Mason'un Formula ve Signal Flow Graphs'a Giriş

Mason'un Formula'i (ayrıca Mason'un kuralı olarak da bilinir) klasik kontrol teorisinin bir temel taşıdır. Sistematik, grafik-theoretic yöntemi, giriş node ve bir çıkış düğümü sinyal akışı grafiğinde (SFG) bir sinyal akışı grafiği, doğrusal cebir denklemlerini temsil eden bir grafiktir: düğümler değişkenlere karşılık gelir (örneğin, gerilimler, kuvvetler, devlet değişkenleri), ve yönlendirilen şubeler arasındaki tüm kazanımlar (konstler veya transfer işlevleri) onları bağlar.

Formülün kendisi zarif bir şekilde kompakttır:

[FONT=0)T = ( ⁇ [DÜDÜDÜDÜDÜDÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞÜŞ

[FONT=0]P[DÜDÜDÜDÜDÜDÜ:2][DÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞ

Ancak, birçok gerçek dünya sistemi şöyledir:0)nonlinear[Dönder: 1) Davranışları sinyal amplitüdlerine, işletim noktalarına veya tarihe bağlıdır. Mason'un penceresini doğrudan dışsal olmayan bir sinyal akışı grafiğine uyması, aynı temel yöntemlerine bağlıdır, döngülere ve kazanımlar doğrusal olmayan alanlara kadar uzatılabilir.

Linear Vakfı: Mason Kuralı Nasıl Çalışıyor

Lineer olmayanları ele almadan önce, tam olarak bir SFG'yi bir kez ziyaret eden şubelerin bir sırasını hatırlamak önemlidir.). düğümler. herhangi bir iki düğüm arasındaki ilişki, her döngü boyunca hiçbir şekilde şubelerin kazanamadığı bir dizi yol olarak tanımlanabilir.

Denominator 345 ( grafiği determinant) döngülerden inşa edilmiştir: [Dönetici:0) {{ = 1 - (tüm bireysel döngü kazançlarının hepsi çiftlerinin dokunmamış döngülerin) - (sum of all individual loop kazanımlar) - (sum of products of gain of all pair of non-touching loop) - (sum of products of all threes of non-touching loop) + ...

Verilen bir kaynak için sayısal çift, tüm ileri yolların üzerinde özetlenir (P)k) × 345)[D[Döneticileri)[Döneticileri değiştir][Döneticileri değiştir][Döndergiler için güçlü bir araçtır.[Dönemli analiz için, özellikle de SFG'nin çok sayıda geri dönüş yolundaki tüm yolları ortadan kaldırmaktan sonra grafiklerdir.

Neden doğrusal olmayan Signal Flow Graphs Farklı

Doğru sinyal akış grafiği, kazanımlara sahip olan dalları içerir: 0, mekanik bir sistemde bir tork, sabit olmayan bir şekilde hıza bağlıdır. Örneğin, bir ıslık temsil eden bir şube giriş sinyalinin bir fonksiyonu olabilir. Benzer şekilde, mekanik olmayan bir sistemde bir tork hıza bağlıdır.

  • [FONT:0]Superposition başarısız olur:[Dönetici:[Dönetici:0) Bir miktar girişin cevabı, bireysel yanıtların toplamı değildir. Mason'un kuralı, her yolu bağımsız olarak tedavi etmek için lineerliğe dayanmaktadır.
  • [FONT:0)Path kazanımlar işletim noktası ile değişir: Aynı ileri yol, sinyal amplitüdüne bağlı olarak farklı etkili kazanımlara sahip olabilir, tek bir transfer fonksiyonu anlamsız hale getirebilir.
  • [FONT:0) Çok sayıda equilibria:[Dönersiz sistemler birden fazla sabit devlet çalışma noktası olabilir. SFG yapısı aynı olabilir, ancak lineerleştirilmiş kazanımlar her noktada farklı olabilir.
  • [FONT:0)Bifurcations ve limit döngüleri: Lineer olmayanlar davranışta nitel değişikliklereme neden olabilir (örneğin, osilasyonlar) lineer bir transfer fonksiyonu yakalamaz.
  • [FONT:0]Harmonik nesil:[Dönetici:[Dönetici:0)[Dönetici:0)[Dönetici)[Döneticileri içeren çıktılar üretilir, bu yüzden bir “kendi” kavramı lineer frekans yanıtından daha zenginleşir.

Bu engellere rağmen, Mason'un Oyun Formula, uygulamasını uygun şekilde adapte edersek faydalı bir kavramsal araç olmaya devam ediyor. anahtar, küresel giriş- ⁇ ilişkisinin basit bir transfer işlevi olmayabilirken, yerel haritalar veya özel giriş- ⁇ haritalamaları hala yol-loop analizinden yararlanabilir.

Mason'un Formula'i Nonlinear Systems için Adapting

Mason'un kuralını doğrusal olmayan alana genişletmek için çeşitli stratejiler var. Basit (düzelme, harmonik denge) ile dalga geçiyorlar. hiç tek bir yöntem tüm vakalara uyuyor, ancak her biri SFG'nin topolojik bilgilerini koruyor.

Bir İşletim Noktasının Etrafında Küçük İşaretli Hattı

En yaygın yaklaşım, Taylor serisi olarak ve sadece ilk siparişi tutmaktır[x0+ ⁇ x) ⁇ f (x0) ⁇ x. Sürekli bir yörünge boyunca (x0) sürekli olarak f (x0) ⁇ x.

Tüm doğrusal olmayan dalları lineer olmayan kazanımlarla değiştirildi (bu çalışma noktası altında sabitler), sonuçlanmış SFG'nin [FONT:0) KAYNAKLARI[Döneticileri için 1), Mason'un kuralı, o zaman sadece küçük devreleri hesaplamak için uygulanabilir.

De ki: Fonksiyonlar (Quasi-Linearization)

Doğru olmayan bir özellikte olan sistemler için, bir eşdeğer karmaşık kazanç sağlar.Bu kazanç, sinüsoidal girişin ) ve çıktı temel harmonik tarafından yönetilir, [FONT:2|dettim işlevi) ve en iyi şekilde karmaşık bir kazanç sağlar. Örneğin, ideal bir doygunluk, gerçek giriş ve muhtemelen frekansına bağlı olarak sabitlenir.

Bir SFG'nin sürücülerde, her doğrusal olmayan bir şube, tarif fonksiyonu tarafından değiştirilebilir, verilen bir amplif A. Mason'un kuralı için genel grafik lineer hale getirilebilir (|L(j ⁇ )| = 1 ve ⁇ L (j ⁇ ) = -180 °) bazı amplifikasyonları tahmin etmek için kullanılabilir, o zaman optik olmayan bir analiz için kullanılabilir.

Mason'un Yapısını Kullanan Çoksal Yöntemler

Analitik lineerizasyon çok ham veya tarif işlevleri yanlış olduğunda, biri SFG tarafından ima edilen denklemlerin sistemini sayısal olarak tedavi edebilir.The grafik yapısı (paths, döngüler) hala en iyi şekilde geçerlidir, ancak bu, doğrusal olmayan cebin veya diferansiyel denklemlerin bir parçası haline gelir.

Belirli bir işletim noktasında, bir lineerleştirilmiş kazanımlar sayısal olarak hesaplayabilir (otomatik olarak veya sonlu farklar ile) ve sonra yerel doğrusal bir yaklaşım elde etmek için Mason'un kuralını kullanabilir. Bu, sistem evrimleri olarak tekrar yapılır. SFG, ortalık olmayan modeller ve lineer olmayan ağ ağları arasındaki benzer bir Interplay'a dayanır ve genellikle sinyal grafiklerinden elde edilir.

Parçalı Linearization

Başka bir pragmatik teknik, doğrusal olmayan bir şubenin bir parça lineer işlevi olarak elde edilmesidir. Her bölge için (örneğin, düşük amplitüd, orta amplitüd, jen bölge), kazanç sürekli olarak yapılır. SFG o zaman kendi kazanımlar kümesi ile her bir araya gelir. Masonun kuralı bölge başına uygulanabilir ve genel sistem davranışı sinyal seviyelerinden başlayarak bu lineer modeller arasında açıklanabilir.

Pratik Uygulamalar ve örnekler

Bu adapte yöntemler sadece teorik olarak eğrilik değildir; her gün çeşitli alanlarda mühendisler tarafından kullanılırlar. SFG, sistem doğrusal olmayan olduğunda bile güçlü bir görselleştirme aracı olarak kalır.

Vaka Çalışması: Saturation ile lineer geri bildirim Kontrolü

Bitkinin lineer olduğu (G(s) olduğu bir birlik kontrol sistemi düşünün, ancak eylemci teslim eder.Dörtücük olmayanlık, kontrol edilen ve bitki girişi arasındaki bir dal olarak modellenebilir.Küçük referans sinyalleri için, eylemci doğrusal aralığında kalır ve Mason'un kuralı T(s) = G(s) / (1+G(s)) = G (s))))) / 1. Daha büyük sinyaller için, oturma süresi boyunca etkili bir şekilde azalır.

Nonlinear Sensör Linearization in Measurement Systems

Ortak bir ölçüm sistemi, bir doğrusal olmayan sensör (örneğin, istenen set sıcaklığın etrafındaki sensör özelliklerini lineer bir direnç-seçmiş) kullanır. sensör çıktısı, doğrusal bir yükselteç tarafından işlenir ve bir ısıtıcı kontrol etmek için geri beslenir. Genel SFG, doğrusal olmayan bir şubeye sahip olabilir.

Friction ve Stiction ile Robotik Ortak

Robotik silahlar, sürtünme nedeniyle önemli doğrusal olmayanlar, stiction ve ortak bir esneklik sunar. Tek bir ortakın sinyal akışı bir tork girişi, inertia, damping (linear), ve lineer olmayan bir sürtünme modeli (örneğin, Coulomb + vius + stiction).Bir set noktası etrafında küçük hareketler için, sürtünme doğrusallaştırılabilir (parçalama)

Sınırlar ve Önlemler

Yukarıdaki adaptasyonlar yararlı olsa da, mühendisler sınırlamalarının farkında olmalıdır:

  • [[Dönetici geçerliliği: [Döneticileri sadece işletim noktasının yakınında doğru. Büyük sinyal analizi daha gelişmiş yöntemler gerektirir (örneğin, tanımlı fonksiyonlar sadece sinusoidal girişler için geçerlidir ve subharmonikleri kaçırabilir).
  • [FONT:0] Hiçbir süperpozisyon:[Dönetici:0) Bir lineerleştirilmiş SFG'ye sahip olduğunuz zaman, sonuçları doğrusal olarak farklı işletim noktalarından birleştiremezsiniz.Her analiz belirli işletim durumu için yapılmalıdır.
  • [FONT=0)Harmonik içerik:[Döneticileri tanımlamak, bazı sistemlerde önemli olabilir (örneğin yüksek frekanslı geçiş ile güç dönüştürücüleri).
  • [FONT:0)Topoloji değişmeden:[Dönersizler, grafik topolojiyi bazen değiştirebilir (örneğin, açılır veya yakın olan bir geçiş). Mason'un kuralı, zaman topolojiyi doğrudan ele geçiremez, ancak parçalı modeller farklı topolojileri simüle edebilir.
  • [FONT:0]Numerical hassasiyet:[Dönder: 1) Sürekli lineerize olan iteratif yöntemler ilk tahmine karşı hassas olabilir ve yanlış equilibria ile yakınlaşabilir.

Bu uyarılara rağmen, Mason'un Oyun Formulau değerli bir zihinsel çerçevedir. Mühendisin tüm sinyal yollarını ve geri bildirim döngülerini haritaya sokması, varsayımları açıklayın ve etkileşimleri sistematik olarak hesabın hesabı – son hesaplamanın bir bilgisayar çözme gerektirdiğinde bile.

Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç

Mason'un Formula'i doğal olarak lineer bir araçtır, ancak uygulama doğrusal olmayan sistemlerde durmalı.Küçük imzalı doğrusallaştırma, tarif fonksiyonları, parçalı simetrik yöntemler, mühendisler, sabit olmayan bir sistemle kontrol döngüsü tasarlayabilir ve tasarlayamazlar. anahtar, gerçekçi olmayan bir yöntem olarak “kendi” kavramına uygun olarak hizmet eden, Mason kuralının üstolojik açıklıklar sağlar.