Routh-hurwitz'ı Sistem Yanıtı ve Transient Davranışını Önlemlemek için

Routh-Hurwitz Criterion'a giriş

Routh-Hurwitz kriteri, 1874 ve Adolf Hurwitz tarafından bağımsız olarak geliştirilen, bu cebirsel tekniğin kontrol mühendisliğinde yaygın olarak kullanılması için sistematik bir yöntem sunmaktır, çünkü bir sistemin istikrarlı, öngörülebilir bir şekilde yanıt vereceğini belirlemek için hızlı, güvenilir bir yol sunar.

Bir sistemin karakteristik polinomlarını analiz ederek, Routh-Hurwitz kriteri, yüksek derecelerin polinomlarını (özelliklereli denklemlerin) doğru yarısına yalan söyleyen karmaşık düzlemdeki kutupları analiz ederek, gerçek parçalarla ilgili öngörüler, sabit parçalarla birlikte, kutuplar sabit, yakın olmayan cevaplara katkıda bulunur.

Bu makale ilk olarak Routh-Hurwitz kriterinin matematiksel temelini açıklayacaktır, sonra süreci gösterip yöntemin sınırlamalarını ve tamamlayıcı araçları tartışacağız.Bundan sonra, Routh-Hurwitz kriterini aşırı yükleme gibi temel özellikleri de içerecek şekilde inceleyeceğiz. Pratik bir sayısal bir örnek olarak inceleyeceğiz.

Routh-Hurwitz Criterion Nedir?

Routh-Hurwitz kriteri LTI sistemlerinde istikrar için gerekli ve yeterli bir durumdur. Sistemin karakteristik denkleminde çalışır, bu da lisanslama aşamasından sonra kapalı devre dışı bırakılır.For a system described by the function. for a system described by the functionality.

[FONTD][3][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT)

kriter sistemi istikrarlı olması gerektiğini belirtir (örneğin, tüm kutupların negatif gerçek kısımları vardır), tüm katsayılar bir_{)[Dönemli olmayan ve aynı işareti (tipik olarak olumlu), ve Routh serisi ilk sütunda hiçbir işaret değişikliğine sahip olmalıdır.Eğer herhangi bir işaret değişikliği meydana gelirse, işaret değişikliğin sayısı olumlu yönde değişir.}

Routh-Hurwitz kriterinin tamamen cebirsel olduğunu belirtmek önemlidir - temel bulmak gerçek kutup yerlerini hesaplamak için değildir.

kriter doğrudan Hurwitz matrix ile bağlantılıdır, bu determinant kontrol işlemi daha basit bir şekilde basitleştirmelidir.

Routh Dizisini Oluşturun: Step-by-Step

Routh serisi inşa etmek sistematik bir prosedürdür. somut bir örnek polinom kullanarak göstereceğiz:

(Resulüm)

Bu polinom köklerini s = -1, -2, -3, -4 (tüm negatif), bu yüzden sistem stabil.Biz Routh serisinin işaret değişiklikleri vermediğini doğrulamayı kullanacağız.

Adım 1: Standart Formda Polynomial Yaz

C: 4[Dönemli) s. s. ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

2. Adım: İlk İki Rows'ı ilk olarak

Routh serisinin ilk sırası, bazı türlerin katlarını içerir (birinci sıradan başlayarak).[Dönemli)[Dönemli:0)[Dönemli: 3,0|Düzücük|Dönemli terimler:)[Dönemli terimler: 3[Düzücüler[Dönemler:)

[FONT: 0][[[değiştir | kaynağı değiştir]: 1, 35, 24
) Row s^{}3[DDD)[Düzücü: 10, 50, 0 0: 2).}

3. Adım: Rhombus Kuralını Kullanan Sonraki Rows

Bir sonraki satırdaki her element, yukarıdaki iki satır kullanılarak hesaplanır. Sıradaki bir element için ²)

[FONT: 5)

Ancak standart formülü uygulamak daha kolaydır: sıra için k, sütun j ( sütun 1), element şunlardır:

(Allah’a) yemin ederim.

Bunu, netlik için manuel olarak yapalım.

[FONT=0][0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|4|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D|D=D=D=D=D=D=)[0|4|0|5|3|)

Bu nedenle sıra ([Dön:0)2[Dönem: 30, 24, 0.

[FONT:0]Row s[[DÜDÜDÜDÜDÜ:2|[DÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜDÜŞÜN)[Üye Olmayanlar[DÜye Olmayanlar İçin Tıklayınız.

Bu nedenle sıra ([Dön:0)1[Dönem: 42, 0.

[Dönetici: 0] [Dönetici: 4)[[Dönetici: 9)[Dönetici: 4 ))[[x|D)|[x|D|D)|Düzersiz))) [[[x|Düzersiz))))))) [Düzersizler (geçmişler, [Düzerleri)))) = 42/0)))

Yani tam Routh serisi:

s⁴	1	35	24
s³	10	50	0
s²	30	24	0
s¹	42	0	0
s⁰	24	0	0

Adım 4: İlk Köşeyi Sınav

İlk sütunu içerir: 1, 10, 30, 42, 24. Hepsi olumlu ve işaret değişikliği yoktur. Bu nedenle sistem bilinen köklerimizi maçlarıyla karşı karşıyadır.

Özel Vakalar

İki:0) Özel vakalar[[Dönemli: 1) Routh serisi inşaatı sırasında ortaya çıkabilir:

[FONT:0)Zero ilk sütunda:[Dönder: 1) Bir satırın ilk elemanı sıfır değil, tüm sıfırları değil, küçük bir epsilon ile sıfırın yerini alır ( ⁇ ), sonra devam eder.
[FONT:0) sıfırların sırasını sıralayın: [Dönetici: 0 ) Bu, eksik satır için katlar elde ederken gerçekleşir. Bu, tam tersine, iki hayali kök veya simetrik çiftlerin gerçek eksenle yan yana olduğunu gösterir (örneğin, dengesizliğe, dengesizliğe)

Bu özel vakalar, kriterin uygulanabilirliğini, hayali eksende veya simetrik desenlerde kutuplarla genişletir.

Sistem Yanıtı ve Transient Davranışı

Routh-Hurwitz kriteri, ikili istikrarlı / güncel bir kararla sınırlı değildir. Yarı düzlemdeki tüm polenlerin sayısını olumlu gerçek parçalarla ortaya çıkarmak, sonunda sistemin geçici davranışını doğrudan bilgilendirir.

Ancak, kriter tam kutup yerlerini vermiyor, bu yüzden tam olarak aşırı yüklemeyi, zaman yerleşmeyi veya zaman artırmayı ölçemez.

[FONT:0) Eğer ilk sütunun imza değişikliği yoksa: Tüm kutupların negatif gerçek kısımları vardır. Geçici yanıt istikrarlı olacaktır, sonunda istikrarlı bir duruma yerleşmek olacaktır. Ancak kriterin tespit edilmediği veya osilasyonlar olabilir (yalnızca gerçek kısmın işareti garanti edilir).
[FONT:0) Eğer işaret değişiklikleri varsa:[Dönetici:[Dönetici: 1 ) Bir dizi işaret değişikliği, RHP kutupları ile aynı şekilde büyüyecek ve geçici yanıt, sınırsız bir şekilde büyüyecek. RHP'lerin sayısı dengesizliğe yol açar: tek bir olumlu kutup monoton büyümeye yol açarken, bir çift karmaşık RHP'ler osilasyonlar büyür.
[FONT=0]Marginal istikrar:[Dönetici:[Dönetici:0) Eğer karakteristik denklemin hayali eksende kökleri varsa (sönemli hayaller veya birden fazla kutuplar) ve Routh serisi sıfırların bir sırasını üretecektir.

Routh-Hurwitz'in sistem düzeni bilgisi ile sonuçlandırılmasıyla, mühendisler bilgilendirilmiş tahminler yapabilirler.İkinci sipariş sistemi için, kriter tüm katsayıları olumlu olarak adlandırmayı gerektirir (bu hem de istikrar için gerekli olan).

Transient Özellikleri ile İlişki

Bir stabil sistemin geçici cevabı öncelikle baskın kutuplar tarafından belirlenir - hayal eksenlerine en yakın olanlar bunu P, PI veya PID kontrolörlerinde doğru bir şekilde elde etmek için kullanır. Örneğin, kriterin artışlarının sonunda ilk sütunda bir işaret değişikliğine yol açtığını gösterirse, bunu çoğu zaman P, PI veya PID kontrolörleri olarak kullanmak için kullanır.

Stabilitenin etkisi altında olan temel geçici ölçümler şunlardır:

[FONT:0)Overshoot[DÜT:1) - Son değere göre yanıtın en yüksek değeri. Overshoot genellikle düşük baraj oranı ile karmaşık bir yanak kutuplara neden oluyor. Routh-Hurz kriteri de hesaplamıyorsa, sıfırlar sırasına göre bir sistem (evcut istikrar) genellikle sıfırın yakınında bir baraj oranına karşılık gelir.
[FONT=0]Settling Time[Dönetici:0][Dönetici] – Dizinin belirli bir yüzde içinde kalması için gerekli olan zaman (örneğin, son değerin% 2), zamanına karşı oldukça yakınsa, kutuplu bir diziye göre, dizginleme süresi uzun olacaktır.
[FONT:0]Rise Time[[Dönetici:0)[Dönetici:0)[Dönetici)[Dönetici:0)[Dönetici)[Dönetici: Bu, hakim karmaşık kutupların doğal frekansı ile ilgilidir. Yine, Routh-Hurwitz kriteri, sistemin iyi tanımlanmış bir yükseliş zamanı olup olmadığını gösterir.
[FONT=0]Oscillations[Döneticiler: 2) Sürekli osillerin frekansı karmaşık kutupların hayali kısımları tarafından belirlenir. kriter hayal kırık parçaları ortaya çıkarmıyor, ancak sıfırların varlığı tamamen hayal kırıklığına uğratmaktadır, ki bu da geçici yanıtda sürekli olarak akıp giden oscillations.

Böylece, Routh-Hurwitz kriteri bir kapıcı olarak hareket eder: kök locus, Bode arsaları veya adım yanıt simülasyonları gibi diğer araçları kullanarak anlamlı bir geçici analiz için bir ön şart olarak istikrar sağlar.

Pratik Örnek: Üçüncü Order Sistemi

Routh-Hurwitz kriterini bilinmeyen parametrelerle daha karmaşık bir örnekle uygulamamıza izin verin. kapalı devre transfer fonksiyonunu göz önünde bulundurunuz. ”Birlikte geri bildirim ile ilgili.The behavior denklem is:

[Üye: 9)

Sistemin stabil olduğu K aralığının belirlenmesi istiyoruz. Routh serisini polinomurlu GÜNFLT:9 için inşa ediyoruz.

s³	1	10
s²	7	K
s¹	(K-70)/7	0
s⁰	K	0

Stabilite için, tüm ilk yaka elementleri olumlu olmalıdır: 1 > 0, 7 > 0, (K-70) 0, K > 0, K > 70 ve K > 0, o yüzden K > 70. daha düşük sınır K > 70 dirsek, alt satır s[Dönder:0)[Düzüğün sıfır olduğu gibi, bu da dışsal bir yanıt için özel bir durum anlamına gelir.

Örnekler için transient Response Implications for the Örnek

K sadece 70'in üzerinde, sistem istikrarlı ama baskın kutuplar çok yüksekse, bu özel sistem için Routh serisi daha fazla gecikme ve büyük aşırılık gösterecektir. Uygulamada, çok yüksek K, hareket eden veya gürültüyü artırmak gibi diğer sorunlara neden olabilir, ancak Routh-Hurwitz sadece önemli bir kriteri gösterecektir.

Böylece kriter kritik bilgi verir: istikrar için kazanç aralığı ve istikrarsızlığa yakınlık. İlk yakalayıcı elementleri değerlendirerek, mühendisler marjinal stabiliteden kaçınan marjları ve tasarım kontrolörlerini hesaplayabilirler.

Routh-Hurwitz Criterion'ın Sınırları

Onun gücüne rağmen, Routh-Hurwitz kriteri her kontrol mühendisinin anlaması gereken önemli sınırlamalara sahiptir:

[FONT:0) Yalnızca LTI sistemlerine uygulanabilir: Zaman tasarrufu, doğrusal olmayan sistemler veya örneksiz sistemler için doğrudan kullanılabilir.
[FONT:0) Geçici performansı ölçmek değil: kriter aşırılık, zirve zamanı, zaman veya tam olarak yerleşme zamanı hakkında bilgi verir.Çünkü, kök locus, frekans yanıtı veya zaman alan simülasyonları gereklidir.
[FONT:0) Bilinen bir polinomu ile ilgili olarak; Katallar tam olarak bilinmelidir.In practice, belirsizlikler parametrelerde sağlam stabilite analizi (örneğin Kharitonov’un teoremi kullanarak).
[FONT:0)Becomes çok yüksek sipariş sistemleri için cumbersome:[Döneticileri için Manual hesaplamaları hata-pronedir, ancak yazılım (MATLAB, Python) dizi inşaatı otomatikleştirir.
[FONT:0) Zaman gecikmeleri doğrudan halledemez: Zaman gecikmeleri olan sistemler, transistatif karakteristik denklemlere sahip olabilir - Routh serisi, Padé Nearimations kullanmadan doğrudan uygulanabilir.

Bu sınırlamaların üstesinden gelmek için mühendisler genellikle Routh-Hurwitz kriterini diğer yöntemlerle birlikte kullanırlar. Örneğin, kök locus arsaları nasıl kapalı-loop kutuplarının kazanıldığını gösterir, tam geçici bilgi sağlar. Nyquist kriteri zaman gecikmeleri ve doğrusal olmayanlıkları idare eder.

Tamamlayıcı Araçlar

Routh-Hurwitz kriteri LTI polinomlarının istikrarı için “gerekli ve yeterli”, ancak performans analizi için mühendislere güvenmek:

[FONT=0)Root Locus:[Dönetici:[Dönetici:0) Bir parametre olarak kutupların yörüngelerini bir parametre olarak gösterir (örneğin, kazan) doğrudan oran ve doğal frekansı gösterir.
[FONT:0)Bode Plots ve Nyquist Diagrams:[[Dönetici: 1) Karşılaştırmalı stabilite ve geçici yanıt özellikleri göstergeleridir.
[FONT:0)Adım Yanıt Simülasyonu:[Dönder:0) Belirli bir sistem için gerçek geçici ölçümler (overshoot, zaman) verir.
[FONT=0]State-Space Methods:[Dönetici:[Döneticileri olan) devlet matrisinin özdeğerleri sayısal olarak hesaplanabilir ve Lyapunov'un yöntemi doğrusal olmayan sistemler için stabilite analizi genişletilebilir.

Routh-Hurwitz kriteri bu nedenle tarihsel ve pratik bir tatlı nokta kaplar: tasarım incelemesi sırasında beyaz bir tahta üzerinde yapılacak kadar matematiksel, ancak herhangi bir kontrol mühendisi için önemli bir beceri kalır.

Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç

Routh-Hurwitz kriteri, sistemi parametre değişiklikleri ile ilgili olarak değerlendirmenin açık, tutarlı bir şekilde tanımlanması ve aşırılık veya yerleşme süresi olmadan, temel locus, frekans yanıtı veya simülasyon kullanarak daha derin bir analiz sağlayan temel tarama aracının oluşturulmasıyla ilgili olarak, geçici davranışı doğrudan etkileyen stabilite sınırlarını belirlemenin açık bir yolu sunar.

Routh-Hurwitz kriterinin ustalığı sizi kontrol sisteminin geçici koşullar altında güvenilir davranıp tasarlayamayacağını çabucak değerlendirme yeteneğiyle donatır.Eğer karmaşık bir çok-loop sistemi tasarlayın, Routh serisi güvenilir bir başlangıç noktasıdır.).