Signal Flow Graphs ve Mason'un Formula Kazanışı

Signal akış grafiği (SFG), doğrusal zaman-invariant (LTI) sistemleri modellemek için zarif bir grafik aracıdır.Sistem değişkenlerini düğümler olarak temsil eder ve yönlendirilen dalların arasındaki etkiler, her biri doğrudan SFG'yi hesaplamak için karmaşık bir yöntem, özellikle de çok geri bildirim sistemlerini analiz ederken, cascaded aşamalarını veya karmaşık ağlarını basitleştirmek için, dinamik tasarımcılara bağlı sistemleri birbirine bağlı olarak çalışır.

Bir sinyal akışı grafiği, bir blok diyagramından daha kompakttır, çünkü sadece düğümleri ve yönlendirilen kenarları kullanır, tüm yollara ihtiyaç duyar ve sıralama noktalarına bakar. Her düğüm hem özet noktası hem de bir şube noktası olarak hareket eder.Bu basitlik, Mason'un formülü ile birlikte, aksi takdirde birden çok eşzamanlı denklemleri çözmeyi gerektirecek transfer işlevlerinin hızlı bir şekilde elde eder. Tüm ileriye dönük yollar, geri bildirimler, geri bildirimler ve etkileşimleri - en somut olmayan en iyiolojileri bile kolaylıkla çözer.

Signal Flow Graphs'ın temelleri

Nodes and Branches

Bir SFG'de her düğüm bir sistem değişkenine karşılık gelir (örneğin, gerilim, pozisyon, hata sinyali).Köpler bir başkasına, bu değişkendeki transfer katını temsil eden bir kazançla, basit bir elektronik yükselticide, giriş gerilimi hiçbirde yükseltilmedi.

İnşaat Kuralları

Bir SFG doğrusal denklemlerden bir setinden inşa etmek:

  • Tüm değişkenleri tanımlayın ve her birini eşsiz bir düğüme ata.
  • Formdaki her denklemi yazın: çıkış değişkeni = (sum of kazançlar × uygun giriş değişkenleri).
  • Her giriş değişkeninden bir şube çizin, buna karşılık gelen kazançla etiketleyin.
  • Bir değişken denklemin her iki tarafında görünürse, kendini geri bildirim yolu olarak idare edin.

Kendi kendine ait parçalar aynı düğümde başlıyor ve sona eriyor. Kendi başına değişkenin doğrudan geri bildirimini temsil ediyorlar (örneğin, bir sızdırıl bütünlük). Bir SFG'deki tüm döngüler Mason'un formülü hesaplamaları için tespit edilmelidir.

Block Diagrams'tan farklılıklar

Blok diyagramları ayrı özetleme kesitleri ve seçici noktaları kullanırken, SFGs bu işlevleri düğümlere entegre eder. Bu, tüm grafik elemanlarını azaltır ve analizleri basitleştirir. Ancak, SFGs, her bir gelen sinyalinin (tüm sinyallerin toplamını eşitlediğini varsayar) ve tüm giden şubelerin bu “yıldız” değerini azaltır.

Mason'un Formula'i Detaylı

Mason'un Formula transfer fonksiyonunu hesaplamaktadır:0)T) belirtilen bir girişten belirtilen bir çıktıya kadar:

[FONT=0)T = ([Dönemli[Dönemli) ﴾0[0) {0}[D) {0}[D) {0}[D) {0}[D) {0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0| {0|0| {0|0|0|0|0| {0| {0|))))))

Nerede:

  • [FONT:0)Pk) = k-th forward yolu (bir kereden fazla ziyaret etmek için girişten bir yol).
  • [FONT:0) 345[DÜDÜT:1) = Grafik = 1 - (tüm bireysel döngü kazançları) + (sum of gain products of all possible çift of non-touching loops) - (tüm mümkün olmayan üçlülerin ürünlerini elde etmek) + ...
  • [FONT:0) {{[DÜDÜT:2][DÜDÜDÜDÜDÜ:0) {{[DÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜ:2][DÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜye Değeri = ANSIÇEŞÜNİVERSİADİ = AMADIYORÇEŞİYLEŞİ BÜTÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜ

345'teki değişim işareti serisi, aynı modeli bir matrixin determinantı olarak takip eder ve bu yüzden grafik teorisinde “determinant” olarak adlandırılır.

Anahtar Şartlar Tanımlanmış

  • [FONT:0)Forward yolu:[Dönemli:[Dönesel:0) Bir girişten bir yol, bir kereden fazla bir süre geçmemiş olan çıktıya girişten geçer.
  • [FONT:0)Loop (geri dönüş döngüsü): [Dönetici: 1) Aynı düğümde başlayan ve biten kapalı bir yol ve bir kereden fazla bir süre boyunca geçmiyor (başlangıç/son node hariç).
  • [FONT:0) Hiç kimse dokunmamış döngüler: Ortak olarak düğümleri olmayan halkalar. iki veya daha fazla döngüler herhangi bir düğümü paylaşmadığında, dokunmamış ve onların ürün {{'nin yüksek sipariş koşullarını ortaya koyarlar.
  • [FONT:0) Ekran döngüleri:[[Dönetici:0)[Döneticileri en az bir düğümü paylaşan halkalar.

Adım-by-Step Örnek: A Two-Loop System

C: ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

[FONT=0)Adım: İleri yollar tespit et.[Dönemli yollar için: × G[DÜT: 9)[DÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜN

[FONT=0) {0}[[değiştir | kaynağı değiştir])[[[değiştir | kaynağı değiştir) {[0|0|0|0|0|0|0|) = {[0|0|0|0|4|0|0|0|0|4|))[0|0|0|4|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|)[0|0|0|)

[FONT:0)Adım 3: İçten dokunmayan döngüler için kontrol edin.[*] L}) düğümleri E, V, C; L) kullanır.

[FONT=0) 4.Bölüm ([değiştir | kaynağı değiştir)[değiştir | kaynağı değiştir)[değiştir | kaynağı değiştir)[değiştir | kaynağı değiştir) *[değiştir | kaynağı değiştir) ^[*)[*)[*)[*)[0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|4|0|0|0|0|0|0|0|0|)

[FONT=0)Adım 5: Ağuk kofak {{[Dönem:2][Dönemli yol için 1 ) Her iki döngü de ileriye doğru yola dokunan tüm döngüler kaldırmaktadır (onlar E ve V paylaşıyorlar), böylece onları ortadan kaldırırlar, {{).1 = 1 (geçmiş döngüler dışında kalan döngüler dışında kalan).

[FONT=0)Adım: {0}[0}[0] {0}[D) {0}[0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|4|) {0|0|0|4|[D)[D) [D)[D)[D)[D)[D)[D)[D)[D))[D)[D))[D))[D))[D))

Bu sonuç, cebir denklemlerini elle çözerek elde edilecek olan maçların arasında şunlar açık: sadece desen tanıma ve basit arithmetic, iki etkileşim döngüsü ile bile gerekli.

Çoklu İleri Yolları ve Dokunmamış Halkaları Kullanın

Gerçek dünya sistemleri genellikle birkaç ileri yol ve birçok döngü içerir. Daha karmaşık bir SFG'yi üç ileri yol ve üç döngü ile düşünün, iki döngünün bu dokunuşu potansiyel olarak iki dokunmamış döngüler için yer alması, her türlü yolundaki formülün belirlenmesi, sadece analistin yol ve döngülerin sabrı ile sınırlı olacaktır.

Kontrol Sistemleri ve Signal Processing'de Pratik Uygulamalar

Transfer Fonksiyonlar Geri Bildirim Sistemlerinde Türleme

Kontrol mühendisleri sıklıkla Mason'un Oyun Formula'i birden fazla iç döngü ile temsil etmek için kullanıyor (bu iki döngüden daha fazla hataya dönüştürülüyor), Mason'un formülü doğrudan bir kontrol cihazı, bitki ve sensör analiz ettiğinde özellikle çok fazla bilgilendirici sistemlerle temsil edilebilir.

Analog ve Dijital Filtre Tasarımı

sinyal işlemesinde, SFG'lerin model filtre yapıları doğrudan-form, cascade veya eyalet-uzay uygulamaları gibi yapılar. Mason'un formülü, farklı mimariler arasındaki equivalans formülüne karşılık gelen genel frekans yanıtını hesaplamaya yardımcı olur.Örneğin, biquadratik filtre bölümü transfer fonksiyonunu belirlemek için hızlı analiz edilebilir, katelizasyon çalışmalarında yardımcı olabilir veya stabilite kontrolleri. Birçok ders türü farklı mimariler arasındaki fark eder.

Elektronik Devre Analizi

SFG'ler ayrıca geri bildirim yükselticileri, osilatörler ve aktif filtreler analiz etmede de kullanılır. Bir döngünün etrafındaki geri bildirimler yükseltilebilir ve formül kapalı-loop kazanmaktadır.

Mason'un Oyunlarını Kullanımının Avantajları

  • [FONT:0]Sistematik ve hataya dayanıklı:[Dönetici: 1) SFG çizildiğinde, formül, problemin bir dizi enumerasyon ve basit cebirsel toplamlar için azaltımı sağlar.
  • [FONT:0]Handles karmaşık bir şekilde karmaşıktır:[Dönetici] formülün herhangi bir sayıda döngü için çalışır, ileri yollar ve denklem çözme veya iteratif azaltma gerektirmeden dokunmaz kombinasyonlar.
  • [FONT:0]Visual açıklık:[Dönetici:[Dönetici:0)[Dönesli açıklıklar:[Döneticiler)[Dönemli)) SFG, yeniden yorum yapanların yapısını görünür hale getirir.
  • [FONT:0]Broad uygulanabilirliği: [Dönetici: [Dönetici kontrol sistemi tasarımı için lisans ödevinden itibaren, yöntem evrensel olarak öğretilir ve kullanılır. Sürekli zamanlı, ayrık zaman ve hatta mekanik veya termal sistemler lineer denklemler tarafından modellenir.
  • [[DÜSÜ:0) Otomasyon için kesinlik:[DÜT:1), Birçok bilgisayar destekli kontrol sistemi tasarımı (CACSD) araçları iç içe Mason formülü veya grafik-theoretic eşdeğerlerini grafik modellerden hesaplamak için kullanır.

Sınırlar ve Tahminler

Güçlü olsa da Mason'un Kazan Formulasi tüm sorunlar için evrensel bir çözümleyici değildir:

  • [FONT:0) Çok büyük grafikler için erişilebilirlik: Tüm ileri yolları ve döngüleri manuel olarak SFG'nin onlarca düğümü olduğunda pratik hale gelir.Böyle durumlarda, yazılımlar dokunmamış döngüler kombinasyonlarının bile korkutucu olabilir.
  • [FONT:0)Linear sistemler sadece:[Dönergeler:[Dönergeler:0)Linear sistemler sadece:[Dönergeler: 0,4;) Formül doğrusal zaman değişmez sistemler için kesinlikle geçerlidir. doğrusal olmayan veya zaman-varlı sistemler başka teknikler gerektirir (örneğin, Mason uygulamadan önce küçük imzalı doğrusallaştırma).
  • [[Dönemli işaret hataları için:[Dönemli: 0,4/4) 345'te yapılan değişiklikler dikkatli kitap tutma yönündedir.
  • [FONT:0) istikrar marjlarına doğrudan bilgi sahibi değildir: Formül sembolik veya sayısal transfer işlevi verir, ancak doğrudan kazanç veya faz marjlarını ortaya çıkarmaz. Ancak, elde edilen transfer fonksiyonu Bode veya Nyquist arsaları ile stabilite analizi için kullanılabilir.

Diğer Analytical Yöntemlerle Karşılaştırma

Block Diagram Azal

Blok diyagramı azaltma, seri, paralel ve geri bildirim yapılandırmalarını bir adıma taşır. İki veya üç döngü ile sistemler için azaltılabilir.Nested geri bildirim döngüsü ve çok ileri yollar için, azaltım hızla dağınık hale gelir. Mason formülü bir atışta sonucu atır ve sonuç verir, yardımsever olmayan topolojiler için tercih edilebilir hale getirir.

State-Space Representation

Devlet uzay modelleri bir sistemi matrisler aracılığıyla tanımlar ve özellikle bilgisayar simülasyonu için uygundur, MIMO sistemleri ve doğrusal olmayan uzantılar. Ancak, devlet uzayından bir transfer işlevi elde etmek, matrisi basitleştirir (örneğin, [[0)=C (sI-A)B) +D).

Doğrudan Algebraic Çözüm Equations

Yaz ve simultane denklemleri çözmek (Cramer’in kuralına uygun) her zaman çalışır, ancak hızlı bir şekilde Cramer'ın formülüne göre Cramer'ın kuralına uygun bir grafiksel gerilemedir. Grafiksel bağlantı, öğrencilerin aynı sonuca daha sezgisel bir yol sunar. Örneğin, determinant 345 Cramer'in kuralına benzemektedir.

Ortak Hatalar ve Them'dan Nasıl Kaçırmak

  • [FONT:0) Tüm ileriye giden yol kazanımlarını çoğaltmak için yalvarmak:[Dönemli) Her bir yol, bu yolda, girişten ilk şube dahil olmak üzere her bir şubenin ürünüdür.
  • [FONT:0) İçten dokunmamış döngülerin Doğru tanımı:[Döncükler: 1) Halkalar sadece yüksek sipariş koşullarını paylaşmıyorsa, daha fazla sayıdaki düğümler (yalnızca şubeler değil)
  • [FONT=0)Dönetici kazanımlarda hataların tespiti:[Dönetici:0) Bir şubenin orijinal sistemde çıkarılmasını temsil ederse, bir şubenin negatif bir kazanç elde etmesi negatif bir şekilde olur.
  • [FONT:0]Kendi kendine ait bir takımları ayır:[Dönetici:0)[0) Kendi kendine ait bir takımdan bir şubeye geri dönmeleri gerekir.
  • [FONT:0)Komşu değiştirme: [Dönderlik: 0,8|Dönemli yol için [Dönetici:2)[Döneticileri bulmak için sadece {{ eksi değildir; tüm dokunaklı döngüleri tamamen grafiklerden çıkarmak ve sonra da azalan grafiğin determinantını yeniden hesaplamak gerekir.

Gelişmiş Konular: Mason'un Formula Domaini'ndeki Formula

Mason'un Formulau, Laplace'ın sürekli olarak sistem ve ) ile ilgili olarak, [Dönemli sistemler için kullanılan filtreler [Dönemli sistemler için) ile ilgili olarak, genellikle sayısal bir şekilde yapılır.[değiştir | kaynağı değiştir]

Mühendisler için Pratik Çalışma Akışı

  1. Sistemi denklemlerinden veya bir blok diyagramından SFG'yi çizin, her düğümün eşsiz bir değişkene karşılık vermesine izin verin.
  2. Tüm şubeler sembolü veya sayısal değerler ile kazanır.
  3. Her yol girişten çıkışa kadar her yolu ayırın. Her yol bir ürün olarak kazanır.
  4. Grafikte her döngüyü enumerate. Her döngü bir ürün olarak kazanır.
  5. Tüm dokunmamış döngülerin setlerini tanımlayın (konuş, üçlüler, vs.).
  6. Değiştiren işaret serisini kullanarak 345.
  7. Her ileri yol için, hangi döngülerin yollara dokunduğunu tespit edin, sonra {{)k[Döneticileri kaldıran grafiklerdeki belirleyici olarak.
  8. formülü uygulayın: T = ( ⁇ P[DDÜT:0)k) {{).
  9. Ortaya çıkan rasyonel ifadeyi basitleştirir, gerekirse, daha fazla analiz için (enabilite, frekans yanıtı).

Bu iş akışının ardından, döngü veya yolların kaçırılmaması ve bu prosedür için sistematik bir dokunma işlemi güçlendirmektedir. Birçok ders bu prosedür için şablonlar sağlamaktadır.

Sonuç: Mason'un Formula Endures

Mason'un Oyun Formula, girişten yedi yıldan fazla lineer sistem analizinin temel taşı olmaya devam ediyor. Şık grafikler-theoretic yaklaşımı, türev transfer işlevlerini görsel bir enumerasyon görevine dönüştürerek, cebirsel iş ve hatanın azaltılması. Kontrol mühendisleri için, sinyal işleme uzmanları ve elektrik mühendisleri için, bir sistemin blok diyagramı ile matematiksel modeli arasındaki boşluğun problemini dönüştürdüğü bir zihinsel araçtır.Modern yazılım ağır kaldırmayı başarabilirken, ustalık formülün bir şekilde derinleştirilmesini sağlar.

Daha fazla okuma için, normal kontrol derslerini “Dörtücüler ve Mason’un formülüne bağlı olarak adlandıran “Modern Kontrol Mühendisliği” (İngilizce) veya “Döneticileri ve Manolakis[Dönetici Sistemlerin Geri Kontrolü”[Dörtüncü)[Döneticileri ve Masonların tüm bölümlerinin 8 )) ile ilgili olarak tanımladıkları notlar için [Döneticileri ve Manolakis[Döneticileri ve Manolakis[Döneticileri)[Döneticileri ile ilgilenenler için, “Feedback Teorisi” (İngilizce).