Statlig rymdrepresentation är en matematisk modell som används för att beskriva mekaniska system. Det ger en ram för att analysera systemdynamik med hjälp av matriser och vektorer, vilket gör det lättare att designa kontroller och analysera stabilitet.

Grunderna för statlig rymdrepresentation

State Space Model representerar ett system med en uppsättning av differentialekvationer i första ordningen. Det använder en statlig vektor för att inkapsla all nödvändig information om systemets nuvarande tillstånd.

Den allmänna formen är:

{x(t)= Ax(t) + Bu(t)[]]

[[]] är statsvektorn ]]u(t)]]] är ingången, och ]]]]]] och ]]] är matrices som definierar systemdynamik och ingångspåverkan.

Exempel: Mass-Spring-Damper System

Tänk på ett massspring-dampersystem med massa ]m[], dämpande koefficient ]]]]]]]] och vårkonstant ]]]]. Motionens ekvationer är:

]m* x''+ c* x'+ k* x= u(t)[]

Definiera de statliga variablerna som ]x1 = x[] och ]]]]]x2 = x']], blir statsutrymmeformningen:

≤x1 = x2

≤x2 = -(k/m) * x1 - (c/m) * x2 + (1/m) * u(t)[]]]

I matrisform:

≤x(t)= A x(t) + B u(t)[]

Där:

  • [[0, 1], [-(k/m), -(c/m)]]]]
  • B = [[0], [1/m]]]]

Beräkningar och analys

Med hjälp av statens rymdmodell kan ingenjörer utföra stabilitetsanalys, kontrollerbarhet och observerbarhetsbedömningar. Eigenvalues av matrix ] A] anger systemstabilitet.

Kontrollerbarhet kontrolleras genom att undersöka kontrollerbarhetsmatrisen:

]Q = [B, AB]

Om ]]Q] har full rang, är systemet kontrollerbart.