Daha İyi İçgörüler için Signal Flow Graphs ile Çok değişkenli Sistemleri analiz edin

Signal Flow Graphs for Multivariable System Analysis

Birden fazla girişle karmaşık sistemler, çıkışlar ve geri bildirim döngüleri, kontrol teorisi, elektronik, sinyal işleme ve hatta ekonomi ve biyoloji gibi mühendislik disiplinleri ile ortaktır. Bu sistemlerde değişkenlerin tasarım, optimizasyon ve sorun giderme için kritik olduğunu. Bir sinyal akışı grafiği (SFG), bu tür çok değişkenli sistemlerin analizini basitleştiren güçlü bir grafik ve matematiksel araçtır.Sistem değişkenleri ve değişkenleri kullanarak, düğümler ve kalibre ilişkileri kullanarak, sabit kenarlar arasındaki ilişkileri kullanarak, sabit bir şekilde kontrol edilebilir bir şekilde tanımlamak ve kontrol yöntemleri sağlar.

Bu makale, ilk kez veya profesyonel bir şekilde sinyal akış grafiklerini düzeltmeye bir yazar sunar - temel yapılarından pratik inşaat tekniklerine, Mason'un formülüne ve gerçek dünya uygulamaları kullanarak analiz sağlayacaktır.İlk kez bir öğrenci ile karşılaşmanız olsun veya profesyonel bir arama, analitik araçlarınızı düzeltmeye çalışır, mastering sinyal grafiklerini size çoklu değişken sistemlerin davranışına daha net bir şekilde bilgi verecektir.

Tarihsel arka plan ve teorik temel

Signal akış grafikleri 1950'lerde Samuel J. Mason tarafından, bloklar gibi mevcut tekniklerin tamamlanması için bir yöntem olarak tanıtıldı. Mason'un çalışması, özellikle 1953 kağıt “Feedback Theory – Signal Flow Graphs’un bazı özellikleri”, iki değişken arasındaki temelleme fonksiyonunu temsil eden bir yaklaşımla, temel inovasyonun her değişkeni, bir kazanım olmadan ve her lineer ilişkiyi elleçleme işlemi olarak temsil etmesi için daha kolay hale getirdi.

Bir SFG, form kümesinden doğrudan inşa edilmiştir:

[FONT:0][DÜDÜDÜŞÜŞÜNÜ: 2)[Üye: 9)[Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye) ⁇ [Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye)

Her dönem için bir şubeye girilir.[Dönetici:0)[Dönetici:0][Dönetici:0)[Dönetici: 4 )[Dönetici: 4 ))[Dönetici[Dönetici)[Dönetici)[Dönetici)[Dönetici))[Düzüğün akağı değiştir], özellikle de sistem birçok etkileşim değişken ve geri bildirimde bulunduğunda, SFG’nin bir bakış açısına göre işaret ettiği gibi, analistin sinyalleri tam olarak görmelerini sağlar.

Bir Signal Flow Graph

Bir sinyal akışı grafiği iki temel elementten oluşur: [FONTT:0]nodes[[Dönem:2) ve [[Döneticiler[Döneticiler[Dönemler: 3 ).

[FONT:0]Nodes[[Döneticiler)[Döneticiler) sadece gelen şubelerle, çıkış düğümleri (sinks) sadece gelen şubelerle ve standart SFG'de gelen ve giden şubelerin değeri, gelen şubelerin yanı sıra gelen tüm sinyallerin toplamı.
[FONT:0]Branches[Döneticiler) sadece ok yönünde yol açıyor ve her bir şubenin son node değişkeninin sinyalini üretmeye başlamaz.[Döneticiler[Dönemli sistemler için).

SFG analizi için gerekli ek kavramlar şunlardır:

[FONT:0]Path[DÜT:1] - okların yönünde sürekli bir dizi, bir kereden fazla karşılaşmamış olan.
[FONT:0)Forward yolu[[Dönemli: 1) Bir girişten çıkış yolu, hiçbir çıkıştan çıkışa doğru bir yol.
[FONT:0]Loop[[Dönetici: 1))[[Dönetici:0))[[Dönetici: 0,3|Düzgünüzdeki kapalı bir yol, hiçbir zaman başlangıç / sondan başka bir şekilde tekrarlanmadı.
[FONT:0]Non-touching loops[[Döncükler)[[Döncükler) – ortak düğümleri paylaşan döngüler.
[FONT:0)Path kazanır[[Dönetici:0))[[Dönetici: 1 )
[FONT:0]Loop kazanır[[Dönetici:0) – bir döngünün (kahkahadaki şube kazançlarının ürünü).

Adım Adım - Bir Signal Flow Graph-Staj İnşaatı

Bir dizi lineer denklemlerden veya fiziksel sistem modelinden bir SFG oluşturmak, denklemlerin tarif ettiği basit iki değişkenli bir sistem düşünün:

[FONT:0][DÜDÜŞÜNÜ:2)[Üye: 9)[Üye Olmayanlar[Üyeler)[Üye Olmayanlar İçindekiler[Üye Olmayanlar İçindekiler)[Üyeler)[Üye Olmayanlar[Üye Olmayanlar İçindekiler)

İşte, [DÜDÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜ

[FONT:0] Tüm değişkenleri [Döneticileri 1 ) – bu durumda denklemlerde ortaya çıkan her farklı değişkeni listeler: [[FONTT:2}[DÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜye Olmayanlar İçin Bir Şeye Sahip Olmaz.
[FONT:0] Kaynak düğümleri [Dönetici:2|kullanıcı değişkenleri:0) Kaynaktır; sadece denklemlerin sağ tarafında görünür, bu yüzden düğümün gelen şubeleri yoktur.
[FONT=0]Her bir terim için (Draw şubeleri)[Draw:0)[Draw şubeleri, bir denklemin sağ tarafında, yönlendirilen değişkenden güvenilir bir şekilde çizer ve 1 puan ile etiketleyin.
[FONT=0][FONT=0)[FONT=0][FONT=2][/FONT=[FONT=))[[0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|||||0|0|0|0|0||0|0||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[FONT=0][FONT=0)[FONT=0)[0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[FONT=0][FONT=0)[FONT=0][FONT=2|0|0|0|0|0|x|[DÜDÜDÜye Olmayanlar İçin Tıklayınız.
[FONT=0][FONT=0)[FONT=0)[0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0| {0| {0| {0|0|15|0|0|0| {15||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[FONT=0) Doğruluğu [Dönetici: 1) Madde 1: ...Görüngenin orijinal denklemleri tam olarak temsil etmesi gerekir.Her birinde değer, gelen şube kazançlarının ve kaynak toplam değerlerinin ürünlerini eşitlemelidir.

Bu prosedür, doğrusal denklemlerin herhangi bir sayısına çalışır. Daha karmaşık fiziksel sistemler genellikle blok diyagramları veya diferansiyel denklemleri Laplace domaini ilk kez ifade ederek ve sonra cebirsel ilişkileri yazmaktadır.

Mason'un Formula Kazandığı: SFGs Analytical Kalp

Mason'un kazan formülü, genel transfer fonksiyonunu hesaplamanın doğrudan bir yolu sunar:0)T(s)) bir girişten eş zamanlı denklemleri çözmeden hiçbir çıkışa kadar hiçbir şekilde işlem yapmaz.

[FONT=0)T = ( ⁇ P[DÜT:1)k[[DÜDÜDÜ:2) {{[DÜye ait) / {{[DÜye ait)

Nerede:

[FONT:0)P) = [FLT: 4])[Dönemli yol için.
[FONT:0) ﴾37[DÜDÜDÜDÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜSİAD: 0:0) ﴾15﴿

{{ = 1 - (tüm bireysel döngü kazançları) + (sum of gain products of all possible combinations of two non-touching loops) - (üç dokunmamış döngülerin ürünleri elde etmek için) + ...

[FONT:0) 345[[FONT:2][Dönemli)[[0] 377,0) 345; ﴾4﴿ {0}[D][/FONT=3][/FONT=3}) {0}[0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|D][/FONT=))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Mason'un Formula'ini Uygulamak: A detailed Örnek

Daha önceki iki değişkenli sistemi kullanalım. Birincisi, tüm döngüleri ve ileri yolları tanımlayalım:

[FONT:0) x[DÜT:1][/FONT][/FONT=)[0)[B][/FONT=3][/FONT=3)[DÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜye ait olan SİZİN SİZİN SİZİN SİZİN SİZİN SİZİN SİZİN SİZİN SİZİN SİZİN SİZİN İLİŞK KAYNAKLARI KAYNAKLARI ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
Yol 2: u → x₎₁ → x₎) Kazanılan Derece P_{)[D[D) = 1 · d = d = d = d = d = d = d.}

[FONT=0) → → ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

x[x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|[x|)[x|x|x|x|x|x|x|x|) ve x[D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D)[x|[x|D)[x|D=2|D=D)[x|D=D=D=|D=|D=|D=|D))

Şimdi Hesap 345:

{{ = 1 - (sum of loop kazanımlar) + (iki dokunmamış döngülerin ürünleri) – [Düzen:0) Sadece bir döngü olduğundan {{ = 1 – bc.

Sonraki, hesap {{[D:0)k[Dönemli yol için:

Yol 1 (geriye): x[DÜye ait olan) ve x[DÜye ait)[DÜye Olmayanlar (Dönder) ile bağlantıya girerler.
Yol 2 (ve) için: yol, x[D:0) x[Dönemli:0)[Düzesel: 1 )[Dönemli: 2|Döntgen: 3 ))[Döneme: 3 ))) x[Düze dokunur.

Son olarak, transfer fonksiyonu T = (P[DÜDÜ:0)) 345 (d) / (1- bc)

Bu sonuç, orijinal denklemleri cebirsel olarak çözerek, Mason'un formülünün gücünü ortaya çıkarabilir.

Blok Diagrams ile Karşılaştırma

Signal akış grafikleri ve blok diyagramları hem model sistemi dinamikleri için farklıdır, ancak birkaç şekilde farklıdır. Block diagramları işlevsel bloklar vurgular (örneğin, transfer fonksiyonu bloklar, modülasyonlar, seçici noktaları) ve genellikle daha basit sistemler için çizimler yapmak için daha kolaylaşırlar, SFGs genellikle daha hızlı ve daha az hata yapma şansı olmadan transfer işlevine sahiptir.

Gerçek-Dünya Uygulamaları Across Disciplines

Kontrol Sistemleri Mühendisliği

Örneğin, bir otomotiv yolcu kontrol sistemi, giriş olarak hızlanan ve geri bildirimlerini bir PID kontrolörü kullanarak modellemek için kullanıyor. Örneğin, bir otomotiv yolcu kontrol sistemi, bir SFG olarak hızlanan bir SFG olarak temsil edilebilir, giriş olarak throttle pozisyonu ve geri bildirimleri, kullanıcıların SFGmatik programına otomatik olarak uygulamalarına izin verir.

Elektrik Devreleri ve Ağları

Elektronikte, SFG'ler yükselteçmiş veya transkondüktörleri gibi lineer devreleri analiz etmek için kullanılır ve osilatörler. Grafik, node gerilimleri ve mevcutları temsil edebilir ve bu yaklaşım, özellikle de transkondüktörleri yansıtarak, geri bildirim yükselticileri küçük imzalı bir eşdeğer devre haline gelir.

Signal Processing

Dijital filtre yapıları (örneğin, doğrudan form, cascade, paralel) genellikle SFG'leri kullanarak temsil edilir.Her gecikme elemanı, zımparatlama, katlama etkisi ile bir şube haline gelir[Dönemliler ve ekler ve çoklular düğümler). Sonra Mason'un formülü, filtrenin genel transfer fonksiyonunu H(z) filtrenin etkisini anlamakta yardımcı olur.

Ekonomi ve Sosyal Bilimler

SFG'ler ayrıca, GSYİH, işsizlik, enflasyon gibi değişkenlerin modellenmesi ve yatırımın lineer ilişkilerle bağlantılı olduğunu görmek için çok değişkenli ekonomik sistemler modeline de alışkındır.

Biyolojik ve Ekolojik Sistemler

Sistem biyolojisinde, SFG'ler metabolik yol yolları, gen düzenleyici ağları ve sinir devreleri. Her bir node bir molekülün konsantrasyonunu veya bir nöron ateş hızını temsil edebilir ve şubeler reaksiyon oranlarını veya sinaptik ağırlıkları temsil eder. Transfer fonksiyonu yaklaşımı, araştırmacıların ağın yanıtını uyaranlara, osilasyonların varlığını ve sürekli devletlerin istikrarını temsil etmesine izin verir.

Signal Flow Graphs Kullanımının Avantajları

[FONT:0)Visual açıklık[Dönetici: 1) Kompleksi, yakınlaşmalar hemen ortaya çıkar, geri bildirim döngülerini ve değişkenleri arasındaki darbeyi daha kolay hale getirir.
[FONT:0]Efficient transfer fonksiyonu türksiyon[DÜT:1) – Mason’un formülü eş zamanlı denklemleri çözmeden kaçınır, cebir hataları azaltır.
[FONT:0)Modularite ve ölçeklenebilirlik[Dönetici: 1) Subsystems ayrı SFGs olarak modellenebilir ve sonra bir araya gelir. Grafikin bir bölümünü kopyalamak tüm sistemi yeniden analiz etmek gerektirmez.
[FONT:0]Handles multiple inputs and prints[[DÜT:1) – SFG doğal olarak MIMO sistemlerini temsil eder; birden fazla transfer fonksiyonu (örneğin, her bir girişten her bir çıkışa kadar) farklı kaynak ve lavabo düğümleri seçerek aynı grafiklerden elde edilebilir.
[FONT:0]Demirler hem sürekli hem de ayrı sistemler[Dönler: 1) Sörtücüler domain-agnosticdir; Laplace transformleri ile çalışır, z-transformlar veya hatta basit cebirsel kazanımlar.

Sınırlar ve Tahminler

Onların gücüne rağmen, sinyal akış grafikleri bir panacea değildir. Onlar lineer, zaman değişkenli ilişkileri (veya en azından doğrusal olmayan bir çalışma noktası etrafında). Lineer sistemler, sinyallerin fiziksel birimleri veya bant kısıtlamaları gerektirir.

SFG İnşaat ve Analiz için Yazılım Araçları

Birkaç yazılım paketi sinyal akış grafik manipülasyonu ve analizi destekler:

[[DÜSÜSÜSÜSÜ:0)MATLAB/Simulink[DÜT:1) – Simulink blok diyagramları kullanıyor olsa da, Kontrol Sistemi Toolbox kullanıcıların transfer işlevlerini tanımlamalarını ve bunları manipüle etmelerine olanak sağlar.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.
[FONT:0]Python (kontrol kütüphanesi)) - Aff:2 gibi kütüphaneler ) lineer sistemler için araçlar sağlar. Kullanıcılar devlet uzay modelleri oluşturabilir ve SFG analizine eşdeğer olan işlevleri transfer edebilir.
[0]Symbolik matematik araçları (Mathematica, SymPy)) – Bu, SFG denklemlerinin sembolik inşaatına ve Mason'un küçük boyutlu sistemler için formülüne doğrudan uygulama sağlar.
[FONT:0) Grafik tabanlı araçlar[[Dönetici:0][Dönetici:0)[Döneticileri ve hesaplama işlevleri için grafiksel arayüz sağlar.

Öğrenme ve küçük ölçekli problemler için, SFG'leri manuel olarak çizin ve Mason'un formülü el ile uygulama, sinyal akışı ve geri bildirim için sezgi oluşturan mükemmel bir pedagojik egzersizdir.

Signal Flow Graphs kullanarak en iyi uygulamalar

[FONT:0) Açık denklemlerle başlayın[[Dönetici: 1) Doğru lineer sistem fiziksel yasalardan veya ampirik ilişkilerden elde edilir. Her bir şube bir tek yönlü bir ilişki temsil etmelidir.
[FONT:0)Label tam olarak kazanımlar elde etmek için tutarlı bir şekilde işlem yapılır. Sürekli sistemler için, kazanımlar, [[Dönemli sistemlerde rasyonel fonksiyonlar olabilir.).
[FONT:0] Tüm döngüleri sistematik olarak genişletin[Dönetici:0) Bir döngü yanlış bir determinanta ve yanlış transfer işlevine yol açabilir. Sistemli bir yöntem kullanın: her düğümden başlayın ve iz kapalı yollara başlayın, tekrardan kaçınmak için düğümleri ziyaret edin.
[FONT:0) Odak olmayan döngü kombinasyonlarını kontrol edin[Dönetici:0)[Döncükler için - Birden fazla döngü ile kompleks grafikler için, tüm kombinasyonlar açıkça hesaplayın.
[FONT=0) Alternatif bir yöntemle işaret etmek[[Dönem: 1) Eleştirel uygulamalar için, farklı bir teknik kullanarak son transfer fonksiyonunu doğrulayın (örneğin, devlet uzayını devre dışı bırakmak veya sayısal simülasyonu)
[FONT:0) Büyük sistemler için yazılım kullanın [Dönetici: 1) Bilgisayar, insan hatasından kaçınmak için bir avuç döngüden daha fazla sistemler için üstolojik hesaplamaları ele alalım.

Sonuç: Signal Flow Graphs Matter for Modern System Analysis

Signal akış grafikleri, çok değişkenli doğrusal sistemlerin analizinde temel bir teknik olarak kalır, SFG'lerin bir araya gelmesi, mühendislere yönelik sorunların çözümüne ve sistemin genel yapısını ortaya çıkarmalarını sağlar.

SFG'lerin inşaatına ve Mason'un formülüne uygulanmasına usta olarak, kendinizi daha derin bir anlayış elde etmek için zamansız bir yöntemle donatın.Modern yazılımlarla birlikte, sinyal akış grafiği daha güçlü bir varlık haline gelir - yorum ve tasarıma odaklanmanızı sağlarsınız.

[FONT:0]Daha fazla sinyal akış grafiğinin teorik temeli üzerinde okumak için, Mason'un orijinal kağıdı ve standart kontrol derslerini “Modern Kontrol Mühendisliği” Katsuhiko Ogata) tarafından bulabilirsiniz.