Mühendislik-Order Diferansiyel denklemlere Giriş

Diferansiyel denklemler, birçok fiziksel yasanın yazıldığı dildir. aralarında, ilk sipariş diferansiyel denklemler, neredeyse her mühendislik disiplininde modellemek için temel oluşturur ve elektronik filtrenin yanıtını tasarlamak için sıcak bir motor blokunu tahmin etmek, bu denklemleri kurmak ve çözme yeteneği temel bir beceridir.Bu kılavuz, ilk sipariş diferansiyel denklemleri çözmek için temel yöntemleri genişletir ve pratik uygulamalarını somut mühendislik örnekleriyle inceler.

İlkOrder Diferansiyel Denklemler Nedir?

İlk olarak, bir tür diferansiyel denklem bilinmeyen bir işlevle ilgilidir:0))) ilk türevden dy/dx) genel formdur.

[0]))))[0|0|k=dx = f(x, y)).

İşlevsellik:0))[Dönetici:0))) ve [Dönetici:2)[Dönetici:0)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))Yüksekten (Dönemli değişken, genellikle zaman ([Dönemli) ve değişken bir sıcaklık, ya da basınç artışı, nüfus artışı veya kimyasal reaksiyon oranları gibi fiziksel miktarı ifade eder.

Örneğin, Newton'un soğutma yasası, bir nesnenin sıcaklığının değişme oranının:0)T)))[Dönetici ve çevresi arasındaki farkın orantılı olduğu anlamına gelir.Bu doğrudan ilk sipariş denklemine yol açar.

İlk Order Diferansiyel Denklemler için Yöntemler

İlk sipariş denklemlerini çözmek için birkaç iyi kurulmuş teknikler vardır, her biri belirli bir yapısal forma uygulanır. Bu yöntemler, mühendislerin doğru aracı el altındaki denklem için seçmesine izin verir.

Separable Equations

İlk bir emir denklemi:0)- dürülebilir[Dönemli[Dönemli) Eğer bir ürün olarak yazılabilirse, [FONTT:2}x) ve [FLT|D|D|D|D|D|D|D|Dönetici|D|Dönemli)

[0]) · h (y)[Dönemli/dx = g(x)[x)[x)

Çözüm her iki tarafı da yeniden düzenleyerek ve bütünleştirerek elde edilir:

[FONT=0) ⁇ (1 / h (y) dy = ⁇ g(x) dx).

İntegralleri değerlendirdikten sonra, ESRAT için çözülür:0)y) açıkça mümkün olup, çözümü kapalı formda bırakırsak.Serable denklemler genellikle büyüme ve çürük problemlerde görünür, örneğin radyoaktif bir yük veya şarj / şarj gibi bir dirençle.

[FONT=0)[[0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|=)|=|=)|=

Linear FirstOrder Equations

Bir lineer ilk sipariş denklemi standart formdadır:

[0])) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

[FONT=0)P[DÜT:1][/FONT=2) ve ) sadece bu türü çözmenin anahtarı [DÜDÜDÜDÜDÜDÜŞÜNCÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞ

[x) = e[x)[x)[x) s.

denklemin her iki tarafını da μ(x) sol tarafa μ(x)ATÖRÜ:0)y)

[x) {0}(x) μ(x) Q (x)[D)[Dönemli/dx [ μ(x) y) = μ(x) Q(x)[x)[x)[x)[x)[x)[x)[x)

Tümleştirici verimler:

[x) y = ⁇ μ (x) Q (x) dx + C).

Son olarak, μ(x) tarafından, μDT:0)y) açıkçası. Linear denklemleri, RL ve RC devreleri dahil olmak üzere birçok fiziksel sistem, sürekli ortam sıcaklık ile ısı transferleri ve ilk sipariş kontrol sistemi yanıtları.

Exact Equations

Formun bir denklemi:0)M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0) denir, örneğin ⁇ / ⁇ x = M ve ⁇ / ⁇ y = N. Çözüm şu anda, elektrotsal olmayan bir alanda ve elektromanyetik olarak ortaya çıkar.

Bernoulli Equations

Bir Bernoulli denklemi, formun doğrusal olmayan bir denklemidir:

[FONT=0]) ^ (x) y = Q (x) y).

[FONT=0][Dönetici:0))[Dönetici 0 veya 1. Bu yöntem, göz ardı edilebilir bir medya veya belirli kimyasal reaksiyonlar tarafından lineer bir denkleme dönüştürülebilir.

İlk Order Equations

İlk olarak, bir denklemi şöyle ifade edilir: 0,0)-homojeneous[D:2)) Eğer fonksiyon [x, y))[Dönetici:0))))[Dönetici / x[D)))))))[Düzücükler, sınır dinamikleri ve benzeri olmayan bir şekilde, sınır dinamikleri ile aynı şekilde sabitlenir.

Mühendislik Uygulamaları

İlk sipariş diferansiyel denklemler birçok mühendislik modelleri için bina bloklarıdır. Aşağıda dört büyük alanda ayrıntılı örnekler vardır.

Termal Sistemler: Newton'un Soğutma Yasası

Akışkan bir ortamda sağlam bir nesnenin soğutulması Newton'un serinleme Yasasını takip eder:

[Döntme:0|T/dt = –k (T – T[DÜT:2)).

[FONT:0][DÜDÜDÜDÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞ

[Düzzaman:0)[T) = T[Dönemli: ﴾4﴿ [DÜDÜ: 3) [DÜDÜDÜye: 4) ⁇ [DÜye Olmayanlar[DÜyeler)

Mühendisler bu denklemi soğutma fins'ı tasarlamak, elektronik cihazlarda termal zaman sabitlerini tahmin etmek ve ısı tedavisi sırasında malzemelerin sıcaklık tarihini tahmin etmek için kullanırlar.

Elektrik Devreleri: RC Devre Yanıtı

Bir dizi RC devrede bir gerilim kaynağı ile:0)V)[D)[Dönetici: 3)[Dönetici: 3)[Dönetici: 4)[Dönetici: 4)[D)[Dönetici: 7|D)

[FONT:0) ÂH[[DÜye: 1)[Üye/dt + v[DÜye/Üye/Üye/Üye ait olan)[Üye ait olan) [DÜye/Üye ait olan) [DÜye/Üye ait olan) [Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye)

Bu, lineer bir ilk sipariş denklemidir. Sürekli bir adım gerilimi )V) = V)0 ve ilk olarak)) ) [FLT: 7 ) = 0)

[FONT:0][DÜDÜDÜDÜDÜ:2)[0[Üye Olmayanlar İçindedir.)[*)[*)[*)

ÜrünFL:0)RC[DÜDÜDÜDÜDÜT:1) Sürekli, kapasiteye ilişkin suçlamaların ne kadar çabuk olduğunu karakterize etmek. RC devreleri zamanlama devrelerinde, filtrelerde ve sinyal şartlandırmada çok fazla şeydir.

Akışkanlar Dinamik: Sürekli Stirred-Tank Reaktör (CSTR)

Mükemmel bir karışık tank reaktöründe, kimyasal bir tür için kütle dengesi:

[FONT=0)V dC/dt = Q (C)) – C) – k C V).

[FONT=0) {0}[DÜDÜDÜDÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜŞÜNÜ

Kontrol Sistemleri: İlk Order System Response

Basit bir termostat veya negable inductance ile bir motor gibi birçok kontrol sistemi, ilk sipariş sistemleri olarak modellenmiştir:

[0] ⁇ dy/dt + y = K u (t)).

İşte bu durumda, her zaman sürekli olarak, [[Dönetici:0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Örnek: Bir Object Soğutma - Full Çözüm

Tipik bir problemle çalışalım. 200 °C'de bir metal parçası 25°C'de bir odaya yerleştirilir. Soğutma sabit bir şekilde:0)k[Dönem: 1 ) = 0.02 min -1. 30 dakika sonra sıcaklık bul ve 50°C'ye ulaşma zamanı gerekli.

[0] 1.Adım 1.

Eksel denklem: 0/dt = 0 (T – 25) ) [Üye Olmayanlar: 2 ).

[[0)Adım 2 - Bütünleme faktörü yöntemi kullanılarak Çözülmesi[Dön 1: 1).

denklem lineer: [[0DüzdT/dt + 0.02 T = 0,5)[t) = e) = e[FLT|4|0|0|0|0|0|0|0|0|4|D|D)[D)[D)[D)[D)[D)[D)[D)[D)[D)

[[Dönemli 3| Çok ve bütünleme).

[DÜŞÜNÜ:0]([Üye Olmayanlar)[Üye Olmayanlar İçindekiler (DÜye)[Üye Olmayanlar İçindekiler, “(GÜye Olmayanlar)” (T)

[[Dönem:0)Adım 4 - İlk koşul uygulayın[Dönem: 1 )

[FONT=0)|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|x|x|x|x|x|x|) [D=2|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|)

[0] 5 - 30 dakika sonra ısı

[30) = 25 + 175 e-0.6) ⁇ 25 + 175 × 0,5 = 121.0°C).

[0]Adım 6 - 50°C'ye ulaşma zamanı).

SetFLT:0)50 = 25 + 175 e-0.02t|0|459[FLT: 9|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D||D|)|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|x|x

Bu çözüm, gerçek dünya davranışını tahmin etmek ve mühendislik kararlarını yapmak için diferansiyel denklemlerin gücünü göstermektedir.

Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç

İlk sipariş diferansiyel denklemler, her mühendisin matematiksel aracının bir temelidir. değişkenlerin üstünlüğünü üstlenerek, bütünleme faktörü yöntemi, tam denklemleri ve Bernoulli altkuruluşunu inşa ederek, mühendisler ısıl, elektrik, sıvı ve kontrol sistemlerinin dinamik davranışlarını analiz edebilir.

Daha fazla okuma için, bu kaynakları keşfedin: [FONT:0]MIT Open ⁇ Ware – Diferansiyel Denklemler).