.bL = -1/g2 = -0,5. Двигайтесь вниз по окружности постоянной проводимости g=0,5 до тех пор, пока общая восприимчивость не станет y = 0,5 - j0,0? На самом деле, начиная с y=0,5+j0,5, нам нужно добавить b=-0,5, так что новый y = 0,5 + j0,0. Это чистая проводимость 0,5.
  • Третий элемент (конденсатор серии): Поворот назад к импедансу:z = 2 + j0.Добавление конечного последовательного конденсатора требует перемещения против часовой стрелки по постоянному сопротивлению r=2.xCC = -1/g3 = -1.Для возвращения импеданса к центру (z=1) третий элемент должен также включать импедансное преобразование?Подождите, осторожно: В фильтре высокого прохода третий элемент также является последовательностью конденсатора, но после двух элементов импеданс переходит к 2 — j1.Добавление ещё одного последовательного конденсатора x=1 перемещается к z=2 — j2.Дело в том, что в топологии и последовательности фильтра используются последовательные конденсаторы на вход

Правильный синтез HPF (третьего порядка Butterworth):] Нормализованные значения высокого прохода: C1 = 1 F, L2 = 0,5 H, C3 = 1 F. На самом деле, стандартная таблица для высоких проходов дает значения элементов напрямую. Для 50 Ω, 1 ГГц высокий проход: C1 = 1/(2π×1e9×50×g1) = 3,18 pF, L2 = (50×g2)/(2π×1e9) = 7,96 нH (поскольку g2=1 для преобразованного значения? Подождите, возникает путаница. Давайте используем стандартный индуктивный конденсатор серии L, в высоком проходе он становится конденсатором серии C = 1/(ω c2 L.) Более практически, конструкторы часто используют конденсаторы серии с нормализованным сопротивлением 1/g, элементы шунтового ветвления становятся индуктивными с нормализованным сопротивлением 1/g. Так для g1=1, последовательный конденсатор нормализовал

Упрощенный подход: Используйте схему допуска Смита для шунтирующих элементов. Начиная с центрального импеданса z=1 (допуск y=1). Для высокопроходной Т-сети:

  1. Конденсатор серии: двигайтесь вдоль постоянного сопротивления r=1 против часовой стрелки на x=-1. Прибывайте на z=1-j1 (y=0,5+j0,5).
  2. Шунт-индуктивность: вращайся в допускающем пространстве (уже y=0,5+j0,5). Для добавления шунт-индуктивности нужно добавить положительную индуктивную чувствительность? Индуктивная чувствительность отрицательна (поскольку Y = jωC для конденсатора, но для индуктора Y = 1/jωL = -j/(ωL)). Так добавление индуктора в шунт уменьшает общую чувствительность (делает ее более отрицательной). Требуемая нормализованная чувствительность для шунт-индуктора b L = -1/g2 = -0,5 (поскольку g2=2). Начиная с y=0,5+j0,5, вычитаем 0,5 из мнимой части: новый y = 0,5 + j0,0. Это точка на нулевой линии реактивного сопротивления.
  3. Вращайтесь обратно в импеданс: y=0.5+j0.0 дает z=2+j0. Теперь добавьте конечный конденсатор серии: двигайтесь против часовой стрелки по r=2 по x=-1. Прибывайте по z=2 - j1 (y=0.4+j0.2). Это не соответствует центру. Причина в том, что высокопроходная T-сеть не симметрична в смысле импеданса после каждого элемента; Конденсатор конечной серии должен быть выбран таким образом, чтобы общее импедансное сопротивление на входе было Z0. На практике значения элементов предварительно вычисляются из таблиц прототипов, не выводятся пошагово на графике. График более полезен для импеданса, соответствующего после того, как фильтр спроектирован, или для проверки отклика на различных частотах. Поэтому более практичное использование диаграммы Смита для фильтров высокой частоты заключается в том, чтобы нарисовать частотный размах и отрегулировать компоненты для достижения желаемого отсечки и возврата потерь. Альтернативно, можно спроектировать

Практический совет по проектированию:] Вместо ступенчатого синтеза дизайнеры часто начинают с известного прототипа с низким проходом и конвертируют с помощью диаграммы: наносят на график траекторию импеданса с низким проходом на частоте среза, затем инвертируют его относительно центра (поворот на 180°) для получения ответа с высоким проходом. Это графическое двойное преобразование менее распространено, но иллюстрирует симметрию. Для большинства практических работ инженеры используют программные инструменты, которые реализуют эти преобразования, но понимание основных движений диаграммы помогает в отладке измерений прототипа.

Проверка и выбор компонентов

Для фильтра высокого прохода, построенного с компонентами поверхностного монтажа, диаграмма Смита может отображать измеренные S-параметры. На частотах, значительно превышающих отсечку, импеданс должен группироваться вблизи центра (совместно). По мере уменьшения частоты к отсечке, импеданс спиралей наружу к открытому или короткому замыканию, в зависимости от топологии. В DC фильтр высокого прохода блокирует все сигналы, поэтому входное импеданс становится открытой схемой (бесконечной VSWR), отраженной как самая правая точка на диаграмме Смита. Накладывая измеренные данные на диаграмме, инженеры могут идентифицировать паразитные резонансы или недостаточное затухание, а затем добавлять компенсирующие элементы.

Передовые методы и практические соображения

Помимо базового синтеза, диаграмма Смита облегчает несколько продвинутых задач по проектированию фильтров. Например, при проектировании многоступенчатых фильтров (например, пятого порядка) диаграмма помогает визуализировать преобразование импеданса по каждому разделу. Каждый этап приближает импеданс к центру на частоте отсечки, но от него на других частотах. Настраивая локусы на несколько частот, дизайнер может проверить, что комбинированный ответ соответствует требованиям отказа.

Сети сопоставления, интегрированные с фильтрами:] Часто фильтр также должен соответствовать входному импедансу источнику или нагрузке, не превышающим 50 Ом. График Смита может включать в себя соответствующий раздел (например, L-сеть или заглушку) непосредственно в фильтр, регулируя значения первого или последнего элемента. Например, фильтр с низким проходом с входом 75 Ом может быть спроектирован путем запуска диаграммы с нормализованным импедансом z=1,5 (для ссылки 75 Ом) и затем следуя тем же траекториям, но масштабируя компоненты соответственно. Последний элемент восстанавливает импеданс до 75 Ом вместо 50 Ом.

Реальные индукторы имеют саморезонансные частоты и эквивалентное последовательное сопротивление (ESR), в то время как конденсаторы имеют эквивалентную последовательно-индуктивность (ESL). Эти паразиты добавляют ложное реактивное сопротивление, которое сдвигает импеданс на диаграмме Смита. Обычный метод заключается в измерении импеданса компонента на нескольких частотах и нанесении его на график, затем регулируют номинальные значения для компенсации. Например, если конденсатор, предназначенный для фильтра высокого пропуска, показывает индуктивное поведение выше саморезона, фильтр может стать низкочастотным на высоких частотах.

Сравнение с другими методами проектирования: В то время как дизайн диаграмм Смита графический и интуитивно понятный, он ограничен умеренной сложностью (до примерно пятого порядка) из-за ручного усилия. Для более высоких заказов программные инструменты, такие как ADS, HFSS или MATLAB, обеспечивают оптимизацию. Однако диаграмма остается особенно полезной для быстрого прототипирования, образовательных целей и при работе с устаревшим оборудованием или ручными вычислениями. Она также служит мощным диагностическим инструментом при анализе измеренных данных фильтра.

Для дальнейшего чтения на основах диаграмм Смита, обратитесь к руководству Microwaves101 к основам диаграмм Смита . Подробное руководство по дизайну фильтров с использованием диаграммы доступно из Все о схемах , которое предоставляет пошаговые примеры с фактическими значениями компонентов. Для тех, кто ищет всеобъемлющую ссылку на синтез RF-фильтра, классический текст Маттеи, Янга и Джонса неоценим, но практическим онлайн-ресурсом является страница RF Cafe Smith Chart , которая включает загружаемые шаблоны диаграмм и инструменты калькулятора.

Заключение

График Смита остаётся непреходящим инструментом проектирования фильтров низких и высоких частот в радиочастотной технике. Графический подход превращает утомительные вычисления импеданса в простые геометрические конструкции, позволяя инженерам быстро синтезировать и проверять сети фильтров. Овладев техникой перемещения по кружкам постоянного сопротивления и постоянной проводимости, можно с уверенностью проектировать фильтры Баттерворта, Чебышева и других прототипов. Более того, диаграмма Смита служит мощным средством проверки и устранения неполадок при работе с реальными компонентами, включающими паразитов. В то время как современное программное обеспечение моделирования автоматизировало многие из этих шагов, прочное понимание методов диаграммы Смита обеспечивает более глубокое понимание основных принципов импеданса и частотного отклика. Используется ли для первоначального проектирования или окончательной настройки, диаграмма Смита остается краеугольным камнем практической радиочастотной фильтрации.