Routh-Hurwitz Criterion'a giriş

Routh-Hurwitz Criterion, klasik kontrol teorisi ve lineer sistem analizinin temel taşı olarak duruyor.1874 ve Adolf Hurwitz tarafından 1895'te bağımsız olarak, sistemin eijen veya kutuplu (LTI) sistemi ile çalışan mühendisler için gerekli ve yeterli bir koşul sunuyor.

Mekanik sistemler bağlamında, istikrar sadece teorik bir güzellik değildir; bir sistemin dengesizliğe geçiş yapmadan önce parametre değişikliklerine katılabileceğinin bir anlamıdır.Bu makale, mekanik titreşimlere veya yıkıcılığa yol açabilir.

Mekanik Titreşimlerin ve Oscillations'ın temelleri

Mekanik titreşimler bir denge pozisyonu hakkında mekanik bir sistemin salınımıdır. neredeyse tüm mühendislik yapıları - bir pendlumun bir uçak kanatlarının esnekleştirilmesinden kaynaklanır. Oscillations periyodik veya non-termic olabilir ve onların özellikleri (frekanlar, amplif, barajlar) onların iyi huylu veya zararlı olup olmadığını belirler.

[FONT:0) Mekanik titreşimlerin türleri[Dönem: 1)

  • [FONT:0]Ücretsiz vibrasyonlar[Döntgen: 0:1): Bir sistem rahatsız olduğunda ve sonra kendi başına osilasyona tabi ki, sadece iç kuvvetlere (örneğin, bir ilk yerinden serbest bırakılan bir kitlesel-bahar sistemi).
  • [FONT=0)Forced vibrasyonlar[Dönem: Dış, zaman alıcı bir güç (örneğin, bir motorda dengesiz dönen bir kütle).
  • [FONT:0]Damped vibrasyonlar[[DÜDÜT 1: 1): Enerji dağılımını sürtünme, hava direnci veya malzeme barajı yoluyla takip etmek, zaman içinde çürümeye neden oluyor.
  • [FONT=0]Undamped vibrasyonlar[[Döntgen: Enerjinin kaybedildiği ideal sistemler – potansiyel amplifikasyonlar gerçek uygulamalarda rezonansa yol açabilir.

Çoğu lineer mekanik titreşim problemlerinin yönetim denklemleri ikinci sıra dışı diferansiyel denklemler (ODEs) tek derece özgür bir sistem için standart form:

[0]) s.

[FONT=0][DÜDÜDÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜ

Routh-Hurwitz Criterion: Mathematical Foundation

Routh-Hurwitz Criterion, LTI sisteminin karakteristik denklemine uygulanır, ki bu da şöyle yazılabilir:

[0]a0 sn + a1 sn -1 + a2 sn-2 + ... + a = 0[Dön 1: 1]

[FONT=0][Döneticileri (veya devlet uzay matrisinin özdeğeri) “[Döneticileri)” olarak adlandırılır.

Stability için gerekli koşullar

Tam Routh serisini uygulamadan önce, birkaç gerekli (ama yeterli değil) koşullar tutmalıdır:

  • Tüm katsayılar:0)a0...an) mevcut ve pozitif olmalıdır (gödeme katları yok).
  • Herhangi bir katsayı negatif veya sıfır ise, sistem ya kararsızdır veya hayali eksende kökleri vardır (marginal stabilite).
  • En yüksek olmayan bir gücün sıfır katlaması, kökeninden bir çift kök equidistant gösterir, genellikle sürekli ampliminasyonlara yol açar.

Routh Dizisini Oluşturun

Routh serisi polinom katlarından yeniden kayıt yaptırır:

RowCoefficients
sⁿa₀a₂a₄…
sⁿ⁻¹a₁a₃a₅…
sⁿ⁻²b₁b₂b₃…
… continued until the s⁰ row.

Üçüncü satırın elemanları ([Dön:0)b1, b2, b3, ... iki önceki satırlardan 2×2 bloklarını kullanarak hesaplanmıştır:

[0]b1 = (a1 ×a2 – a0 ×a3/a1).

[0]b2 = (a1 ×a4 – a0 ×a5) /a1).

Benzer şekilde, sonraki satırlar yukarıdaki iki satırdan oluşur. Süreç son sıraya kadar sadece tek bir element kalır.

Stability Durum

Routh-Hurwitz Criterion devletler:

  • [0] Tüm köklerin negatif gerçek kısımları vardır (sistem stabildir) eğer ve sadece Routh serisinin ilk sütununda tüm elementler pozitiftir (nonzero).).
  • İlk sütundaki işaret değişikliklerin sayısı olumlu gerçek parçalarla (gündüz kutuplar) kök sayısını eşitler.
  • İlk sütun sıfırlar içeriyorsa, özel durumlar ortaya çıkar (aşağıda bakın).

Bu basit işaret kontrolü, istikrar için güçlü, agresif olmayan bir test sağlar. Mekanik titreşim analizinde, osilasyon modlarını tespit etmek için rutin olarak uygulanır - zaman içinde sınırsız büyüyecek.

Criterion'ı Mekanik Titreşim Sistemlerine Uygulayın

TekDegree-of-Özgürlük (SDOF) Sistemleri

Tipik bir hafifçe SDOF osilatör için, karakteristik denklem:

[0] s2 + c s + k = 0).

İşte, 0 = 0[0][Dönem:2|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x

  • Row s2: m, k
  • Row s1: c, 0
  • Row s0: (c×k – mx0)/c = k

İlk sütun: m, c, k. Tüm katsayılar pasif bir sistem için olumlu olduğundan, istikrar şart her üçin > 0 – bu otomatik olarak doğru. Bu, fiziksel sezgiyi karşılaştırır: pozitif kütle, baraj ve sertlik, osilasyon negatiftir.Eğer barajlar negatifse ()

Çok Kabul Edilen Özgürlük (MDOF) Sistemleri

Gerçek dünya mekanik sistemleri, araç süspansiyonları, türbin rotorları veya bina yapıları gibi, birçok özgürlük derecesine sahiptir. Karaktersel polinomlar 4, 6 veya daha yüksek sipariş verebilir. Routh-Hurwitz Criterion özellikle değerli olur: büyük bir matrixin eijendeğerleri hesaplamak yoğundur, ancak Routh serisini inşa edebilir ve istikrarsızlığı marjları hızla ortaya çıkarabilir.

Karaktersel polinom ile dört derece özgürleştirici bir titreşim absorbe sistemini düşünün:

[0]a0 s4 + a1 s3 + a2 s2 + a3 s + a4 = 0).

Bu kurtic için Routh serisi, b2, c1, vs. ilk-column işaretleri kararlılık gösterir. Uygulamada mühendisler genellikle yazılımdaki inşaat dizisini otomatikleştirir, ancak manuel süreci anlamak sezgi oluşturur.

Routh-Hurwitz Analizinde Özel Vakalar

Mekanik titreşim problemlerinde sık sık iki özel vaka ortaya çıkıyor:

1. İlk Köşede Sıfır

İlk sütundaki bir element sıfırsa, kalan satır elementleri olmayan sıfır ise, sistem ya marjinal olarak istikrarlı veya istikrarsızdır. İlk sütunda sıfırın seriyi doğrudan tamamlamasını engeller. Standart tedavi, sıfırı küçük olumlu bir sayıyla değiştirmektir (epsilon) ve sonra sınırı inceler.

Örneğin, ⁇ yönteminin ilk sütununda sıfır üretir, doğru yarı uçakta iki kök anlamına gelir - değil.

2. Sıfırların Entire Row of Zeros

Dizideki tüm bir satır sıfırlardan oluştuğunda, polinomlar kökeni hakkında sismetrik içerir (örneğin, sıfır sıranın üzerindeki sol satırlardan ikisine, tam tersine doğru satırları, türdeki boşlukları gösterir).

Bu senaryo, polinomik olmayan mekanik sistemlerde yaygındır, karakteristik polinomların s2'de yer alan hayali kökleri temsil eden iki hayali kök içerir ve analiz, tüm kökleri hayal kırıklığına uğratabilir -4 + 5s2 + 4 = 0[FLT 1: 1) Bu, yardımcı polinom olmadan doğal frekansları temsil eder.

Çalışmalı Örnek: Esnek Robotik Bir Arminability

Routh-Hurwitz Criterion'ı belirli koşullar altında dengesiz vibrasyonlar sergilemek için bilinen basit bir esnek robot koluna uygulamayalım. Esnek dinamiklerden elde edilen karakteristik denklem:

[0]0.4 + 3s3 + 5s2 + 9s + 4 = 0).

[[0)Adım 1: Gerekli koşullar.[[Dönem: 1) Tüm katlar pozitif ve mevcut → gerekli koşul tatmindir (ama yeterli değil).

[0]Adım 2: Routh serisini inşa edin.).

  • Row s4: 1, 5, 4
  • Row s3: 3, 9, 0
  • Row s2: Tamam b1 = (3×5 – 1× 9/3 = (15 – 9)/3 = 2; b2 = (3×4 – 1×0)/3 = 12/3 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 =
  • Row s1: c1 = (2×9 – 3×4)/2 = (18 – 12)/2 = 3; c2 = (2×0 – 3×0)/2 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 3 x0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 3 x 0 = 0 = 0 = 3 x = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 2 = 2 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0
  • Row s0: d1 = (3×4 – 2×0)/3 = 12/3 = 4

İlk sütun değerleri şunlardır: 1, 3, 2, 3, 4 - tüm olumlu. İşaret değişiklikleri değil, sistem stabil, yani esnek kol, osilasyonları büyüyen sergileymeyecektir.Eğer barajlama katsayısı (yaklaşık s3 terim) azaltılırsa, işaret değişiklikleri ortaya çıkabilir, floropsiyonun dengesizliğinin başlangıcını gösterir.

Bu örnek, Routh-Hurwitz Criterion'un mekanik sistemlerde sağlam stabilite sağlamak için parametre seçimi tasarlamayı yönlendirmek için nasıl kullanılabileceğini gösteriyor.

Mühendislikte Pratik Uygulama

Routh-Hurwitz Criterion, osilasyon kontrolünin kritik olduğu mekanik ve havacılık sistemlerinin tasarımı ve analizinde yoğun olarak çalışmaktadır. Anahtar uygulamalar şunları içerir:

  • [FONT:0)Vehicle süspansiyon tasarımı[Dönetmelik: Optimizasyondan kaçınmak için rahat bir sürüş sağlamak için iyileştirici ve bahar oranları (örneğin, direksiyon sistemlerindeki shimmy).
  • [FONT:0]Rotor dinamikleri : Geri dönen makinelerin (turbines, kompresörler), viskilerin meydana gelebileceği kritik hızların altında çalışır.
  • [FONT=0]Aerospace yapıları[[[Dönetici: Kanatların ve kontrol yüzeylerinin temelleri; kriter hızlı stabilite kontrolleri için standart bir araçtır.
  • [FONT:0]Seismic izolasyon sistemleri[[Dönetici: 1): Sistemdeki karakteristik köklerin sol yarı düzlemde kalmasını sağlamak için depremler sırasında yeniden inşa etmeyi engelleyen temeldir.
  • [FONT=0)Aktif titreşim kontrolü[[[Dönetici: Geri bildirim kontrol sistemlerinde, kapalı-loop karakteristik polinomi, sabit vibrasyon baskı için Routh-Hurwitz koşullarını karşılamalıdır.

kriter ayrıca Nyquist kriteri veya kök locus arsaları gibi daha gelişmiş bir kararlılık analizi yöntemlerine öncü olarak hizmet eder. cebirsel doğası, parametrik çalışmalar için ideal kılar: bir kat (bir katlama gibi fiziksel bir parametreyi temsil eder), mühendisler istikrarsızlığın eşini belirleyebilir.

Sınırlar ve Alternatifler

Güçlü olsa da, Routh-Hurwitz Criterion sınırlamaları vardır. Bu tür durumlarda, doğrusal olmayan stabilite analizi (Lyanovpu yöntemleri) veya simülasyon gerekli olan sadece ikili, materyal histeriler) veya zaman zaman zaman zaman zaman kaybı (örneğin, değişkenlik) için geçerlidir.

Stabilite analizi için alternatif yöntemler şunları içerir:

  • [FONT=0)Root locus tekniği): Köklerin bir parametre değişikliği olarak nasıl hareket ettiğini gösterir.
  • [FONT:0)Bode ve Nyquist arsaları[[Dönetici:) Sürekli olarak, stabilite marjlarına (kendi marjına, faz marjına) bilgi verin.
  • [FONTz matris determinantı yöntemi[Dönetici: Routh serisine karşı eşdeğerdir, ancak Hurwitz submatrices determinantlarını kullanır.
  • [FONT:0)Numerical eigenvalue computation[): Doğrudan MATLAB veya Python'un kontrol kütüphanesi gibi yazılımları kullanarak kutuplar hesaplar.

Bu alternatiflere rağmen, Routh-Hurwitz Criterion, hesaplama kolaylığı nedeniyle ilk sıralı bir araç olarak kalır ve polinom katları ve istikrar arasındaki ilişkiye sunduğu açık fikir.

Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç

Routh-Hurwitz Criterion, mekanik titreşimlerin ve osillerin analizinde çalışan herhangi bir mühendis için önemlidir. Yüksek derece karakteristik denklemleri çözmeden sistemi kararlı bir şekilde belirlemek için sağlam, cebirsel bir rota sağlar.İlk sütunu inşa ederek, bir mühendis tehlikeli bir salınımlar ve salınımlar deneyimleyecek veya güvenli bir şekilde tanımlanabilir.

Basit SDOF oscillators to complex multi- derece-offreedom structures, kriter, güvenli, sertlik ve kütle dağılımı için tasarım parametreleri ayarlamaya yardımcı olur. Bu, mühendislik curricula'da yaygın olarak öğretilir ve çoğu bilgisayar destekli mühendislik araçlarında uygulanır. Ancak, manuel yöntemin birinin stabiliteyi nasıl etkilediğine dair sezgisini anlamak - güvenli, güvenilir mekanik sistemler tasarımında kalır.

[FONT:0]Further okuma ve referanslar:).

  • [FONT:0)Routh-Hurwitz stabilite kriteri – Wikipedia).
  • [FONT:0]Routh-Hurwitz Criterion – Kiel University Control Engineering).
  • [0]MIT Open ⁇ Ware: Mühendislik Dinamikleri (vibrasyon analizi içeriği)).