Discrete Systems'te Stability Analizine Giriş

Stability analysis, kontrol sisteminin geri kemiğini oluşturur ve bir sistemin tahmin edilebilir bir şekilde yanıt vermesini sağlar ve z-düzeltme Mühendisleri için sabit bir sistem ve #8212; dijital kontrolde, sinyal işleme ve gömülü uygulamalar ve #8212; istikrar kriteri, her zaman ayarlı sistem için sabit olmayan sistemler için sabitlenmiş durumdaki sabit sistemler için sabitlenebilir ve analiz araçlarına güvenir.

Bu makale, Routh-Hurwitz ve Jüri’'nin kapsamlı bir karşılaştırması sunar; kararlılık testi, matematiksel temellerini, procedural adımlarını, pratik adaptasyonlarını ve akrabalarının da aynı şekilde, ayrık sistem analizi ihtiyaçlarının uygun tekniğini seçmesi için açık bir yol haritasına sahip olacaktır.

Discrete System Stability: The Unit Circle Criterion

Belirli yöntemlere girmeden önce, ayrık zamanlı sistemler için temel stabilite durumunu hatırlamak önemlidir. [Dönemli bir sistem transfer işlevi ile açıklanan ve tüm polinomi = 0:2).[D)[D=0)[D)[D=0|D)[D=4|D=0|D)[D)[D)[değiştir | kaynağı değiştir]

Kök-bulma algoritmaları doğrudan kutup yerlerini hesaplayabilirken, Jüri ve#8217; Test doğrudan Routh-Hurwitz ve Jüri’ testin etkili olduğunu, ameliyat dışı çeklerin ve benzeri kontrollerin doğrudan doğruya doğru çalıştığını göstermektedir.

Routh-Hurwitz Criterion ve Adaptasyonlarını Ayrılma Sistemlerine Uyum

Klasik Routh-Hurwitz for continuous Systems

Routh-Hurwitz kriteri sürekli lineer sistemlerin stabilitesi için gerekli ve yeterli koşullar sağlar. karakteristik bir polinomal sistemler göz önüne alındığında.

[DÜŞÜNÜ: 0][Üye: ÂHÂHÂHÂHÂH: ÂHÂH: ÂHÂH, ÂHÂH, ÂHÂHÂH, ÂHÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH ÂH Â

Yöntem, katlardan bir Routh serisi inşa eder. Sistem, dizinin ilk sütununda tüm elementler pozitif ve nonzero. A sign change, doğru yarı uçakta kökleri gösterir ve böylece istikrarsızlıktan kaçınır.

Bilinci: z-Plane'yi s-Plane Dönüştürmek

Routh-Hurwitz'i ayrı sistemlere uygulamak için mühendisler, bilinen dönüşümleri kullanırlar (ayrıca Tustin’ dönüşüm). Bu haritalama, dönüşümden sonra kolaylık sağlar:0)) değişkeni yeni bir değişkene göre değişkendir.

[FONT:0) [DÜDÜDÜDÜDÜŞÜNÜ: 1)[Üye: 2) / (1 & #8211; [[DÜyetim: 4)

veya normalleştirilmiş örnekleme süresi için:0)T) = 2, daha basit form ) = (1 +ahiFLT:4)[Dörtüncü|Düzeden yarı uçağa kadar) / (1 & #8211; [[Düzge # 7|Düzüğün içinde, standart olarak dönüştürülen bir şekilde, doğrulanmış bir şekilde, doğrulanmış bir şekilde, doğrulanmış bir şekilde, doğrulanmış bir şekilde, doğrulanmış bir şekilde, doğrulanmış bir şekilde, doğrulanmış bir şekilde, doğrulanmış bir şekilde incelenebilir.

Routh-Hurwitz'ı Ayrık Sistemlere Uygulatmak için Adımlar

  1. [FONT=0)Obtain thecrete characternomial[[DÜT:1) [D:2).[D)[DÜye Olmayanlar İçindekiler ve transfer fonksiyonu.
  2. [FONT=0)Bilinmeyen dönüşüm[DÜye Olmayanlar İçin[DÜye Olmayanlar İçin Tıklayınız.)[D)[DÜye Olmayanlar İçin Tıklayınız.
  3. [FONT:0) Uygulamalı olarak, Routh-Hurwitz kriteri[Dönetici:0)[Döneticileri değiştirmiş ve ilk girişlerin işaretlerini inceler.
  4. [FONT=0)Stability result:[Döneticileri:[Döneticileri olumluysa, ayrı sistem stabildir (tüm kutuplar birim çemberi içindeki kutuplar). Herhangi bir işaret değişikliği, birim çemberi dışındaki kutup sayısını gösterir.

Bu yaklaşım işe yarasa da, ek algebraic karmaşıklığı getirir.Bilinmeyen dönüşüm, sürekli sistem başvurusuyla aşina olup, özellikle yüksek sipariş sistemleri için veya örnek dönemler için uygun bir şekilde uygulanabilir bir şekilde geliştirilebilir.

Routh-Hurwitz Adaptasyon Sınırları

  • [FONT:0)Algebraic yükü:[Dönemli dönüşüm polinomu genişletiyor, potansiyel olarak hataları tanıtıyor ve manuel hesaplamalar yayınlıyor.
  • [FONT:0]Numerical hassasiyet: [Döneticiler için yüksek sipariş için, katsayı büyüklüğü yaygın olarak değişebilir, hasta dizilere yol açabilir.
  • [FONT:0) Özel vakalar:[Dönetici:0) Yöntem, hayali eksendeki kökler için yardımcı polinomları (ŞUDÜ:2)[DÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜye Olmayanlar) işlemek için gereken bir alt yapıdır.
  • [FONT:0) Tamamen ayrı sistemler için verimsizlik: Çünkü yöntem ayrı alana yerli değildir, birçok kontrol dersi Jüri ve #8217 önerir; daha doğrudan ve daha az hata-prone alternatifi olarak test eder.

Bununla birlikte, Routh-Hurwitz kriteri bazen sürekli ve ayrı analiz arasında bir köprü olarak kontrol edilir ve cebirsel zorlukları azaltmak için sembolik hesaplama araçları kullanılarak uygulanabilir.

Jüri'nin Stability Test: Discrete Domain için Tasarlanmış

Origins and Principles

Jüri ve#8217; Eliahu I. Jüri tarafından 1960'larda tanıtıldı, Routh-Hurwitz kriterinin ayrı bir ortağıdır. Doğrudan polinomu|D)[D)[D)[D)[D)[Döneticileri gerektiren bir dizi koşul uygular.

monik karakteristik polinomi düzeni düşünün:0)).

D(z) = a0zn + a1zn–1 + … + an–1z + an = 0, with a0 > 0.

Jüri ’ test, tüm köklerin birim çemberinin içinde bir masa oluşturarak bir tablo oluşturmanın sistematik bir prosedür sunar:0)) + 1 sıralar. satırlar katlar içeren belirleyici hesaplamalar kullanılarak yapılır.

Jüri Masasını Yapılandırma Prosedürü

  1. [Döneticileri Listele: · 1|Dönetici: ·0|Dönemler [Dönler: · 9|)[*|Ködünler, s.
  2. [FONT=0) İkinci satır (row 1)[Dönder: {0}[Dönderlik, s.)[D)[Dönemli: · 9|0|4|)[Dönemli: · 9|4|0|0|[Dönemli) · 9|0|4|
  3. [[değiştir | kaynağı değiştir] [[değiştir | kaynağı değiştir] [[değiştir | kaynağı değiştir] [[değiştir | kaynağı değiştir] [[değiştir | kaynağı değiştir] [[değiştir | kaynağı değiştir]
  4. [FONT:0)Düzüğün sadece bir numaralı olmayan element kalıntılarına kadar ilk sütunda veya masa çökene kadar. son satır son koşulu sağlar.
  5. [FONT:0) koşullara göz atın: [Dönetici için, aşağıdakiler: [[DÜŞÜNÜ:2|DÜye: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
  6. (–1)[DÜye:0][DÜye: 1)[Üye: 1)[Üye: 3)[Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye;)
  7. Jüri masası için, her garip sayının ilk elemanı ( 1, 3, 5, ...) sıfırdan daha büyük olmalıdır. Eşdeğer koşullar, indirgenmiş polinomların önde gelen girişlerini içerir.

Birlikte bu koşullar, tüm kökleri tatmin etmek için gereklidir ve yeterlidir; )z). < 1. Uygulamada, test bilgisayar cebi sistemlerinde uygulanır, ancak manuel süreç 4 veya 5.

Örnek: Second-Order System

İkinci derece ayrı bir sistem, karakteristik polinomalize ile göz ardı edilebilir:0)D (z))|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|)[D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|)|D|D|D|D|D|D|D||||D|D|D|D|D|D||||D|D|D||||D|D|D|D|D|D||D|D|D|D|D|D|||D|D|||D|D|D|||||||||||||||||||||||||||||||D|||

  • [FONT:0)Row 0:[Dönem: 1, [[Dönem:2|[Dönem: · 9|4|)[DÜye: 9|DÜye, ÂHÂH, ÂHÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂHÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH, ÂH
  • [FONT:0)Row 1:[DÜDÜDÜ:2)[Üye: · 9)[Üye: 4)[Üye, Âdem-i İmran, Âdem-i İmran, Âyet-i İmran, Âyet-i İmran, Âdem-i İmran, Âdem-i İmran, Âdem-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-ı Kerim, Âyet-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmkan-i İmran-i İmran-i İmran-i İmkan-i İmkan-i İmran-i İmran-i İmran-i İmkan-i İmkan-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmkan-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-i İmran-
  • [FONT=0]([0)[[0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|)[[0|0|2|D) [DÜye ait olan) [DÜye ait olan) [DÜye Olmayanlar[Üye Olmayanlar[Üyeler)[Üye Olmayanlar[Üyeler)

İkinci sipariş için Stability conditions:

  1. [DÜDÜŞÜNÜ:0)[DÜDÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜ: ÂHÂHİRLER: ÂHİRLER ÂHİRLER ÂHİRLER ÂHİRLER ÂHİR ÂHİRLER ÂHİRLER ÂHİR ÂŞİ ÂHİRLER ÂŞİ ÂŞİ ÂHİRLER ÂŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞ
  2. (–1)[DÜye:0)[DÜye: 1)[Üye: 9)[Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye)[Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye;
  3. [FONT:0][DÜT:2][DÜDÜDÜDÜ:2|Döntme: 1)

Bunlar, istikrarlı bir ikinci sipariş edilebilir bir sistem için tanıdık koşullardır. Jüri ve#8217; test doğrudan bu basit eşitsizlikleri herhangi bir dönüşüm olmadan verir.

Jüri ve#8217'nin Avantajları; Test

  • [FONT:0)Direct uygulaması: [Dönetici:0] [Dönetici:0)[değiştir | kaynağı değiştir]
  • [FONT:0) Fırsatlar kümesi:) Her iki gerekli ve yeterli stabilite kriterini sağlar.
  • [FONT:0)Handles özel vakalar:[Dönetici:[D)[D)[D) ve [DD)[D)[D)[D)[D)[D))[D))))[D)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
  • [0] Dijital uygulama için dikkat: Masa inşaatı algoritmak ve kolayca programlanmış.

Head-to-Head Routh-Hurwitz ve Jüri'nin Stability Testinin Karşılaştırması

AspectRouth-Hurwitz (Adapted)Jury’s Stability Test
DomainContinuous (s-plane) originally; adapted via bilinear transform to w-planeDiscrete (z-plane) directly
Stability regionLeft-half plane (after transformation, maps to inside unit circle)Inside unit circle (|z|<1)
ProcedureConstruct Routh array from w-polynomial; check sign of first columnConstruct Jury table from z-polynomial; check series of inequalities
ComplexityModerate after transformation; transformation adds extra algebraic stepsLow to moderate; table construction straightforward for low to medium orders
Numerical stabilityCan suffer from coefficient scaling after bilinear transformGenerally good; determinants may cause swelling for high orders
Handling of marginal stabilityAuxiliary polynomial required; roots on imaginary axis in w-planeDirect checks through D(1) and D(-1) conditions
Educational accessibilityStudents often learn continuous version first; adaptation extends existing knowledgeRequires understanding of unit circle concept; but method is self-contained
Software implementationEasily coded via array construction; bilinear transform may require symbolic toolboxEasily coded via recursive table; native to z-domain
Typical use caseWhen system is already in s-domain or hybrid continuous/discreteWhen characteristic polynomial is directly from a discrete transfer function

Detaylı Karşılaştırma Noktaları

1. Uygunluk ve Domain Fit

Jüri ’ test, özellikle kontrol çıktılarının ve bitki girişinin örneklendiği dijital kontrol uygulamaları için doğal bir seçimdir. Routh-Hurwitz, karmaşıklık ve birim çemberine göre kutupların fiziksel yorumu anlamına gelir. Birçok modern ders ve ders dijital kontrol mevcut Jüri ve #8217; standart araç olarak test eder.

2. Algebraic Kompleksi

4 veya 5 sipariş için, her iki yöntem de elle yönetilebilir. ancak Jüri ve#8217; test, karışık güçlerle ve büyük katlarla ilgili terimleri ortaya çıkarabilir ve orijinallerin kombinasyonlarını oluşturur; daha yüksek siparişler için, dönüşüm daha fazla işleyici hale gelir.[D)[D:2).w).

3. Numerical Robustness

Routh-Hurwitz in theÖRDÜ:0)w[Dönetici:0)[[Dönetici: 1 )-domain, tekrarlanan dönüşüm, dönüşüm ile ilgili katsayılar yaratırsa, her iki yöntem de çift-önetici uygulamaları için sayısal sorunlarla karşı karşıyadır.

4. Unstable Poles Sayılarını Belirleme yeteneği

Routh-Hurwitz, Routh serisi ve #8217'nin erdemi; işaret değişiklikleri, doğrudan doğru-yusta doğru-yusta doğru:0)[Dönetici:0)[Dönetici: 1.Bölüm) ile aynı zamanda, köşenin dışında kutupların sayısını sayabilir.

5 Özel Polynomal Coaktiflerin Kullanımı

Ayrık bir sistem sıfır katsayılara sahip olduğunda (parçalı güçler izin verilir), her iki yöntem de uyarı gerektirir. Routh-Hurwitz, küçük epsilon gereksinimlerini kullanarak serideki sıfır girişleri ile ilgilidir.[Döneticiler. Jüri’ aynı şekilde sıfırları inşaat sırasında yönetmek gerekir, ancak algoritma tamamen sıfırlanırsa, polinomik veya anti-simetrik kökler gösterir.] )

Pratik Uygulamalar ve Her Yöntemi Seçenince

Jürinin Testini Ne Zaman Kullanır

  • Sadece ayrı alanda çalışıyorsunuz (z-plane).
  • Domain dönüşümleri olmadan bir adım test istiyorsunuz.
  • Bilinen bir örnekleme dönemi ile dijital bir kontrol veya örneklenmiş bir sistem analiz ediyorsunuz.
  • marjinal stabilite için açık koşullara ihtiyacınız var ( birim çemberinde yer).
  • Polinom düzeni orta (≤ 8 manuel kontroller için; yazılım için daha yüksek).

Routh-Hurwitz (aşkın Dönüşümü) Ne zaman

  • Kontrol sistemi tasarımınız zaten sürekli alandadır ve daha sonra da ayrım yapıyorsunuz.
  • Hem sürekli hem de ayrı sistemler için birleşik bir analiz çerçevesini tercih edersiniz.
  • Tanımlanmış dönüşümü otomatik olarak işlemek için yazılım (örneğin, MATLAB, SymPy) var.
  • Belirsiz kutupların tam sayısını saymanız gerekir ( Routh serisindeki işaret değişiklikleri).
  • Sürekli ve ayrı stabilite kriterleri arasındaki bağlantıyı öğretiyorsunuz.

Gerçek-Dünya Örnekleri

[[Dörtücü:0)Example: Dijital motor hız kontrolörü.[DDD:0) Bir mikro kontrol cihazı bir DC motor için bir PI kontrolörü uygular. Kapalı-loop özelliği polinomal, z-domainte elde edilir. Bir mühendis, çeşitli örnekleme oranları ve orantılı kazanımlar için stabilite kontrol etmek için test eder.

[[Düzücü:0)Example: Adaptif filtre tasarımı.[DÜT:1] sinyal işlemede, IIR filtreler, kendi modülasyonlarından kaçınmak için ünite içinde kutuplar gerektirir. Jüri ’ test genellikle katlamadan sonra stabiliteyi doğrulamak için filtre tasarım kütüphanelerinde yer alır.

[[Dönetici: Hybrid sürekli-discrete sistemi[Dönetici:0) Sürekli bir dijital kompör tarafından kontrol edilen bir bitki, sıfır siparişi ile diskretleştirme gerektirir. z-domaindeki genel karakteristik denklemler doğrudan veya başka bir deyişle analiz edilebilir.

Yazılım Uygulama ve Otomasyon

Her iki yöntem de kontrol sistemi araç kutularında mevcuttur. Örneğin:

  • [FONT:0)MATLAB: [Dönetici:0))) işlevi (veya özel senaryolar) Routh serisini inşa edebilir, ancak 0:1'de Robotik Toolbox'ta kullanılabilir veya programlanabilir.
  • [FONT:0]Python (SciPy and control library): [Dönetici: 1) Kütüphane Jüri ve #8217 için [[Üyetim: Routh-Hurwitz için test.
  • [FONT:0]Symbolik aletleri:[Dönetici ve Mathematica, bilinen dönüş ve sonraki dizi nesil için cebirsel manipülasyona izin verir.

Yazılım kullanırken, Routh-Hurwitz için dönüşüm adım otomatik, manuel hataları azaltır. ancak, ayrı sistemlerin hızlı prototipleme için Jüri ve #8217; test daha doğrudan seçim kalır.

Sınırlar ve Caveats

Ne yöntem bir panacea. Her ikisi de yüksek sipariş polinomları için (tahki ve parametre farklılıkları nedeniyle 10) sayısal hataların birikiminden dolayı. Bu tür durumlarda, hesaplama kök-bulma (örneğin, eigendeğer yöntemleri) genellikle daha güvenilirdir.

Başka bir önemli mağara: Routh-Hurwitz adaptasyonu ile sadece lineer zaman değişken sistemler için geçerlidir. Doğrudan zaman süresiz sistemlere veya doğrusal olmayan olmayan sistemlere genişletmiyor. Jüri ve#8217; test aynı şekilde sadece lineer ayrı modeller için geçerlidir.

Son olarak, koşulların yanlış anlaşılması gerçekleşebilir. Jüri ve #8217; Test, koşullu (–1) ve 0; 0, ve (#8211;1)[D:D:0)[D[D:D)[D: 8] [DÜye Olmayanlar:) [DÜye Olmayanlar, ancak tek başına değil;) *Bu iki basit çekten sonra, daha fazla istikrar için yanlış sonuçlar doğurabilir.

Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç

Routh-Hurwitz ve Jüri ve#8217 arasında seçim yapmak; Ayrık sistemler için istikrar testi, sürekli sistemlerde eğitilmiş mühendisler için bir köprüdür ve sürekli analizler tamamlandığında daha doğrudan, temel kutupsal dönüşümler için temel yöntem olarak inşa edilir.

Çoğu modern dijital kontrol tasarımı ve ayrı sistem analizi için Jüri ve#8217; istikrar testi önerilen yaklaşımdır. Ancak, her iki teknikte de mühendisin çeşitli problem ifadelerine uyum sağlaması ve mevcut yazılımları doğrulayabilmelerini sağlar. Her yöntemdeki güçlü ve güvenilir kontrol sistemlerine yol açan her bir yöntemdeki zayıflıkları anlamak.

Ayrıca okuma ve Dış Kaynaklar

  • [0]Wikipedia: Routh-Hurwitz kararlılık kriteri[Dönem: 1)
  • [FONT=0)Wikipedia: Jüri stabilite kriteri).
  • [FONT:0]Stanford EE102: Routh-Hurwitz ve Jüri istikrarı (her notlar)).
  • [0] Michigan CTMS'nin Üniversiteleri: İstikrar analizi).