Optimal Kontrolte Sınır Değer Problemleri Nedir?

Optimal kontrol teorisi, bir kontrol politikasını belirlemek için matematiksel bir çerçeve sağlar ve zaman içinde performans indeksi en aza indirmek için, dinamik kısıtlamalara tabi.Birçok optimal kontrol formülasyonlarının kalbinde, bir sınır değeri problemini çözme ihtiyacı vardır (BVP). Bir sınır değeri sorunu, her koşulda en iyi kontrolde belirtilen koşullar, BVP'ler doğal olarak en iyi kontrol noktalarından ortaya çıkar.

BVP'leri anlamak önemlidir, çünkü geniş bir dizi sistemin en iyi davranışını yönetirler: uzaysal yörünge optimizasyonu ve robot hareketinden kimyasal süreç kontrolü ve ekonomik büyüme modellemesini planlamaları. BVPs'in karmaşıklığı, non-yerel doğası ve #8212; her noktada çözüm her iki sınırda da onlara analitik bir şekilde ilk değer problemlerinden daha zorlaşır.

BVP'yi Optimal Kontrollü Olarak Formüle Etmek

En iyi kontrolde bir BVP formülasyonu genellikle, ESFLT tarafından açıklanan dinamik bir sistemle başlar:0) Devlet denklemleri[[Dön 1: 1)

\[\dot{\matbf{x}}(t) = \matbf{f}(t) \matbf{x}(t) \matbf{x}(t 0) = \ 0) = \ 0\ 0\ 0\]

\(\matbf{x}(t) \in \matbb{R}^n\) devlet vektörü, \(\matbf{u}(t) \in \in \ matbf{R}|s 0\) kontrol vektörü ilk kez bulmaktır.

\[J = \phi(\matbf{x}(t f) \ f) + \int {t 0}^{t f} L(\matbf{x}(t) \matbf{u}(t)

terminal kısıtlamalarına tabi \(\psi(\matbf{x}(t f), t f) = 0\).

PMP'yi uygulamak, Hamiltonian'ı tanımlıyoruz: \(H = L + \boldsymbol{\lambda}^ \matbf{f}\), \(\boldsymbol{\lambda}(t) \in \mat@b.{R}n\) aynı zamanda en iyi değişkenleri denir (aynı zamanda)

  • Devlet denklemleri: \(\dot{\matbf{x}} = \partial H / \partial \boldsymbol{\lambda}\)
  • Costate denklemleri: \(\dot{\boldsymbol{\lambda}} = - \partial H / \partial \matbf{x}\)
  • İstasyon durumu: \(\partial H / \partial \matbf{u} = 0\)
  • Sınır koşulları: \(\matbf{x}(t 0) = \matbf{x} 0\; \(\boldsymbol{\lambda}(t f) = \left( \partial \ f) f} f f{x} 0 0 f} + \ f} f f f f f f f} f f f f f f f f f}\ f f f} f f f f f f f f f} f f f f f f f f

İstasyonsallık durumu, ilk ve son zamanlarda sınır koşulları bölünmüş olan 2n ilk sıralı bir tür normal diferansiyel denklemler (ODEs) için bir çift sipariş sistemi vermek için kullanılabilir.Bu, TPBVP'nin çözülmesi gereken bir durumdur.

Hamilton Sistem

Hamilton sistemi, sistem özerk ve terminal maliyetinin açık bir zaman bağımlılığı olup olmadığının en iyi şekilde kontrol problemi için, bu denklemler, her iki durumda da BVP'yi zorlayan bir Hamiltonian sistemi oluşturur: ilk koşullar sadece kısmen bilinen (göfkede) ve kısmen bilinmeyen (ya da geçerli) ve kısmen bilinmemektedir (ostate, zaman içinde geri dönüşler) ve her iki durumda da BVP zor durumda da belirtilen son derece önemlidir.

Sınırsal Koşullar ve Transversality

BVP'lerin en iyi kontroldeki son koşullar sadece sabit başlangıç ve son devletlerden daha fazlasıdır.

  • [FONT=0) İlk devlet: [Dönetici: [Dönetici:0) = \matbf{x}(t 0) = \matbf{x} 0\).
  • [FONT=0]Cidden son derece yüksek çözünürlükte olan son durum: [Dönetici:0]Cidden son kez malatın son zamanlardaki malum olması (\boldsymbol{\lambda}(t f) = \partial \phi / \partial \mat\mat f{x} \big| {t f}\).
  • [FONT=0)Dönel kısıtlamalar: [Dönetici:[Dönetici:0)[0][0][0)) f= 0bolun|var f)= 0 f f f f f f f f f f f f f f bolun f f f f f bolun f
  • [Üye Olmayanlar İçin Tıklayınız: [Üye Olmayanlar İçin Tıklayınız.)

Bu sınır koşullarının doğru formülasyonu kritiktir. Yanlış tanımlanmış koşullar sayısal istikrarsızlık veya yakınlık dışı çözümlere yol açabilir. transversality koşulları için, Bryson ve Ho tarafından klasik metin bakınız.

Çözme İçin Yöntemler Boundary Value Problems

BVP'lere en uygun kontrolde analitik çözümler nadiren çok basit sistemler dışında mümkündür (örneğin, sabit zaman ile lineer dörtat düzenleyicisi), sayısal yöntemler önemlidir. ana kategoriler atış yöntemleri, sonlu fark yöntemleri ve kollokasyon yöntemleri içerir.Her biri problem yapısı ve boyutsallığa bağlı olarak güçlü ve zayıf yönleri vardır.

Atış Yöntemleri

Atış yöntemleri BVP'yi ilk değer problemine dönüştürür (IVP) eksik başlangıç koşullarını tahmin ederek (genellikle ilk maliyetle) ve sonra terminal süresini dört gözlendir.The terminal yanlış eşleştirme (difference between hesaplama son conditions and desired terminal conditions) o zaman çok fazla güncellemek için kullanılır[Dönemli işlem) Aslında her zaman sabit olmayan segmentlere ve süreklilik problemlerini geliştirir.

Atış yöntemleri sezgiseldir ve olgun ODE bütünleştiricilerden yararlanırlar, ancak yoksul ilk tahminlere karşı hassas olabilirler ve ilk koşullara uzun zaman ufk veya yüksek hassasiyetle sorunlar için başarısız olabilirler.

Finite Fark Yöntemleri

Finite farkı yöntemleri, devletleri ve zaman noktalarının bir ızgara üzerinde doğrudan hareket eder.Diferansiyel denklemler, aynı anda çözülecek olan sonlu farklar (örneğin Euler, tuzaklar veya Runge-Kutta şemaları) ile değiştirilir ve ilk ve son ağ noktalarında eşitlik kısıtlamalarına dönüşür.

Finite fark yöntemleri, özellikle bilinen çözüm yapısıyla ilgili sorunlar için sağlam bir alternatif sağlar. Her Newton iterasyonda büyük sparse lineer sistemlerini çözmeleri gerekir, bu da yüksek boyutlu devlet alanları için hesaplamalı olarak pahalı olabilir, ancak paralelleştirme ve sparse matris tekniklerinden yararlanır.

Collocation Methods

Collocation yöntemleri, her zaman aralığındaki sınır işaretlerini ve süreklilik koşullarını temsil eder ve sonuçsuz programlama problemini (NLP) kullanarak çözülebilir ve IPOPT veya SNOPT gibi farklı şekillerdeki ayrımcıları optimize eder.

BVP sayısal yöntemlerinin ayrıntılı bir karşılaştırması için, Ascher, Mattheij ve Russell'ın GÜNCEL:0) “Uygun Para Problemlerinin Sıradan Diferansiyel Denklemler için Çözümü”).

Doğru Yöntemi Seçin

Yöntem seçimi birkaç faktöre bağlıdır:

  • [FONT:0)Problem büyüklüğü: [Düz Boyut: [Düz Boyutlu Durum İçin 1] Düşük boyutlu devlet (n ≤ 10), atış yöntemleri genellikle yeterli. Yüksek boyutlu veya büyük ölçekli sorunlar için, kollokasyon veya sonlu fark daha iyi ölçeklenebilir.
  • [FONT:0] Dinamiklerin Davranışı: Stiff sistemleri, konlokasyon ve sonlu farkın doğal olarak ele alınması gerekir.
  • [FONT:0] İyi bir başlangıç tahmininin yetersizliği: Atış yöntemleri ilk tahmin kalitesine bağlıdır. En iyi yörüngenin kaba bir şekilde yorumlanması (örneğin, heuristic veya basitleştirilmiş bir modelden), atış hızla bir araya gelebilir.
  • [FONT:0)Path kısıtlamaları:[[Dönemli: 1) Devlet veya kontrollerdeki eşitsizlik kısıtlamaları mevcut olduğunda, doğrudan transkript yöntemleri (kolokasyon) genellikle daha esnektir.

Meydanlar ve düşünceler

BVP'leri en iyi kontrolde çözme rutin bir görev değildir; çeşitli zorluklar ele alınmalıdır.

Hassasiyet ve Convergence

Bilinmeyen sınır koşullarındaki küçük değişiklikler, daha iyi bir problem sağlayarak bunu en iyi şekilde genişletebilecek basit çekimlerde özellikle akut olan Jacobians'a ihtiyaç duyar.Bu, özellikle de son derece değişkenleri veya otomatik olarak elde edilebilir olan hataların üst üste yayılması nedeniyle son durumda büyük sapmalara neden olabilir.

Scaling ve Normalleştirme

Değişkenler (devletler, maliyetler, zaman) genellikle büyüklüğün farklı emirlerini kapsar. Zavallı ölçeklendirme, genellikle yanlış bir değişken olarak tedavi edilir ve dinamikler normal bir zamana dönüştürülür (örneğin, 0,1) ve ölçeklendirme devletlere standart bir işlem öncesi adımlar atar.

Singular Arcs ve Nonsmooth Çözümleri

Bazı optimal kontrol problemlerinde, Hamiltonian kontrolde lineer olabilir, geçiş fonksiyonunun zaman türevlerini kullanarak:0) daha karmaşık ve genellikle daha yüksek sipariş koşullarını (örneğin, Kelley koşulunun kontrol edilmesi durumundadır.

C ⁇ Maliyet

Yüksek boyutlu sistemler (n > 50) havacılık ve robotikte yaygındır. Finite farkı ve collokasyon yöntemleri binlerce değişken ve kısıtlamalarla büyük NLP'lere yol açar. Verimli sparse lineer cebi ve dekompozisyon tekniklerini hızlandırmak için araştırılmıştır (örneğin, aktif araştırma konuları olarak kalır.)

Gerçek Dünya Uygulamaları ve Vaka Çalışması

En iyi kontrolde kesin değer sorunu çözümü akademik bir egzersiz değildir ve #8212; günlük mühendislik tasarımında ve operasyonlarında kullanılır.

Havacılık: Araç Ascent

Klasik uygulamalardan biri, Dünya'dan yörüngeye bir fırlatma aracının en uygun olanıdır. Araç dinamikleri, yakıt yakması ve atmosferik sürüklenme nedeniyle üç boyutlu hareket ve atmosferik sürüklenme içerir. Hedef yakıt tüketiminin (veya en üst düzey ödeme yükü) en iyi şekilde kullanılmasını sağlamaktır.

Robotik: Zaman-Optimal Path Takip

Robotik manipülatörler, reçeteli geometrik bir yol takip ederek görevlendirilmişler için, en uygun kontrol sorunu, tomk limitlerine konu olan bir zaman konusunun daraltılması için en uygun şekilde azaltılabilir.The dynamics lead to a set of Differential denklems with limit conditions on location and speed at the road. Collocation methods manage here because the road can be parameterized by a single scalar variable, result in a small BVP that can be solution in real-time for reaktif hareket planlama.

Ekonomi: Optimal Büyüme Modelleri

Makroekonomide, Ramsey büyüme modeli, sonsuz bir ufukta sosyal refahı en üst düzeye çıkaran tüketim yolunu bulmaya çalışır.Bu, devlet (kapital) ile BVP'ye yol açar ve bu BVP için projeksiyon yöntemlerinin kullanımını araştırır.

Illustrative Örnek: Basit Bir Tek Boyutlu Problem

Python'un (kahkaha) problemini göz önünde bulundurun (=0.)) \(\ x 0=1\) ve ücretsiz son derece = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x x x x = x x = x x x x x x = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = x = x = x = x = x = x x x x x x = x = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç

“Dönemli değer problemleri, optimal kontrol analizi ve tasarımın arka kemiğini oluşturur.Rektörlükten Pontryagin'nin en yüksek prensibini kullanarak pratik sayısal çözümü kullanarak çekim, sonlu fark veya kollokasyon yöntemleri, BVPs'i anlamak, hassaslıklarla çalışan herkes için vazgeçilmezdir, ölçeklendirme, ölçeklendirme ve problem çözmeden dolayı önemlidir.