Phasors ve Fourier arasındaki ilişki,

Giriş: Neden Phasors ve Fourier Maddeleri Dönüştürüyor

Elektrik mühendisliği ve sinyal işlemesinde, birkaç konsept temel olarak fasors ve Fourier dönüşümleri olarak adlandırılır. Bu iki matematiksel araçlar, mühendislere ve bilim adamlarının karmaşık, sert-analyze sinyalleri almalarına ve onları anlaşılabilecek basit parçalara ayırıp, manipüle edilmeye izin verir ve optimize edilir. Bir radyo alıcısı tasarlayın, ses eşitleyici inşa edin, veya analiz güç sistemleri inşa edin, bu kavramlar modern sinyal analizinin arka kemiğini oluşturur.

İlk bakışta, fasors ve Fourier dönüşümleri, frekans bileşenlerine yönelik olarak görünebilir. Phasors genellikle her iki kavramı da kullanmak için daha kolay ve daha güçlü bir şekilde öğretilir. Fourier dönüşümleri daha sonra sinyal işleme sınıflarında frekans bileşenleri için bir yöntem olarak ortaya çıkabilir.In fact, ikisi de derin bağlantılı.

Bu makale, fasors ve Fourier dönüşümlerinin bireysel olarak ne olduğunu araştırıyor, sonra birbirleriyle nasıl ilişkili olduklarını inceleyeceğiz. Ayrıca birden fazla mühendislik disiplininde pratik uygulamalara bakacağız ve bu iki araç arasındaki zarif ilişkiyi gösteren örnekler sunuyoruz.

Phasors Nedir?

Bir fasor, sinüsoidal bir işlevi temsil eden bir dönen bir vektördür. AC devre analizinde, sinusoidal gerilimler ve akımlar yaygındır. Tipik bir sinesi dalga, özellikle de aynı frekansın dalgalarını ekleyerek tanımlanabilir. Phasors bunu karmaşık bir sayı olarak basitleştirirken, frekansın ifade ettiği anlamına gelir.

Matematiksel olarak, bir sinüsoidal fonksiyon:0)v(t) = V m cos( ⁇ t + {{)), fasor.:2V = V m e^{j = 0[D)[D) = V m = V m ⁇ [D)[D)[D)[D)[D))[Düzüğün siyonel denklemleri doğrudan fasor tarafından temsil edilmez, çünkü devredeki tüm sinyallerin aynı frekansı sürekli olarak paylaşıldığı için.

Phasor Notation ve Komplek Plane

Phasors karmaşık uçakta, yatay eksenin gerçek bölümünü temsil ettiği ve dikey eksenin hayali bölümünü temsil ettiğini gösteriyor. phasor dönen vektörü anında doğrultarak geri döndürüyor ve gerçek eksendeki projeksiyonu, sinüsoidin değerini veriyor.

Bu grafik gösterimi sinyalleri eklemek için sezgisel yapar: sadece her fasor ile ilgili karmaşık numaraları (vektörler) ekleyin. Faz farklılıkları angular farklılıkları haline gelir ve amplitüd değişiklikleri vektör uzunluğu değişiklikleri haline gelir.Bu görsel yaklaşım, öğretim ve uygulamada çok yaygın olarak kullanılır.

AC Devre Analizinde Phasors

AC devre analizinde, direnççiler, kapasitörler ve indüktörler her şey sinüsoidal girişlerle farklı davranırlar.Rektörlerin şu anda anlık olarak gerilime kadar geçiş yapması gerekir ve indüktörler -90 dereceler kullanarak, bu davranışlar yetersizdir, genelleştirilmiş direnişin nedeni de R.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.D.

Doğrusallıklarla, AC devreleri için kullandığınız aynı yöntemleri kullanarak AC devrelerini analiz edebilirsiniz: Ohm yasası, Kirchhoff yasaları ve nodal analizi tüm geçerli, ancak şimdi karmaşık sayılarla. Bu, AC devre tasarımı pratik ve verimli hale getiren büyük basit bir basitleştirmedir.

Örnek: Phasors ile iki Sinusoid ekin

Bu iki gerilim kaynağının seride olduğunu varsayalım: 0 (t) = 10 kos ( ⁇ t + 30°)|D) = 5 x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 x = 8 = 9 x = 9 = 9 x = 8 x = 9 x = 8 x = 9 x x x x = 8 x = 9 x x x x x = 9 = 8 x = 9 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Fourier'in anlaşılmasını sağlar

Fourier dönüşümü, zaman alan sinyali gerektiren matematiksel bir operasyondur ve frekansın bir işlevi olarak ifade eder. Size sinyalde hangi frekansların mevcut olduğunu gösteren bir spektrum verir ve ne amplitüd ve fazı ile. Bu, bireysel notlara bir müzik avına benzer.

Sürekli Fourier dönüşümü olarak tanımlanır:

[FONT=0)F( ⁇ ) = ⁇ {- ⁇ } f(t) e^{-j ⁇ t} dt).

Ters dönüşüm orijinal sinyali geri alır:

[0](t) = (1/2) ⁇ {- ⁇ } F( ⁇ ) e^{j ⁇ t} d ⁇ ).

Bu denklemler korkutucu görünebilir, ancak temel fikir güzel: herhangi bir sinyal, farklı frekansların sinüsoidlerinin bir özetinden inşa edilebilir, her biri kendi amplifikasyon ve fazına sahiptir. Fourier dönüşümü size sadece bu amplifütlerin ve aşamaların ne olduğunu söyleyebilir.

Fourier Türleri Dönüştürüyor

Fourier dönüşümünin birkaç çeşidi vardır, her biri farklı sinyallerin türleri için uygundur:

Bunların her biri sinyal işlemede yeri vardır, ancak hepsi aynı temel prensibi paylaşırlar: sinusoid bileşenlere sinyalleri talep ederler.

Neden Fourier Dönüşümleri Temelde

Fourier transformleri mühendislik ve bilimde her yerde kullanılır. Ses işlemede, Wi-Fi ve 4G/5G'de kullanılan modülasyon şemalarına eşitlemenize veya kesmenize izin verir.In image processing, they enable kompresyon (JPEG), filtreleme (blurring, keskinleştirme), ve özellik algılama.In Telekomünikasyonda, Wi-Fi ve 4G/5G gibi modulation şemaları için temeldir.

Fourier dönüşümünin gücü, saklı yapıyı ortaya çıkarma yeteneğinde yatıyor. Zaman alanında rastgele gürültü gibi görünen bir sinyal temiz, yorumlanabilir frekans spektrumu olabilir. Bu değişim perspektifte, zaman zaman zaman frekansına, tüm mühendislikteki en güçlü fikirlerden biridir.

Phasors ve Fourier arasındaki bağlantı, dönüşümleri değiştirir

Şimdi önemli olanın kalbine geliyoruz: Bir araya geldiğinde, dörtlü bir sinyalin yapı taşlarıdır.

Daha doğrusu, belirli bir frekansta bir sinyal Fourier dönüşümü size karmaşık bir sayı verir. Bu karmaşık sayı, frekans ⁇ 'de dönen bir vektör olarak yorumlanır, tam olarak bir fasordur. Yani Fourier dönüşümü her frekansı için, frekansın bu bileşeni işarete katkıda bulunan fasor söyler.

Malzemeler olarak Phasors, Recipe olarak Fourier

Bir sinyal karmaşık bir yemek olarak düşünün. Fourier dönüşümü size hangi malzemeleri (kampiyonlar) ve Fourier dönüşümünin ne zaman (faylar) ve bunları eklemek için ne zaman (faz) bir sinüsoid olduğunu söyleyen bir tariftir.

Bu perspektif, iki kavramı zarif bir şekilde ifade etmiyor:

AC devrelerinde fasorlarla çalıştığınızda, sinyalin tek bir sinüsoid olduğunu varsayıyorsunuz. Fourier dönüştürücülerle çalışırken, birçok frekansı içeren sinyalleri ele geçiriyorsunuz, ancak her frekansta temel nesne hala bir fasor.

Zaman Domaininden Frekans Domainine

Phasors frekans alanında var, ancak genellikle zaman alanı sinusoidleri bağlamında tanıtıldılar.Bir sinüsoidi bir fasor olarak temsil ettiğinizde, bir zaman bağımlı bir fonksiyondan frekansına taşındınız (özel bir frekansta karmaşık bir sayı). Fourier bunu genelleştirir: tam bir zaman alanı sinyali alır ve her frekansın bileşeninin bir fasor olduğu yerde.

Bu yüzden Fourier dönüşümü bazen “kontinable phasor dönüştürme” olarak tanımlanır.Her sonsuz frekans bandında, dönüşüm size o grubun katkısını ve aşamasını temsil eder.

Steady-State vs. Transient Analysis

Fasors ve Fourier dönüşümleri arasındaki farkı anlamak için bir yol, en iyi şekilde ele aldıkları sinyallerin türünü düşünmektir:

Bu yüzden sadece geçici olayları geçiş olayları veya veri pulları gibi analiz etmek için yetersizdir.Çünkü bunlar için, tam Fourier dönüşümüne veya kuzeni hesaplamasına ihtiyacınız var, FFT.

Pratik Uygulama Pratik Uygulama Pratik Uygulama Pratik Uygulama

Fasors ve Fourier arasındaki ilişkiyi anlamak birçok alanda güçlü analiz tekniklerini ortaya koyar.

Elektrik Mühendisliği: Güç Sistemleri ve Devre Tasarımı

Güç sistemlerinde, gerilimler ve mevcutlar sabit bir frekansta (veya 60 Hz) Phasors bu sistemleri analiz etmek için standart bir araçtır. Power flow, hata analizi ve istikrar çalışmaları tüm kullanım fasor temsilleri olarak tedavi edilebilir, ancak bu kombinasyonsuz yüklere neden olan harmonikler (sevcut sürücü veya bilgisayar gücü malzemeleri) uygun olarak değerlendirilerek, Fourier dönüşümün harmonik bileşenlerine indirgenmesi gerekir.

Güç sistemi harmoniklere daha fazla gelince, bu kılavuzu ESFLT'den görebilirsiniz:0).IEEE).

Signal Processing: Filtre Tasarımı ve Spetral Analiz

Signal processing, Fourier dönüşümü, düşük frekanslı sinyalleri korumak için filtreler tasarlamak için kullanılır.Bir sinyalin frekansının içeriğini ( Fourier dönüşümü ile), bu bileşeni değiştirmek için filtre uygulayabilirsiniz. Örneğin, düşük frekanslı bir filtreyi kaldırır.

İlişki o kadar sıkı ki, birçok filtre tasarım tekniği istenen frekans yanıtıyla başlar (farklı frekanslarda fasor kazanımlar kümesi) ve sonra bunu elde eden bir filtre bulmak için geri çalışır.

Ses Mühendisliği: Eşitleştirme ve Oda Acoustics

Ses mühendisliğinde, belirli frekans gruplarının amplitüdünü ayarlayarak eşitleştiriciler çalışır.Her bir grubun amplifikasyonu ve fazı bir fasor olarak düşünülebilir ve sonra bir ses sinyalinin Fourier dönüşümü frekansı içeriğini gösterir, mühendislerin nereye keseceğini veya artıracağını görmesini sağlar. Örneğin, bir odada bir reson frekansın phasor amplitudeliğini ve sonra bir notch filtresini azaltmak için.

[FONT=0]Seso Engineering Society[[Dönetici:0) akustik tasarımda Fourier analizinin kullanımında birçok kaynağa sahiptir.

Telekomünikasyon: Modulation and Demodulation

Modern iletişim sistemleri hem fasor hem de Fourier dönüşümlerine çok güveniyor.Dörtgenlik modulation (QAM), her taşıyıcı frekansının amplifikasyon ve aşamasına göre, bu tam olarak bir fasor gösterimidir. alıcı dörtlü bir dönüştürücüyü (FFT ile basitleştirilmiş) her iki fasorluyu da kullanarak sinyali sildirmek için baskı yapar.

Fafasors ve Fourier dönüşümlerinin bu derin entegrasyonu, yüksek hızlı kablosuz iletişimin mümkün olduğu şeydir.

Kontrol Sistemleri: Frekans Yanıt Analizi

Kontrol mühendisliğinde, bir sistemin frekansı cevabı, sistemin bu fasor kazanımlara ve frekans işlevlerine nasıl tepki verdiğini açıklar. Sistemin itme fonksiyonu, belirli bir frekansta değerlendiren bir fasor size aynı bilgileri verir.Bu equivalans, sistemin sabit ve duyarlı kontrol sistemleri için kritiktir.

Derin bir bakış: Matematiksel Köprü

Bağlantıyı sağlamlaştırmak için, Fourier serisini periyodik bir sinyal olarak düşünün:

[0](t) = ⁇ {n=- ⁇ } C n e^{jn ⁇ 0 t}[Dön 1: 1)

Her dönem için bir karmaşık sinüsoiddir.[Dönetici:0)[Dönetici:0)[Dönetici:0|Dönetici|Dönetici|Dönetici|Dönetici|Dönetici|Döneticileri)[Döneticileri)[Dönder))[Döneticileri ve faz bilgileri içeren karmaşık bir sayıdır.

Şimdi, Fourier'in non-termic sinyalini değiştirdiğini düşünün. integral, bir frekans bandının sürekliliği ve aşaması olarak düşünülebilir, bu grup için toplam fasor katkısı elde edersiniz.

Bu bakış açısı, fasors'un sadece Fourier dönüşümünin özel bir vakası olmadığını gösteriyor; Fourier dönüşümünin hangi dörtlü transforme edildiği çok atomlar. Fourier dönüşümü kullandığınız her zaman, fasors ile kapalı bir şekilde çalışıyorsunuz.

Common Misconceptions

Öğrencilerin ve uygulayıcıların farkında olması gereken birkaç tuzak var:

Sonuç: Aynı Coin'in iki Tarafı

Phasors ve Fourier dönüşümleri rekabet etmiyor; farklı ölçeklerde çalışan tamamlayıcı araçlardır. Phasors tek bir sinüsoidal bileşeninin iyi temsilidir, Fourier dönüşümü büyük resmi sağlarken, tüm bu bileşenleri karmaşık sinyalleri oluşturmak için nasıl bir araya geldiğini gösterir.

Elektrik sistemleri, ses, iletişim veya kontrol ile çalışan mühendisler ve bilim adamları için, her iki kavramın da gerekli olduğunu ustalaştırır. Phasors, AC devreleri ve sürekli devlet analizinde hızlı, sezgisel hesaplamalar yapabilme yeteneği verir. Fourier, sizi birlikte, iki zarif ve son derece pratik olan sinyal analizi için tam bir çerçeve oluşturur.

Bir sinyal analiz ettiğinizde, Fourier frekansı yapısını anlamak için başlangıç düşünün, sonra bireysel bileşenleri manipüle etmek için fasor teknikleri kullanın. Bu iki adım yaklaşımı size tasarımlarınızın daha derin bir şekilde anlaşılması ve daha fazla kontrol sağlayacaktır.

Daha fazla okuma için, bu kapsamlı kaynağın, [[0)MathWorks[[Düzensel dönüşüm ve uygulamaları üzerine kurulu.