Mühendislikte Sınır Değer Problemlerini Anlamak
Boundary value problems (BVPs) doğal olarak her mühendislik şubesinde ortaya çıkar.İlk değer problemlerden farklı olarak (IVPs), tüm koşulların tek bir başlangıç noktasında belirtildiği yerde, BVPss iki veya daha farklı yerlerde kısıtlar. Örneğin, yapısal olarak, sabit olmayan bir kirişin iki noktanın defneksiyonu, özellikle de doğrusal olmayan bir şekilde sabitlenme yöntemlerin sonuna kadar, sayısal olmayan yöntemler kullanılarak sayısal olarak çözülebilir; Akışkan dinamikleri, bir şekilde sabit olmayan yöntemler kullanılarak sayısal olmayan yöntemlere göre, sayısal olmayan yöntemlere göre değişken olmayan bir şekilde yapılır.
Atış Yöntemi: A detailed Explanation
Çekim yönteminin temel fikri, bir BVP'nin eksik ilk durumunu (s) bilinmeyen parametreler olarak tedavi etmektir ve sonra, sondaki sınır durumunu tekrar tekrar tekrar tekrarlayan IVP'yi çözülür.
Bir BVP'yi IVP'e dönüştürmek
Şekilin ikinci sıralı bir diferansiyel denklemi (ODE) düşünün: 0,15. Sınır koşulları ile 0,2) ve [[Döntme yöntemi uygulamak için, bunu ilk tahmin ile bir IVP'ye dönüştürürüz.
- SolveFLT:4, [[Dört ve s.
- ► ► ► · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
- Hesaplanan değeri değerlendirin.Its the Hesaplanmış valueurFLT:9).
Hedef eğimi bulmaktır: böyle bir şekilde İLDİĞİ: Bu bir kök bulmak problemdir: tanımlı ve İLDİĞİ için çözmek.
The Iterative Process
Çünkü haritalama:D: 14) genellikle doğrusal değildir, bir iteratif sayısal yöntem gereklidir. Ortak seçimler gizliliğin yöntemi, yanlış pozisyon veya Newton'un yöntemi (eğer türevdenFLT:15) ilgili olabilir: Her bir iterasyon içerir:
- Önceki hataya dayanan yeni bir tahmin seçin.
- IVP'yi yine de İZFLT:17'den ayırarak, “Ücretsiz” olarak kabul edin.
- Kök bulmak için bir şemanın altından aşağıya doğru bir şekilde bir toleransın altında kalır.
ODE lineer olduğunda, fonksiyon:Daire :) lineer inurFLT:21) ve doğru eğim süperpozisyon tarafından iki "kat" bulunabilir. Lineer olmayan sorunlar için, yöntem ayrımı önlemek için dikkatli bir başlangıç gerektirir.
BVPs'in Yüksek Lisans ve Sistemlerine İlişkin
Çekim yöntemi doğal olarak ilk sipariş ODEs'in sistemlerini genel olarak tanımlar, nerede ESFLT:23'in ilk koşulları bilinen ve ESFLT:24'nin bilinen ve biyomekanikler için modellenmesi için uzaysal dinamikler için kullanılan bir algoritma ile belirlenir.
Mühendislikte Pratik Uygulama
Atış yöntemi mühendislik disiplinleri boyunca yaygın olarak uygulanır, çünkü iyi test edilen ve verimli olan sağlam IVP çözücülerinden yararlanır. Aşağıda üç kanonik örnek vardır.
Kirle ve Mekanik Mühendisliğinde Kirleksiyon
Euler-Bernoulli kiriş denklemi[/FONT=) son zamanlardaki mesafe ve eğimdeki sınır koşulları klasik bir BVP. İlk sipariş ODE'lerin bir sistemi için dördüncü sıra denklemi azaltarak, mühendisler değişken yükler veya nokta yükleri altında tahmin etmeyi kullanabilirler.
Karma Sınır Koşulları ile Heatmention
Sürekli devlet ısı geçişi bir kompozit duvar veya fin aracılığıyla, sıcaklık doisfiesurFLT:26) veya bir yüzte belirtilen sıcaklıklar ve bir konvektif sınır koşulu ile başka bir atışta, sol sınırın üzerinde bir ısı flux'a doğru veya üst düzey koşuluna kadar bir miktar ısı transfer eder.
Akışkanlar Dinamikleri
Blasius denklemi bir düz plaka üzerinde aktılı akış için üçüncü sipariş ODE plaka yüzeyinde ve ücretsiz akışta. atış yöntemi, duvar hear stres için eksik ilk durumu bulmak için standart bir tekniktir.
Avantajları ve Sınırlamaları
Herhangi bir sayısal yöntemle olduğu gibi, atış yöntemi uygun olduğunda tespit edilen güçlü ve zayıf yönleri vardır.
Anahtar Avantajı
- [FONT:0]Siksi ve Flexability[Dönetici: 1) Sadece bir IVP çözücü ve kök-bulucu gerektirir, her ikisi de tüm bilimsel hesaplama ortamlarında mevcuttur.
- [FONT:0]Handles Nonlinearities[[Dönergeler[[Dönersizler)[[Dönersiz denklemlerin büyük sistemlerinde sonuçlanan doğrudan kesin olmayan yöntemlerden farklı olarak, atış yöntemi sorunu daha küçük, tutarlı entegrasyonlara yol açıyor.
- [FONT:0] Basit Geometriler için iyi bir şekilde bastırıldı[[Dön 1: 1]: Alan bir boyutlu olduğunda ve operatör çok sert değildir, sık sık sık sık yakınlaşır.
Sınırlar ve Pitfalls
- [FONT:0)Baş tahminlere karşı duyarlılık ([Dönersiz problemler için, fakir bir tahmin yanlış bir çözüme veya bir çözüme yakınlaştırmaya yol açabilir (çok fazla çözüm varsa).
- [FONT:0]Stiff Sorunları[[Dönetici: 1): IVP sert ise - yaygın olarak farklı zaman ölçekleri tarafından etkinleştirilir - sayısal entegrasyon, örtülü bir çözücü kullanılmadığı sürece dengesiz veya pratik olarak küçük bir adım boyutlarına ihtiyaç duyabilir.
- [FONT:0)Yönerge ve Singular BVPs[Dönetici: 1): Atışlama, eksik ilk koşulun, ana sınıra ulaşmadan önce patlamaya neden olan bir bölgede olduğu sorunlar için başarısız olabilir. Bu, "overshoot" problemi olarak bilinir ve genellikle paralel atış veya çoklu atış kullanımı gerektirir (bölgedeki segmentlere parçalanır).
- [FONT:0)C ⁇ Maliyeti[Dönetici: Her atış sistemin tam bir bütünleşmesi gerektirir; yüksek boyutlu sistemler veya çok iyi toleranslar için, birikmiş maliyet küresel yöntemlere göre yüksek olabilir.
Atış Yöntemini Sayısal Araçlarla Gerçekleştirin
Modern hesaplama araçları, çekim yöntemini basit bir şekilde uyguluyor. Örneğin, [[Dönetici:0)Python) ve bir tanesi aslında global yöntemler için [[Geçmiş-bulma yöntemiyle kodlanabilir, ancak çekim yöntemi kök-bulma işlemi için kodlanabilir.InurFLT:2).
Uygulama yaparken, mühendisler ihtiyaçtan haberdar olmalıdır:
- [FONT=0)Proper Scaling[Döneticiler: Denklemler parametre büyüklüğüne karşı hassasiyetleri azaltır.
- [FONT:0] bilek algılama[[Dönetici: Çözüm ayrımı tersine çevirerek veya fiziksel bir sınır ihlal ederse (örneğin, negatif sıcaklık).
- [FONT:0]Continuation[[[Dönetici: 1))[Dönetici: 2))[Dönergelik[Dönergelik[Döncükler) ve yavaş yavaş önceki çözümleri ilk tahminler olarak kullanırken doğrusal olmayanlığı tanıtır.
Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç
Atış yöntemi, mühendisin sayısal cephanesinde önemli bir araç olarak kalır, çünkü sık sık sık sık sık sık kullanılan BVP'yi bir iterated IVP. sezgisel kök-bulma yorumuna dönüştürürken, yüksek kaliteli IVP çözücüleri ile birlikte, geniş bir dizi pratik problem için erişilebilir hale getirir - ısıtıcı profilleri ve sınır tabaka ve konumları hesaplamak için güvenilir bir şekilde modelleme sağlar. Özellikle sert veya tekil problemler için, basitliği ve kullanımları sağlamak için, basitliği ile birlikte, yüksek kaliteli IVP çözümleri her iki araştırma ve tasarım bağlamda devam eder.
[FONT:0)Dönetici Kaynakları).
- [[Dönetici:0)Wikipedia: Atış Yöntemi[Dönem: 1]
- [0]MathWorld: Atış Yöntemi[Dönemli:0)[Dönem:
- [0] BilimDirect: Mühendislikte Atlama Yöntemi).