Variational Yöntemlerin Optimal Kontrol Teorisindeki Rolü

Optimal kontrol teorisi, bu amaçla geliştirilen dinamik sistemler tasarlamak için matematiksel bir çerçeve sağlar, bu nedenle, performans ölçütleri lensleri aracılığıyla yeniden yorumlanır veya uygular.Bu tür analizler için kullanılan en güçlü araçlar arasında, en uygun şekilde yapılan analiz yöntemlerinin test edilmesi ve uygulama alanlarının belirlenmesi için bu disipline dayalı yaklaşımlara güvenir.

Variations of Calculus of Variations

Kontrol problemlerini doğrudan ele almadan önce, gerçek bir sayıya göre hesaplanan değişkenleri anlamak önemlidir;)[Dönemli:0|Düzg|Dönemli/Dönemli)[Dönemli)[Dönemli:)[Dönemli:)[Düzerli/sağlıklı)[Dönemli)[Düzerli/tr|Düzerli)[Düzerli)

En uygun kontrolde, fonksiyonel bir performans indeksi (örneğin, yakıt tüketimi, zaman veya hata karesi), ve bulunan fonksiyon kontrol yasasıdır.[Dönetici:0)[Döneticileri oluşturan bir fikre sahip değildir.Sistem dinamikleri, devletsel denklemler ile bağlantı kurmak (t)[Döneticileri kontrol etmek için gerekli olan iki değişkene ve değişkene bağlı olarak hesaplanabilir.[Dönemli)[Dönemli ve bağımsız değişkenliklere bağlı olarak, değişkenlik ve/veya değişkenliklere bağlı olarak yapılır.

Okuyucular daha derin bir varyasyonun hesaplarına dalarak, [[Dönetici:0)MIT Open ⁇ Ware mükemmel bir ders serisi sunuyor).

Optimal Kontrol Probleminin Oluşumu

Aşağıdaki elementler tarafından en uygun kontrol sorunu tanımlanır:

  • [FONT=0) Devlet denklemleri [Döneticileri: A sistem sıradan diferansiyel denklemler ) = 5 ))[x, t) ⁇ Rn [DÜDÜDÜDÜSÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜ
  • [FONT=0)Performance index[[DÜDÜDÜT:2|DÜyetim:2|DÜyetim[Üye Olmayanlar İçindekiler[DÜye Olmayanlar İçindekiler)[DÜye Olmayanlar İçindekiler[DÜye Olmayanlar İçindekiler) [DÜye Olmayanlar İçindekiler) [DÜye Olmayanlar İçindekiler) [DÜye Olmayanlar İçindekiler)
  • [FONT=0]Constraints[[Döneticiler[Döneticiler: Bunlar devletler üzerinde ilk ve terminal koşulları içerebilir, kontroller veya eşitsizlik yol kısıtlamaları (örneğin, robotik engeller).

Amaç, izin verilen bir kontrol yörüngesini bulmaktır:0)) * (t)[Dönetici: 2) ve ilgili devlet yörüngeleri ile ilgili olarak, en temel olarak değişken yöntemler ile çözülebilir.

Variational Reformu: Hamiltonian ve Lagrangian

Lagrangian Yaklaşımı

Farklı yöntemler uygulamak için, kısıtlı dinamik optimizasyon Lagrange multipliers kullanarak tartışılmayan bir probleme dönüştürülür: Lagrangian işlevsel Tanımlayın:

[FONT:0)L[DÜDÜDÜŞÜŞÜye: {0}[Üye: 9) ⁇ [DÜye, ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

İşte ⁇ (t) ⁇ Rn, Lagrange multipliers vektörü, genellikle mal veya ek değişken olarak adlandırılır. ilk varyasyonu almak için:0)L) x, u ve ⁇ 'ye saygı ile ve sıfıra ayarlanır ve en uygun koşulları sağlar.

Hamiltonian Formulation

HamiltonianüFLT:0)H) = L + ⁇ T f. Sonra Euler-Lagrange denklemleri bir dizi kanonik denklemler haline gelir:

  • [FONT:0) Devlet denklemi[DÜT:1]: ⁇ = ⁇ [DÜ:2).H).
  • [FONT=0)Costate denklemi[Dönem: ⁇ = - ⁇ [DÜ:2)H) / ⁇ x[Dönemli/ ⁇ x
  • [FONT=0)Optimality koşul[[DÜDÜT:2)[[Üye Olmayanlar İçin)[Üye Olmayanlar İçindekiler İçindekiler İçin)
  • [FONT:0] Sınırsal koşullar[Dönemli koşullar[Dönemli devletler veya transversality koşulları terminal zamanında ⁇ / ⁇ x ve ⁇ içeren.

Bu ilk sipariş gerekli koşullar en varyasyonel tabanlı en uygun kontrol çözücüleri temeldir. kontrol kısıtlamaları mevcut olduğunda (örneğin, u ⁇ U, kapalı set), koşul ⁇ )H)/ ⁇ u = 0, Pontryagin’in en iyi kontrolleri en aza indirgeyenleri tarafından değiştirildi (PMP), Hamilton'un en uygun noktası =* = argmin).

Pontryagin'in en büyük Prensibi: The Core Sonuç

Pontryagin'in en büyük prensibi, yukarıda açıklanan en iyi kontrol probleminin merkezi bir sonucudur: böyle bir maliyet var: Her iki gerekli ve en uygun varsayımlar altında, optimal kontrol probleminin yukarıda açıklanan temel ilkeler, bu tür bir maliyetle ilgili bir ⁇ (t) vardır:

  1. Hamilton en uygun kontrol tarafından en aza indirilir:0)H)(x*, ⁇ *, u*, t) ≤ENT:2.H)
  2. Maliyetli evrimler ⁇ = - ⁇ [Dönem:0)H) / ⁇ x, terminal zamanında uygun transversality koşulları ile.
  3. Devlet denklemi ⁇ = ⁇ [DÜDÜ:0)H) / ⁇ verilen ilk şartlarla tutar.

PMP, kontroldeki ve ortaya çıkan değişikliğin maliyet işlevselinde analiz ederek, değişken yöntemler yoluyla elde edilebilir.Bu ilke özellikle patlama-bang kontrol problemleri için güçlü (son derece değerleri arasındaki en iyi kontrol noktaları) ve tekil yaylar (Bardaian kontrolde lineer).

Variational Yöntemlerle Optimal Kontrol Problemlerini Çözme

Indirect Methods

Variational yöntemler, sınır koşulları ile birlikte, iki nokta sınır değerini çözmeye çalışan (TPBVP) değişken denklemleri oluşturur. Devlet ve maliyet denklemleri sınır koşulları ile birlikte, diferansiyel-algebraic sistemi oluşturur. Ortak sayısal teknikler şunlardır:

  • [FONT:0]Shooting methods[[[Dönemli ilk maliyet ve bütünlemeler; Newton’un terminal koşullarını yerine getirmek için yöntemi kullanarak tahminler.
  • [FONT:0) Çok fazla çekim[[Dönlümler): Zaman ufuklarını segmentlere böl, süreklilik koşullarını sağlayın ve daha büyük doğrusal olmayan bir sistemi çöz.
  • [FONT:0)Collocation yöntemleri[[Dönetici: Devletini ve konlokasyon noktalarında dikme ve diferansiyel denklemleri cebirsel kısıtlamalar olarak uygulama.

Doğrudan Yöntemler

Tamamen varyasyonel olmasa da, doğrudan yöntemler aynı zamanda köklerini varyasyonların hesaplarına izler. Kontrolleri ve bazen devlet değişkenlerini ayırarak, optimal kontrol problemini doğrusal olmayan bir programlamaya dönüştürmeyi sağlar (NLP) problemini NLP daha sonra standart optimizasyon algoritmaları kullanılarak çözülür (örneğin, dörtlü programlama). Doğrudan yöntemler başlangıç ve kısıtlamaları daha sağlam bir şekilde daha sağlam bir şekilde işlemek ve işlemek için daha kolaylaşırlar, ancak doğrudan maliyetsiz bir bilgi sağlamazlar.

Illustrative Örnek: Linear Quadratic Düzenleme (LQR)

Klasik bir türev uygulaması lineer dörtlü regülatörü (LQR) problemdir. lineer bir sistem ⁇ = Ax + Bu ve dörtlü maliyet = xTQx + UTRu + Bu.

LQR ve varyasyonal hesaplayıcı ile olan kapsamlı bir öğretici için, ESFLT:0)Stanford'un EE363 notları, derinlemesine bir tedavi sağlar).

Variational Optimal Kontrollerinde Kıtlamalar

Kontrollerdeki Inequality Constraints on Controls

Kontrol sınırlandığında, koşul ⁇ [Dönetici:0)H) veya tek başına ⁇ H[Dönetici) olarak, en uygun kontrol, Hamiltonian'ı izin verilen yapıdaki en uygun şekilde optimize eder.Bu, transistimalasyon için en uygun şekilde yapılır.

Devlet Inequality Constraints

Durumdaki kısıtlamalar, x (t) ≤ x max gibi, giriş / zamanlarda atlama koşullarını içeren temas arklarını içerebilir. Bu sorunlar genellikle olay tespitini içeren dolaylı atış kullanımını gerektirir.

Ücretsiz Terminal Time ve Transversality Koşullar

Son kez t) [DÜDÜDÜSÜŞÜNCÜDÜSÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜN

Variational Yöntemlerin Avantajları ve Sınırları

Avantajları Avantajları Avantajları Avantajları

  • [FONT=0)Rigorous Optimality Koşulları): Variational yöntemler analitik veya sayısal olarak kontrol edilebilir gerekli koşulları sağlar. optimal çözümün yapısına (örneğin, geçiş zamanları, tekil yaylar).
  • [FONT:0] Lineer olmayan sorunlara uygulanabilirlik[Dönerge: Lineer kontrol tasarım araçlarının aksine, varyasyonel yöntemler doğrusal olmayan dinamikleri ve non-quadratik maliyetler, gerekli koşullar elde edilebilir ve çözülebilir.
  • [FONT=0)Costate Information): Konsolos değişkenleri ⁇ (t) ekonomik yorum (gömür fiyat) mühendislikte kaynak tahsis problemleri ve hassas analizler.
  • [FONT=0)Üye Olmayan Çerçeve[DÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜŞÜNÜ: Mekanik (Lagrangian/Hamiltonian dinamikleri), ekonomi (optimal büyüme), ve fizik (minimum eylemi prensibi).

Sınırlamalar

  • [FONT:0]İki-Point Boundary Value Problem Zory): TPBVP ilk tahminlere karşı çok hassastır.
  • [FONT:0)C ⁇ Expense[[[Dönerge: 1))[[Dönersiz yöntemler, genellikle bu ölçekleri kontrol etmeye yol açan, doğrusal olmayan kök-bulmamalara yol açar.
  • [FONT:0)Yol Constraints ile ilgili ayrıntılar[[Döneticileri ve karışık kısıtlamalar, önceden tahmin etmek zor olan tekil yayları ve karmaşık geçiş yapılarını tanıtabilir.
  • [FONT=0]Lack of Robustness[[Dönem: Gerekli koşullar yereldir; non-convex problemleriyle, çoklu sabit çözümler var ve yöntem altoptimal extremum ile bir araya gelebilir.

Bu sınırlamalara rağmen, varyasyonel yöntemler teorik analiz ve karşılaştırma için gerekli kalır. Hem doğrudan hem de dinamik programlama yaklaşımları için matematiksel omurga sağlar. ”Ücretsiz kontrol üzerine makale, çeşitli çözüm yöntemlerine geniş bir perspektif sunar).

Modern Extensions and Applications

Robust ve Stochastic Optimal Kontrol

Variational yöntemler belirsizlikle ilgili sorunlara genişletildi. Stokastik en iyi kontrolde, maliyet işlevsel bir beklentidir ve sistem Brownian hareketine göre değişir. Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) denklemi dinamik programlamadan ortaya çıkar, ancak varyasyonel formülasyonlar (stochastic maximum prensip) alternatif bir rota sağlar.

Partial Diferansiyel Denklemlerin İyi Kontrolleri (PDEs)

Devlet bir PDE tarafından yönetildiğinde (örneğin, ısı denklemi, Navier-Stokes), değişken yöntemler temel hale gelir. Maliyet fonksiyonel, uzay ve zaman boyunca integralleri içerir ve gerekli koşullar zamanında geri çözülmesi gereken ek PDE'lere yol açar.

Öğrenme ve Makine Öğrenme

Modern takviye öğrenme (RL) sürekli kontrol algoritmaları, aktör-critic yöntemleri gibi, ayırt edici olarak ayrıştırılabilir değişkenli yaklaşımlarla ilişkilendirilebilir. Politika gradient theorem, maliyet denklemlerinden elde edilen hassasiyet analizine analog olarak analog olarak dayanmaktadır. Variational autoencoders ve optimal ulaşım ayrıca farklılıkları hesaplanabilir.

Havacılık ve Uzay Uygulamaları

Rocket rehberlik, uçak yörünge optimizasyonu ve robotik hareket planlama ağır bir şekilde değişken yöntemlere güveniyor. Örneğin, Goddard roket sorunu (daha yüksek yakıtı yüksek çözünürlükte) dolaylı yöntemler için klasik bir test vakasıdır. Benzer şekilde, robotik manipülatörler genellikle engelleri önlemek için en uygun kontrolü çözer, doğrudan kollokasyon veya birden fazla atış kullanarak.

Pratik uygulamalarla ilgilenen okuyucular için, [[0)Bu GitHub repository derslendiricileri ve kod örneklerini [Dön ve dolaylı yöntemlerle optimal kontrol problemlerini çözmek için).

Variational Yöntemler Kullanımı için Pratik Bakış

Gerçek dünya optimal kontrol problemine varyasyonel yöntemleri uygularken, uygulayıcılar aşağıdaki adımları dikkate almalıdır:

  • [FONT=0) Model Formulation[[Döneticileri, kontrol girişleri, dinamikleri ve maliyet fonksiyonelleri tanımlamak için yeterince düzgün (veya gerekirse,mooth analizi için yeterince iyi kullanın).
  • [FONT=0) Constraints için kontrol edin[[Dönetici: 1) Problemin kontrolleri, devlet kısıtlamaları veya terminal kısıtlamalarının ne kadar uygun olduğunu tanımlayın.
  • [FONT:0)Derive Gerekli Koşullar[[Dönemli: 1) Hamilton'ı yazın, hesaplayın [Dönetici:2)H)/ ⁇ x ve ⁇ H) / ⁇ u, ve devlet-kostate ODE sistemini elde edin.
  • [FONT=0)Choose Çözüm Yöntemi[[Dönetici: Düşük boyutlu problemler için, iyi bir başlangıç tahminiyle dolaylı bir atış yöntemi verimli olabilir. Daha yüksek boyutlar veya karmaşık kısıtlamalar için, doğrudan kollokasyon (örneğin, CasADi veya ACADO gibi yazılımları kullanarak) genellikle daha sağlam.
  • [FONT=0]Validate Optimality[[Dönetici: Aday bir çözüm elde ettikten sonra, Hamiltonian'ın en az puanlı olduğunu doğrulayın (if PMP geçerliyse) ve ikinci sipariş koşullarını kontrol edin (Barian'ın ekonomikliğini) yerel en iyi şekilde onaylaması için.

dolaylı ve doğrudan yöntemler arasındaki seçim, problem özelliklerine ve kullanıcının diferansiyel denklemlerle aşinalığa bağlıdır. Birçok modern kütüphane, örneğin C ⁇ Optimal Control'in yazılım sayfası için Birliği), karşılaştırmalı referanslar sağlar.

Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç

Variational yöntemler, en iyi kontrol problemlerini çözmek için titiz ve zarif bir matematiksel çerçeve sağlar. Dinamik optimizasyonu bir hesap problemine dönüştürmekle birlikte, teorik analizler için gerekli olan koşullara sahiptir - Euler-Lagrange denklemleri, Hamiltonian formülasyonu ve Pontryagin'ın en iyi kontrol sistemlerini ele almak için genişletildiler ve robotik kontrol yöntemleri ile ilişkili birçok modern algoritmaların çözümüne rağmen, bu yöntemler teorik analizler için vazgeçilmez kalır ve optimal çözümlerin yapısını anlamak için genişletildi.