Signal Flow Graphs'a Giriş

Karmaşık mühendislik sistemlerinin analizinde - elektrik devreleri, mekanik bağlantı, kontrol sistemleri veya sinyal işleme zincirleri - sık sık lineer denklemlerin büyük setleriyle karşılaşılır.Bu denklemleri elle kenarlar ve hata-proneler kullanarak devreler. SignalGs (SFGs) özellikle de matematiksel kuralları uygulamaktadır - genel olarak düğümler ve yönlendirilen kenarlar ile ilgili ayrımcılığa yol açan bir yaklaşım.Sistemleri temsil ederek devreler ve transfer işlevleri veya kazanımlar olarak temsil eder.

Bu makale sinyal akış grafiğinin temel kavramları üzerinde genişliyor, bir adım adım adımlı inşaat prosedürü ayrıntıları, Mason'un Formula'i iyice açıklıyor ve kontrol teorisi ve devre analizinden örnekler sunuyor.Sonunda, en ⁇ d sistem denklemlerini basitleştirmek için pratik bir araçtasınız.

Signal Flow Graphs nedir?

Bir sinyal akışı grafiği, her düğümün bir sistem değişkeni temsil ettiği ve her yönlendirilen kenar (branch) bir değişkenden diğerine tek yönlü sinyal transferini gösterir.Her kenar, bu yol boyunca geçiş yapan bir kazançla ilişkilendirilir.

Formally, bir SFG tarafından tanımlanır:

  • [FONT:0) Hayır:[Dönder:[Dönder: 1] Gelen sinyalleri özetleyen ve tüm yollara yayınlayan Puanlar.
  • [FONT=0)Edges (Branches):) Oklar, ilişkili bir kazanç elde eden Oklar:2)g))) kuyruktaki sinyal, node ile çarpılır.[D)[DüzD|Düzücüler[Döneticiler)
  • [FONT=0) Kaynak düğümleri:[Dönder: 1) Yalnızca giden kenarlarla (önemli kenarlar) Yoktur.
  • [FONT=0)Sink düğümleri:[Dönder:[Dönderilmiş kenarlar ile Nodes 1) Çıktılar (geçmiş kenarlar).
  • [FONT:0]Mixed düğümler:[Dönder:[Dönder ve giden kenarlara sahip olmayanlar; iç değişkenlere karşılık gelirler.

SFG, altta yatan lineer denklemlerin kompakt bir şekilde toplanmasıdır. Örneğin, denklem \(x 3 = x 1 + b x 2\) elde edilen iki gelen kenar tarafından 1950'lerde Samuel Mason tarafından temsil edilir ve kontrol edilen bir \(x 3\) ve \(x 1\) \(x 2\) \'dan biri \(x 2\) kazanılır.

Signal Flow Graphs Kullanımının Avantajları

SFGs, saf olarak cebirsel veya hatta blok-diagram yaklaşımları üzerinde birkaç somut fayda sağlar:

Kompleks sistemlerde Görsel Clarity

Bir sistem düzinelerce değişken ve bağlantı içeriyorsa, bir sinyal akışı grafiği bir kuşluk görünümüne sahiptir.Çeşler, ileri yollar ve geri bildirimler yolları hemen ortaya çıkmaktadır.Bu açıklık, mühendislere uzun bir denklem setinde saklı olabilecek hataları sağlar.

Mason'un Oyunatik Uygulama

Mason'un Oyun Formula, grafikten, simultane denklemleri yazıp çözmeden genel transfer işlevine doğrudan bir yol veriyor. orta değişkenlerin iptalini otomatikleştiriyor, işaret hatalarının riskini azaltır ve verimliliği artırır.

Algebraic Kompleksi'nin Azaltılması

Orta büyüklükteki sistemlerde bile, naïve altkuru kullanarak girişler için çözüm bu işi yapısal, grafiksel bir prosedüre sürüklenebilir.

Hassasiyet ve İstikrar Analizi

Grafik çizildiğinde, mühendisler, istikrar marjlarını veya parametre varyasyonlarını etkileyen yolları hızlı bir şekilde tanımlayabilirler.Derin kazanımlar doğrudan grafikten hesaplanabilir.

Bilgisayar Simülasyonu Kolay Çeviri

Birçok simülasyon aracı (örneğin, MATLAB/Simulink, SciPy) bir sinyal akış grafiğinin veya SFG'lere bir tane haritanın haritalarını haritalayan diyagramların doğrudan inşasına izin verir. Böylece, SFG teori ve sayısal simülasyon arasındaki bir adım olarak hizmet edebilir.

Adım Adım - Bir Signal Flow Graph-Staj İnşaatı

Bir dizi lineer denklemleri bir SFG'ye dönüştürmek için, bu adımları takip edin:

  1. [FONT:0] Tüm değişkenleri doğruluyor.[[Dönetici:0)[x i=) x i\) her bir \(x j) bir düğüm haline gelir.
  2. [FONT:0]Draw düğümleri.[DDDraw düğümleri[Dönler: 1) Onları mantıksal bir düzende ayarlamak - soldaki girişler, sağdaki çıktılar.
  3. [FONT=0)Ek olarak kullanılan kenarlar.[[Dönemli kenarlar[x i\) için herhangi bir denklem (g i\) elde etmek için bir kenar çizer.
  4. [FONT=0)Assign kazanımlar elde eder.[[DÜT:1] Bunlar sabit olabilir (örneğin, -1, 10) veya karmaşık frekans alanında transfer işlevleri (örneğin, 1/(s+2), K/s).
  5. [FONT:0) tutarlılık için kontrol edin.[DÜDÜT:1] Her bir düğümün temsil ettiği değişkene toplamının ve hiçbir kenarın eksik veya tersine dönmesinden emin olun.

Elde edilen grafik, sistemin dinamiklerini ele alan bir yönlendirilen bir ağdır.Bir kez inşa edildiğinde, Mason'un Formula'i herhangi bir kaynaktan herhangi bir lavaboya kadar genel transfer fonksiyonunu elde etmek için başvurabilirsiniz.

Mason'un Formula Kazandığı: Core Simplification

Mason'un Formula Formula, bir kaynaktan bir lavaboya genel transfer fonksiyonunun verildiği anlamına gelir:

\[ T = \frac{\sum k G k \Delta k}{\Delta} \]

Nerede:

  • [G k\) = kaynağın batması için kaynaktan ileri giden yol.Bir kez daha ziyaret etmeden yönetilen kenarlar.
  • [Delta\)[Delta\)[Delta’nın ] [Delta = 1 - \sum L i L j - \sum L i L i L j L j L k + \cdots \) olarak hesaplanan düğümlerin her ikisinden de geri dönüştüğüne göre, o zaman, her ikisinden de fazla olmayan döngüler (L i\) bir araya gelir.
  • [Delta k\) = \(k\)-düz yolu için, bu ileriye giden tüm düğümleri ve kenarlarını kaldırarak elde edilen ve sonra kalan altgrafın determinantını hesaplamak.

Bu formül oldukça güçlüdür çünkü eş zamanlı denklemleri çözme ihtiyacını ortadan kaldırır. Tek ön koşul, grafiklerden ileri yollar ve döngüler kurma yeteneğidir.

Enumerating Loops and Paths

Formülü uygulamak için:

  1. Tüm yolları kaynaktan lavaboya listeleyin. Toplam yol kazançlarını kaydetmek (yol boyunca kenar kazançlarının ürünü).
  2. Grafikte tüm bireysel döngüler listeleyin. Her döngü için, kazançlarını hesaplayın ( döngünün etrafındaki kazanımlara ürün).
  3. Tüm uçsuz döngülerin setlerini tanımlayın (örneğin, ortak düğümleri olmayan döngüler) Her bir set için ürünlerini \(\sum L i L j\) terimine ekleyin; 3 setleri için, \(\ i L i L i L j L k\) vs.
  4. Her ileriye giden yol için, sadece dokunmayan döngüler bulmak (aynı değişikliği kullanarak) o yoldaki dokunuşlar. (\Delta k\) ancak ileriye giden yol ile düğümleri paylaşmamak için sınırlı.

Sonra sayıları Mason'un formülüne yapıştırın.

Örnek 1: Geri dönüşüm Kontrol Sistemi

Klasik bir birlik-gerileme sistemi ileri bir bitki transfer fonksiyonu ile göz önünde bulundurun \(G(s) ve geri bildirim sensörü \ (H(s)\). Blok diyagramı tanıdık, ancak sinyal akış grafiğini inşa edelim.

  • Nodes: referans girişi \(R\), hata \ (E\), bitki çıktısı \ (C\), ve geri bildirim sinyali \ (F\).
  • Edges: \(R\) to \ (E\) with \ (summing ki: \ (E = R - F\) \ (F\) to \ (E\) to \ (E\) to \ (E\) to \ (C\) \ (C\) \ (\) \ (F\) \ (F\) \ (H(s) kazanmak için bir kenara da ihtiyacımız var.
  • Grafik bir kaynağı vardır \(R\), bir lavabo \ (C\), ve iki karışık düğüm \ (E\) ve \ (F\).

\(R\) \(C\): sadece bir yol - \(R \to E \to C\) \ (G k = 1 \cdot G (s) = G(s) = G(s)

Rings: bir döngü \(E \to C \to F \to E\) kazanarak \ (G(s)H(s) \) (F \ / 1) zaman \(G\) zaman \(G\)) değil, sadece bir döngü var.

Böylece:

  • \(\Delta = 1 - (-G (s)H(s) = 1 + G (s)H(s)\)\)H (s)\)\)H (s)\)\)
  • \(\Delta 1\): İleri yol tek döngüye dokunuyor ( düğümleri paylaşıyorlar \(E\) ve \(C\), bu yüzden hiçbir döngü yoktan sonra kalır. Bu nedenle \(\Delta 1 = 1\).
  • \(T = \frac{G(s) \cdot 1}{1 + G(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)

Bu, bilinen kapalı-loop transfer fonksiyonunu karşılaştırır - tek bir denklemi çözmeden elde edilir.

Örnek 2: TwoLoop Elektrik Devre

İki ağ denklemleri ile karşıt bir devre düşünün, ancak SFG'leri devre dışı bırakmak için de başvurabiliriz. Basit bir ikinci sipariş düşük seviyeli filtre ( RLC devre) ve çıktı gerilimi \ (V o(s) ile ilgili olarak:

\[ V o = \frac{1}{LC s^2 + RC s + 1} V i \]

Bunu devlet değişkenlerini tanıtarak bir SFG ile temsil edebiliriz. Let \(x 1 = V o\) ve \(x 2 = \dot{V} o\) (veya tümleşikler kullanmak) doğrudan SFG'yi diferansiyel denklemden çıkarmak için:

\[ \ddot{V} o + \frac{R}{L} \dot{V} o + \frac{1}{LC} V o = \frac{1}{}{LC}

Set \(x 1 = V o\), \(x 2 = \dot{V} o\).

  • \(\dot{x} 2 = -\frac{R}{L} x 2 - \frac{1} x 1 + \frac{1}{LC} V i\)
  • \(\dot{x} 1 = x 2\)

SFG, bütünlemeleri kullanır: Her tür bir tür integral veya bloka giriş olur, bu değişkenin kendisini döndürür. Laplace domain için, 1/s'i bütünleme olarak ele alıyoruz.

  • Kaynak \(V i\)
  • Edge \(V i \to\) node \(A\) kazan \(\frac{1}{LC}\)
  • Edges from node \(x 1\) and \(x 2\) to node \(A\) with kazançlar \ (-\rak # 1}{LC}\) ve \(-\rak)
  • Node \(A\) bir bütünel (yalnızca 1/s) \(x 2\) üretmek için beslenir.
  • \(x 2\) bir bütünel (yalnızca 1/s) \(x 1\) üretmek için bir bütünel (yalnızca 1/s) beslemektedir.
  • Çıktı \(x 1\).

Şimdi genel transfer fonksiyonunu bul (T = V o / V i\) İleri yollar: sadece bir, \(V i \to A \to (1/s) \to x 2 \to x 1\) Path kazanır: \ (/LC) \cdot (1/s) \cdot (1/s) = 1/(LC s.2)

Rings:

  1. \(x 2\) kenardan geri dönüş \(-\rakt) ve 1/s yolu: = \(-\rak) \/[x 2\) = \/[x 2\) = (=)
  2. \(x 1\) \(-\rak{1}{LC}\) ve iki bütünleme: = \(-\rak: \cdot \kdot \kdot \kdot \k}{1}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}
  3. Bu iki döngü düğümleri paylaşıyor mu? Evet, her ikisi de node \(x 2\) (ilk döngü doğrudan, ikinci via \(x 1 \to\) negatif kazanç elde etmek için \(x 2\) geri dönmek için (x 2\)? aslında dikkatli: döngü 2: \(x 1\) \(A\) (ve) - 1 / \) o zaman dokunaklı dokunmak için (x 2\)

\(\Delta = 1 - (-\rak{R}{L s} - \frac{1}{LC s^2} = 1 + \frac{R}{L s} + s.

\(\Delta 1\): İleri yol her iki döngüye de dokunur (since \(x 2\) ve \(x 1\), bu yüzden hiçbir döngü kalır \(\Delta 1 = 1\).

Böylece:

\[ T = \frac{1/(LC s^2)}{1 + \frac{R}{L s} + \frac{1}{LC s^2}} = \frac{1}{LC s.2 + RC s + 1} s.

Hangi beklenen transfer fonksiyonunu tam olarak karşılaştırır.

Signal Flow Graphs with Block Diagrams

Blok diyagramları, kontrol mühendisliğindeki en yaygın grafik aracıdır. Ancak sinyal akış grafiklerinin birkaç avantajı vardır:

  • [FONT:0) Hiçbir özetleme eğrileri gerekli değildir:[Dönetici: 1) Bir SFG'de, gelen tüm gelen sinyalleri doğal olarak özetle. Blok diyagramları açık bloklar gerektirir.
  • [FONT:0)Compactness:[Dönetici:[Dönetici:0)[[0)[[0]Compactness:[[Dönetici:[Dönetici: · 8)[[Dönetici:0)[[Dönetici:0)[[FONT=0))[[[FONT=0))))[[[[[FONT=FONT=FONT=FONT=0))))))))))[[[[[[değiştir | kaynağı değiştir]
  • [FONT:0)Algebraic basitliği:[Dönetici:[Dönetici:0)[Döneticileri) için doğrudan SFG'lere uygulanır. Bloklar kuralları kullanarak da azaltılabilir (seçmişleri, para toplama blokları), ancak süreç daha fazla kural tabanlı ve daha az sistematik olabilir.
  • [FONT=0) Grafik teorisi aracı kutusu:[Dönetici:0) SFG'ler grafik teorisinden algoritmaları (topik türleme, ağaç analizi gibi) otomatik olarak devre dışı bırakmak için.SeksG'ler Netlistlerden inşa eden birkaç hesaplama aracı var.

Bununla birlikte, blok diyagramları birçok uygulayıcı için sezgisel olarak kalır. Seçim genellikle sistemin kişisel tercihine ve karmaşıklığına bağlıdır. Sistem için sadece birkaç döngü ile, iki yöntem kabaca eşdeğerdir.

Gelişmiş düşünceler ve Pitfalls

Çoklu girişleri ve Çıktıları

Mason'un formülü herhangi bir kaynak ve lavaboya uygulanabilir. Birden fazla giriş için, süperpozisyon ilkesi uygulanır: toplam çıktı her kaynaktan gelen katkı miktarıdır, her bir işlem formülü aracılığıyla hesaplanır. Birden fazla çıktı için, ayrı transfer işlevleri.

Nonlinear ve Time-variant Systems

Standart sinyal akış grafiği lineer, zaman değişkenli (LTI) sistemler varsayılır. doğrusal olmayan veya zaman zaman alıcı sistemler için, biri bir işletim noktası etrafında lineer veya daha gelişmiş teknikler kullanarak, sinyal akışı kavramı doğrusallaştırılmış küçük imza modelleri için uzatılabilir.

Sayısal Hassasiyet

Çok büyük bir grafikte döngüler ne zaman (birkaç düğümler için), sistemdeki alt sistemlere dönüştüğü zaman, bilgisayarlar enumerasyonla çalışır, ancak el analizi için, yaklaşık 10 döngüden fazla bir grafik, bu tür durumlarda, hiyerarşik dekompozisyon (sistemlere geçiş) önerilir.

Yaygın Hatalar

  • Kendi kendine ait olmayan bir noktadan sonra (kendisine) izin verilir ve \(x = x + \ldots\) gibi bir yem terimini temsil eder.
  • Tek bir düğümün bile dokunulması gereken iki döngü, ürününe dokunulması ve ürününe dokunulması gerekir.(Delta'nın yüksek sipariş koşullarını)
  • Diren kazanımlar işareti: negatif bir kazanç içeren bir döngü (örneğin, bir çıkarmadan) \(\sum L i\) için negatif bir terim katkıda bulunur.

Mastering Signal Flow Graphs için Pratik İpuçları

  1. [FONT=0] Basit devrelerle pratik olarak kullanılabilir.[Dönetici:0) Birkaç operasyonel yükselteç veya SFG'lere geçiş devreleri ve Mason formülü kullanarak transfer işlevini doğrulayın.]ENGT:2.MIT Open ⁇ Ware – Feedback Systems).
  2. [FONT:0] Kontrol sistemi örnekleri aracılığıyla işlenir.[DÜDÜT:1] Standart geri bildirim topolojileri (birinci geri bildirim, cascade, paralel) ile başlayın ve sonra iki derece ücretsiz kontrolörü gibi multi-loop sistemlere taşınır.]
  3. [FONT:0] Yazılımları doğrulayacak şekilde kullanabilir.[Dönetici:2)SymPy[DÜDÜ:3) (Python sembolik kütüphane) Masonun grafikleri için formüle edebilir.
  4. [FONT:0) Orijinal kağıtları okuyun.[[DÜDÜT 1:0] Samuel Mason'un 1953 ve 1956 kağıtları arapçanın arkasında olabilir, ancak birçok üniversite hala oldukça okunabilir.
  5. [FONT:0]Başkalarını ([Döneticileri) açıklayınız.[Döneticileri) kendi anlayışınızı organize etmek için bir meslektaşınıza veya öğrenci kuvvetlerini açıklayın.

Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç Sonuç

Signal akış grafikleri, genellikle sistem denklemlerinin cebini görsel, sezgisel bir ağ haline getirir ve alt temel boşlukları aynaya dönüştürür ve sonra Mason'un Oyun Formula'i uygular, mühendisler verimlilik ve güven ile transfer işlevlerini elde edebilir. Yöntem bir bakışta cebirsel drudgery azaltır ve döngü yapısını ortaya koyar ve problem bildiriminden çözüm için sistematik, hataya dayanıklı bir yol sunar.

Bir kontrol sistemi analiz ettiğinizde, analog bir filtre, mekanik bir titreşim sistemi veya biyokimyasal bir ağ, sinyal akışı grafiği yaklaşımı, modern hesaplama araçları ile birlikte, dünya çapında gelişmiş mühendislik curricula'da öğretilen bir temel teknik olarak kalır.