Table of Contents

Routh-Hurwitz Stability Criterion'a giriş

Routh-Hurwitz stabilite kriteri karmaşık polinomlarla çalışan mühendisler ve matematikçiler için, bu kriter başka bir şekilde zor bir tabut prosedürüne dönüşen gerçek bir polinomun köklerini belirlemek için sistematik bir yöntem sunar.

Burada bir “komblem polinomu” gerçek katsayılarla polinoma atıfta bulunur (örneğin kontrol uygulamaları standarttır) ancak kökleri karmaşık olabilir. Birçok fiziksel sistemin istikrarı - elektronik devrelerden mekanik bağlantılara bağlı olarak - karakteristik polinomların gerçek parçalarının işareti üzerine bağımlılık gösterir.

Bu makale orijinal özet üzerinde genişliyor, yöntemin ayrıntılı bir yürüyüşünü sağlıyor, örnekler, özel vakalar ve pratik uygulamalar. Sonunda, okuyucular Routh-Hurwitz tekniğini güvenerek analiz edebilecekler.

Komplek Polinomlar Nedir?

Kontrol mühendisliği ve matematikte, karmaşık bir polinom genellikle formun bir ifadesidir:

[FONT:0)P (s) = a[Döntilmişler[Dönler: 1 )[Dönler: 9)[Dönemliler: 4) + a[FLT: 9|[D)[D|[Dönler: 9|4|)[*|[*|)

Katliamıların nerede:0)a[Dönetici:2][Döneticileri)[Döneticiler ve s.)[Dönemler[Dönemler)[Döneticiler)[değiştir | kaynağı değiştir], bu kökler, polinom tarafından açıklanan bir sistemin dinamik davranışını belirler.

Örneğin, ikinci bir sipariş sisteminin karakteristik denklemi, bir kitleye ait bir yay-baptırma olduğu gibi:0)[Dönemli)[Dönemli:2|BİLMİŞT:2|BİLMİŞT:3) ve [Döneticileri kontrol etmek için bir yol sunar.

Neden Doğrudan Kök Hesaplaması Gerçekleştiriliyor

Beş veya daha yüksek siparişin polinomları için, tam analitik kök çözümleri nadiren mevcut (Abel-Ruffini theorem) Numerical yöntemler yaklaşık kökleri olabilir, ancak onlar, izodik stabilite analizi için hassastır ve tasarım marjlarını doğrulamak için.

Routh-Hurwitz Stability Criterion

Edward John Routh (1876) ve Adolf Hurwitz (1895) tarafından bağımsız olarak gelişmiştir, kriter, gerçek katlarla polinoma sahip olduğu anlamına gelir, tüm köklerin sadece en önde gelen küçükleri (veya eşdeğer olarak, Routh serisinin ilk sütunu) pozitiftir.

Routh Dizisini Oluşturun

polinoma göre:

[FONT:0)P (s) = a[DÜDÜT:2)[DÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜye: 9)[Üye Olmayanlar: 9/01/2012)[Üye Olmayanlar (DÜyeler)[Üye Olmayanlar)

Routh serisi aşağıdaki gibi inşa edilmiştir:

  1. [FONT=0]))))))[[değiştir | kaynağı değiştir][değiştir | kaynağı değiştir][değiştir | kaynağı değiştir][değiştir | kaynağı değiştir][değiştir | kaynağı değiştir]
  2. [FONT=[0][[değiştir | kaynağı değiştir] [[değiştir | kaynağı değiştir] [[değiştir | kaynağı değiştir] [[değiştir | kaynağı değiştir] [[değiştir | kaynağı değiştir]
  3. [FONT:0]Son satırda sadece sabit bir satıra kadar (ortalama) [Dönetici:2)[Döntgen: 3 )[Dönemli: 4)[Dönemli)[Dönemli)[Dönemli))
  4. [FONT=0) İlk sütunu tekrarlayın.[DÜDÜT:1] Tüm girişler serinin ilk sütununda olumlu (ve hiçbiri sıfır değildir), sonra tüm kökler yarı düzlemde yalan söylüyor (sistem sabittir). Herhangi bir işaret değişikliği, gerçek parçalarla kök sayısını gösterir - her işaret değişikliği böyle bir kök sayır.

Routh Dizilerinde Özel Vakalar

İki özel durum bu dikkatli bir şekilde ele alınması gereken ortaya çıkıyor:

  • [FONT=0)Zero ilk sütunda [Dönder: 1 ) Bir satırın ilk elemanı sıfırsa, ancak sıranın geri kalanı küçük olumlu bir sayıyla sıfırın yerini alır ve devam eder.
  • [FONT:0) Sıfırların sırasını çizin.[DÜT:1] Bu, polinomların kökler (birbirinin negatifleri veya karmaşık konjugatesiyonları sıfırın üzerindeki sıfırlardan uzaklaştırdığını gösterir.

Örnek: Dördüncü Derece Polynomial

[FONT=0)P(s) = s[Dönem:2)[Dönem:2) [Düzücükler[Dönemli)[Dönemli: 3)[Dönemli: 4)

  • [KöpekÜye: 0,4[DÜye: 2][DÜye: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5,
  • [KöpekÜye: 0,3] [DÜye: 2, 4, 0, 0, 4, 0, 4, 0
  • [KöpekÜye:0][DÜye: 2)[Üye: 2)[Üye: 4)[Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye/Üye)))
  • [KöpekÜye: 0,4|2|)[DÜye: 2] [DÜye: 2][Üye: 4)[Üye: 4,4|2|) = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 () = 0 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4)
  • [KöpekÜye:0][DÜye: 1)[*)[*)[*))[*)))

İlk sütun: 1, 2, 1, -6, 5 → imza değişiklikleri bir kez (1 ila -6'dan -6'ya geri döndü) olumlu gerçek bir kısımla bir kök ifade etti.Gerçekten, polinomin kökleri vardır: -1.65 ± 0.35i, 0.65 ± 1.72i - son çift olumlu bir gerçek bir role sahiptir.

Komplasyon Kompleksi Polynomials Criterion kullanarak

Routh-Hurwitz yöntemi, karmaşık polinomların birkaç şekilde stabilite analizini basitleştirir:

  1. [FONT:0]Bir kök salımı (CFONT)[Dönderlik, faktörleme veya sayısal olarak kök araması pahalı ve bazen güvenilmez. Dizi sadece ek gerektirir, çok fazla uygulama ve bölüm - el veya yayılabilirlik tarafından kolayca yapılır.
  2. [FONT:0]Handles parametresi belirsizliği[Döneticileri sistem parametreleri açısından ifade ederek (geçmiş, zaman sabitleri), bir kontrol noktası olarak stabilite koşullarını elde edebilir. Örneğin, bir kontrol seviyesi elde edilir.[DDöneticileri:2K).
  3. [FONT:0] marjinal istikrarı haklı çıkarır.[Dönetici:0) İlk sütunda bir sıfır (ki ⁇ dava) veya sıfırların sırası, kökeni hakkında temelleri gösterir.Bu koşullar genellikle stabil ve istikrarsız davranışlar arasındaki sınırı tanımlar.

Kompleks Coaktiflerle çalışmak?

Klasik Routh-Hurwitz kriteri gerçek katlara ihtiyaç duyarken, birçok uzatma var.[Döneticileri karmaşık katlarla))) ⁇ C) gibi değişiklikler gerçek değerli fiziksel parametrelerden ortaya çıkar.Michailov kriteri[/FONT][/FONT][/FONT=3][/FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=FONT=tr|QNT=FONT=

Kontrol Sistemleri ve Ötesinde Uygulamaları

Routh-Hurwitz stabilite kriterinin birincil uygulaması, transfer işlevleri tarafından açıklanan lineer zaman değişkenli (LTI) sistemlerin stabilitesini belirlemektir. Transfer fonksiyonunun denominatörü karakteristik polinomaldir ve istikrar tüm kökleri negatif gerçek parçalara sahip olmak gerektirir.

Kontrol Sistemleri Tasarımı

Kontrollü tasarım sırasında mühendisler genellikle kazanç sağlar (örneğin, bir PID kontrolörünün orantılı, integral ve tür kazanımlara sahip olması) istenen performansa ulaşmak için.(s)=K / [s + 0))[değiştir | kaynağı değiştir][değiştir | kaynağı değiştir][değiştir | kaynağı değiştir][değiştir | kaynağı değiştir]

Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis Network Analysis

Elektrik mühendisliğinde, bir RLC devresinin karakteristik polinomları geçici salınımların çürümediğini belirler. Routh-Hurwitz kriteri, mühendislere sürekli osilasyonlardan kaçınmaları için bileşenler değerlerini seçmelerine yardımcı olur (enstability). Benzer şekilde, mekanik sistemlerde, geri bildirim kontrollü robotların istikrarı veya uçak bu yöntemi rutin olarak değerlendirmektedir.

Endüstriyel Süreç Kontrol Kontrolü

Kimyasal ve petrol endüstrilerinde, proses kontrolörleri sıcaklık, basınç ve akış düzenler. Routh serisi, orantılı olarak-integral-derivative (PID) kontrolleri sırasında kullanılır. kapalı-loop bitkisi işletim koşullarındaki değişimler altında kalır.

Faydaları ve Sınırlamaları

Herhangi bir araç gibi, Routh-Hurwitz kriteri güçlü ve zayıf yönleri vardır.

Güçlüler

  • [FONT:0) Hiçbir kök hesaplaması gerekli değildir.[DÜT:1] Dizi sadece kat katlarda çalışır.
  • [FONT:0]Scalable.[[Dönetici:0) Yöntem herhangi bir düzenin polinomları için çalışır, ancak yüksek siparişler el tarafından (easily otomatik olarak otomatik olarak) tarafından yönlendirilir.
  • [FONT:0]Symbolik kapasitesi.[[Dönetici:0] Coaktifler, parametrik stabilite analizine izin verebilir.
  • [FONT:0) İntevazi köklerin sayısını sağlar.[DÜDÜT:1] Her bir işaret ilk sütunda bir köke olumlu gerçek bir kısım ile karşılık gelir.

Sınırlamalar

  • [FONT:0) Gerçek katlar sadece.[[DÜT 1: 1) Klasik form, karmaşık katlarla polinomları doğrudan ele almamaktadır, ancak uzantılar var.
  • [FONT:0] Kök yerleri hakkında bilgi yoktur.[Dönetici:0) kriter yalnızca [[Dönetici:2|Dönemli kökler var, tam değerleri değil. ayrıntılı bir analiz için, kök locus veya sayısal kök bulma gereklidir.
  • [FONT:0] Sayısal hataların hassaslığı; Katalanlar neredeyse sıfır olduğunda veya yuvarlak hataları içerse, dizi inşaat büyük belirsizlikler üretebilir. ⁇ method kullanımı bir işbaşıdır, ancak dikkatli bir yorum gerektirir.
  • [FONT:0] gecikme sistemleri ele almamak; [Dönder: 1) Zaman gecikmeleri olan sistemler, polinomlar değil, Routh-Hurwitz kriteri doğrudan uygulanabilir değildir; bunun yerine, Padé seçtiğimiz yöntemler veya Smith tahminor gibi yöntemler kullanılır.

Tarihsel Context ve daha fazla okuma

Routh-Hurwitz kriteri, 1876'da dizi yöntemi yayınlayan Edward John Routh'in ardından adlandırılmaktadır ve Adolf Hurwitz, 1895'te benzer bir matris formülasyonu bağımsız olarak elde eden bir Alman matematikçi, Cauchy ve Hermite tarafından yapılan çalışmaları hakkında yapılan çalışmalar, modern kontrol derslerinde bir temel olarak kalmaktadır.

İleri kontrole sahip mühendisler ayrıca ESFLT ile karşılaşacaktır:0)Hurwitz matrix[Dönetici: 1) Lyapunov istikrarı bağlamında.Kasif matrisinin ve Hurwitz matrisinin determinantı, lineer cebi ve kontrol teorisinde klasik bir sonuçtur.

Adım-byStep Illustrated Örnek

Bir kontrol sisteminin karakteristik polinomunu göstermek için karmaşık (yüksek sipariş) polinomları ile tam bir örnekle yürüyelim:

[FONT=0)P(s) = 2 s[DÜT:1) 5) + 4 s)[FLT: 4[FLT: 4)[D[D|D|D)

Adım 1: İlk iki satırları düzenleme

  • [KöpekÜye: 0,5|DÜye: 9)[Üye: 4)[Üye/gün)[Üye/Üye ait olan) [Üye/Üye ait olan) [Üye/Üye/Üye ait olan) [Üye Olmayanlar, [Üye Olmayanlar, 9,9,9,2,2,9|)
  • [FONT=0][Dönemli: {0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|4|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|

2. Adım: Üçüncü sırayı ([[Dönem:0)[Dönem: 1]).

determinant formülü kullanarak:

  • İlk element: (4·6 - 2·8)/4 = (24 - 16)/4 = 8/4 = 2
  • İkinci unsur: (4· 10 - 2·12)/4 = (40 - 24)/4 = 16/4 = 4
  • Üçüncü element: sıfır (İlk sıradaki daha fazla kattan dolayı)

[KöpekÜye:0][Dönem:2][Dönem: 2, 4, 0 0

3. Adım: Dördüncü sırayı ([[Dönem:0)[Dönem:2]).

[Düzücükler: 0,4,0)[Dönler: 4,8,12) ve [[Döndüşükler[Dönler: 4,4,0)[D)[Dönler: 4,8|16|)

  • İlk unsur: (2·8 - 4·4)/2 = (16 - 16)/2 = 0/2 = 0 0 = 0
  • İkinci unsur: (2· 12 - 4·0)/2 = (24 - 0)/2 = 12

[KöpekÜye: 0, 12] [DÜye: 2][Üye: 2, 12, 12)

İşte ilk sütunda sıfır var. Arka sıranın geri kalanı ⁇ ile sıfırı değiştirmiyor (küçük olumlu sayı).

Adım 4: Beşinci sırayı ([[Dön:0)[Dönem: 1]).

[Düzücükler: 0,3|Dönler:2] [Dönler: 2,4,0) ve satırlar (Dönler)[Dönler: 4,0) [Dönler: 4,4,0) ve satırlar[Dönler: 4,4|Dönler[DÜyeler)[DÜyeler:

  • İlk element: ( ⁇ 4 - 2·12) / ⁇ = (4 ⁇ - 24) / ⁇ = 4 - 24/ ⁇
  • İkinci element: ( ⁇ 0 - 2·0) / ⁇ = 0

[KöpekÜye: 0,2][DÜye: 4/ ⁇ )

⁇ → 0)+, terim -24/ ⁇ hakimler, bu element negatif ( ⁇ ).

Adım 5: Altıncı sırayı ([[Dön:0)[Dönem: 1)).

[Döncükler:0)[Dönemliler[Dönler: 1)[Dönler: 2)[Dönler ve sıralar)[[Dönler: 4)

  • İlk element: [(4 - 24/ ⁇ )· 12 - ⁇ 0] / (4 - 24/ ⁇ ) = 12

[KöpekÜye: 0,0][DÜye: 2][Üye: 12)

Adım 6: İlk sütunu Analyze

İlk sütun girişleri şunlardır: satırlar[Dönemli:0)[Dönemli: 2 (Pozitif), satırlar [Düzücükler: 2 (Pozitif)[Dönemli)[Dönemli)[Dönemli)[Dönemli)[Dönemli)[Düzersiz)[Düzersel)[Düzücükler: 4 (sağlık)[Dönemli)

İki işaret değişikliği vardır: pozitif (row s[[DÜ:0)2). negatif (belirli) (olsun)[Dönemli) ve negatif geri dönüş (olsun)

[FONT:0)Verification: [Dönetici araçları kullanarak, [[Döneticileri:2|0|)[Dönemli: 0) yaklaşık olarak: -1.09, 0 ± 0.87i, 0.79 ± 1.04i gerçekten iki karmaşık konjugate köklerinin pozitif bir parçası (0.05.)

Alternatif yaklaşım: Sıfır büyüme davası için yardımcı polinom

Yukarıdaki satırdan tam bir sıfır sıraya sahip olsaydık, [Dönderin] 0 (vardır) ±j, ±2j gibi durumlarda, sıfır satır[Dönem: 2 + 5s[D) Doğrulanmış kökler (yukarıdaki sıradan) gerçek kökler verir.

Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç

Routh-Hurwitz stabilite kriteri yüksek sipariş polinomlarının karmaşık analizlerini basit bir algoritmaya dönüştürür ve ilk sütunun işaretlerini inceler, mühendisler ve matematikçiler sistemi kontrol sistemi tasarımından, devre analizinde vazgeçilmez hale getirebilirler.

Bu tekniğin ustalıklarının güven ile karmaşık polinomları ele geçirmesine izin verir – akademik çalışma, endüstriyel tasarım veya araştırma için vazgeçir.[Dönetici, MATLAB, Python), Routh-Hurwitz kriteri, daha fazla keşfetmeyi arzu eden temel bir bina bloğudur.