Den snabba Fourier Transform (FFT) är en effektiv algoritm för att beräkna diskret Fourier Transform (DFT). Algoritmen Cooley-Tukey är den vanligaste metoden för att implementera FFT, förlitar sig på återkommande sönderdelning av DFT. Förstå dess matematiska grunder hjälper till att optimera och tillämpa algoritmen effektivt.

Matematisk grund av FFT

DFT omvandlar en sekvens av komplexa tal till frekvenskomponenter. Det definieras som:

]X(k) = ≥[]n=0[][]]]][]]]] x(n) e]]-2πi kn/N[]]]]]]]]

]x(n)[] är ingångssekvensen ]]X(k)[]]]] är frekvenskomponenten, och ]]] är sekvenslängden.

Härledning av Cooley-Tukey Algoritmen

Cooley-Tukey-algoritmen sönderdelar DFT i mindre DFT genom att dela sekvensen i jämna och udda delar:

X(k) = ≥[[][[][]]]]]]] x(n) e[]-2πi kn/N[]]

som kan skrivas om som:

X(k) = ≥[[][]]][]]]]]N/2-1] x(2n) e]-2πi 2n k/N+ e[]][[[[[[[[[[FL]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[

Denna separation möjliggör återkommande beräkning av mindre DFT, vilket minskar beräkningskomplexiteten från O(N2) till O(N log N).

Applicera algoritmen

FFT-algoritmen tillämpar den återkommande nedbrytningen upprepade gånger tills basfallet av storlek 1 uppnås. Resultaten kombineras sedan med hjälp av twiddlefaktorer, som är komplexa exponentiella termer:

][[](k)= e[]]]-2πi k/N[]]]]

Dessa faktorer justerar fasen av de mindre DFT under rekombination, vilket möjliggör effektiv beräkning av hela transformen.