وتمثِّل شركة Z-transform إحدى أهم الأدوات الرياضية في مجال تجهيز الإشارات الرقمية، حيث توفر جسرا بين تسلسلات التسلسل المتباين والتمثيلات المعقدة في مجال الترددات، وتُسَوِّل التسلسلات إلى وظائف تحليلية لمتغير معقد، وتُمكِّن شركة Z-transform المهندسين والباحثين من تحليل استقرار النظام، وتصميم مرشحات رقمية، وحلّ المعادلة التناثرية، وتُخصيّم.

ما هو زي ترانزيم؟

The Z-transform of a discrete-time signal x[n], defined for integer n, is given by the infinite series

X(z) = المجموع n = ⁇ ] x[n] z n[،

[FLT:]z[FLT:] is a complex changing. This definition corresponds to the

Bilateral vs. Unilateral Z-Transform

ويستخدم النموذج الثنائي في الإشارات غير المسببة أو ذات الجانبين، في حين يفضل الشكل الانفرادي عند التعامل مع النظم السببية حيث تكون الإشارة صفراً بالنسبة n < 0.

Xu(z) = / n = 0]]] x[n] z -

وفيما يتعلق بالتسلسلات السببية، فإن التحولات الثنائية والأحادية الجانب متطابقة لأن x[n] = 0] بالنسبة n < 0]، غير أن الصيغة الانفرادية تبسط التعامل مع الظروف الأولية في معادلة مختلفة، مما يجعلها لا غنى عنها لنظم تصميم التصفية والسيطرة.

Properties of the Z-Transform

وتسدّس شركة Z-transform عدداً من الخصائص الهامة التي تبسط إلى حد كبير تحليل نظام الأفضليات المعمم، وتأتي هذه الممتلكات مباشرة من خط التلخيص، وهي تعكس العديد من خصائص نظام لابست للتحول إلى نظم دائمة، ويسمح فهم هذه الممتلكات للمهندسين بالتلاعب بالإشارة والنظم بكفاءة دون أن يلخصوا بوضوح سلسلة لا نهائية.

الصف

X1(z) وX2(z)

a x1[n] + b x2[n][ ⁇ a X(1)(z)

The region of convergence (ROC) is at least the intersection of the individual ROCs.

التوقيت

Shifting a sequence in time corresponds to multiplication by a power of z]:

x[n − k]] ⁇ z−k X(z)],

([FLT:]z = 0) أو = ⁇ حسب اتجاه التحول.

Scaling in the Z-Domain

Multiplication by an (exponential weighting) scales the complex changing:

an x[n][[] ⁇ X(z / a)]].

The ROC scales accordingly: if the original ROC is ]R], then the new ROC is ] ⁇ R.

عكس مسار الزمن

x[-n]] x [FLT:] [FL:]

الثورة

ربما تكون أهم الممتلكات عملياً: تطويعها في الوقت المناسب يساوي مضاعفة في الـ Z-domain.() أما بالنسبة لنظم العلم والتكنولوجيا والابتكار، فإن الناتج [(FLT:0]y[n] هو تفويض المدخلات x[n][ مع رد الازدحام ([n]

y[n] = x[n] ⁇ h[n] ⁇ Y(z) = X(z) H(z).

The ROC of Y(z)] is at least the intersection of the ROCs of ]X(z) and H(z). This property makes the Z-transform invaluable for deriving system transfer functions.

التفريق في منطقة Z-Domain

n x[n] ⁇ −z dX(z) / dz]. This is useful for finding transforms of sequences like n an u.

النظرية الأولية للقيمة

For causal sequences, the initial value x[0] can be obtained directly from ]X(z):

x[0] = lim]z ⁇ X(z)].

النظرية النهائية للقيمة

إذا كان الحد موجود وشركة ROC تضم الدائرة، ثم

x[ ⁇ ] = lim]z ⁇ 1] (z − 1) X(z)].

The Region of Convergence (ROC)

region of convergence is the set of complex z for which the Z-transform summation converges absolutely. The ROC is not optional - It is an integral part of the transform definition. two different sequences can yield the same algebraic expression for [FXLT:4]

General ROC Properties

  • [FLT:]-plane centered at the origin: rz[FLT:]-planed at the origin: r -
  • The ROC cannot contain any poles of X(z), because the transform diverges at poles.
  • If the sequence is finite-length], the ROC is the entire z-plane except possibly z = 0 and/or z= ⁇ [FLT:
  • If the sequence is right-sided] (nonzero only for n NA), the ROC is outside the outermost pole: ⁇ z ⁇ > r]max
  • If the sequence is left-sided] (nonzero only for ]n /]), the ROC is inside the innermost pole: ⁇ z < rmin
  • If the sequence is ]two-sided], the ROC is a ring between two poles.

ROC and System Stability

A discrete-time system is BIBO stable] if its impulse response is absolutely summable. In the Z-domain, this condition translates to the ROC of the system transfer function ]H(z) including the unit relative locations (

ROC and Causality

A system is causal if the impulse response h[n]] is zero for n < 0. For a rational transfer function, causality corresponds to the ROC being outside the outermost pole and including F

تطبيقات تجهيز الإشارات الرقمية

إن الز-النقل يمتد إلى كل منطقة تقريباً من مناطق نظام إدارة الدعم، ونورد تفاصيل عن أدواره المركزية.

تصميم الأفلام الرقمية

Digital filters-both finite impulse response (FIR) and infinite impulse response (IIR) - are designed by specifying their transfer function H(z). The Z-transform allows engineers to translate filter specifications (passband pople, stopband attenuation, cutoff frequencies)

H(z) = (1 − 0.9)/ (1 − 0.9 z]−1]).

وتستمد المعامل من تطابق الردود المستحبة على الترددات عن طريق أسلوب التحول الثنائي أو الدافع إلى التخدير، كما تستخدم أدوات تصميم المرشّح التجاري (مثلاً، MATLAB، Octave) التمثيلات الزمبابوية داخلياً، وللاطلاع على دروس متعمقة، انظر Julius O. Smith's Introduction to Digital Filters.]

Pole-Zero Placement

وتخلق القوارب القريبة من دائرة الوحدة صدمات (الرد على حجمها)، بينما تخلق الصفرات بالقرب من دائرة الوحدة بؤرة (الديبس)، ويضع المهندسون في وضع استراتيجي الأعمدة والأصفار لتشكيل الاستجابة للتواتر، مثلا، يمكن تنفيذ مرشحة من طراز لاش لإزالة 60 هز، بزوج من الصفرات المعقدة على دائرة الوحدة في الترددات المستقرة المقابلة، وزوج من القطبين داخل الدائرة لتثبات.

تحليل استقرار النظام

نظراً لوظيفة نقل النظام (مثلاً، من معادلة أو مخططات مُحدّدة) (يُحسب على أعمدة ((((((((((H)))))([(FLT:1]))) (و(الرمز))) هو نظام الإستقرار الرئيسي، في نظم التحكم، (ز-تي) يستخدم لتحليل نظم البيانات المُعينة، حيث تكون حالة الاستقرار هي أن جميع الأعمدة تكمن في دائرة التحكم

تسوية معادلة الفرق

(ب) أن تكون معادلات الفرق غير الفعالة من حيث خطي والتي تصف نظم العلم والتكنولوجيا والابتكار معادلة من الناحية الهجائية في منطقة Z-domain.

y[n] = k=0M bk x[n−k]

أخذ الغلة من طراز Z-transform (استعمال ممتلكات النفقة الزمنية)

Y(z) = (مجموع )=0M bk

ومن هذا المنطلق، فإن وظيفة النقل H(z) = Y(z)/X(z)] تتبع مباشرة، والأعمدة والأصفاد ]H(z)]] ثم توصف سلوك النظام، وهذا النهج الأبجدي أبسط بكثير من حل نظم المعادلة العالية، وخاصة بالنسبة للنظم.

تحليل الاستجابة لحالات الطوارئ

The frequency response of an LTI system is obtained by evaluating H(z) on the unit cycle: H(ejgraph )[FLTversion:5].

تحليل الإشارات وتصنيعها

وفيما وراء الرش، يساعد التحول الزائيري على تحليل الإشارات نفسها، فعلى سبيل المثال، فإن تحويل سلسلة من النوافذ الزعنفة مثل وظيفة النافذة (هامينج، هان) يكشف عن خصائص التسرب من الطيف، وتشير شركة ROC إلى ما إذا كانت الإشارة هي السببية، والطاقة المحدودة، وما إلى ذلك.

"الضبابية الضئيلة"

استعادة تسلسل زمني ثابت من موقعها Z-transform و ROC هو عكس Z-transform، وتوجد عدة طرق تناسب كل منها السياقات المختلفة.

التوسع الجزئي

For rational functions (most common in DSP), one expands X(z)] into a sum of simpler terms whose inverse transforms are known from standard tables.

[FLT:]X(z)=(z)(z)[FLT:]

توسيع نطاق الطاقة (شعبة اللغات)

([FLT:])(z)([FLT:]) كسلسلة من القوى في z -1 (أو z)

التكامل

صيغة التحويل الرسمي هي

x[n] = (1 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

(أ) يُقيَّم هذا الأمر عملياً باستخدام نظرية البقايا: [(FLT:0]x[n] = إجمالي (residues of X(z) zn -1 في القطبين داخل المجمع الدقيق [يُستخدم تصميم مُحدَّد في جميع الحالات].

مقارنة مع التحولات الأخرى

فهم علاقة (زي-تيفورم) مع (لاب) التحول و (فوريير) المختلف يعمّق حدسك

  • Laplace Transform:] The Laplace transforms on continuous-time signals. The Z-transform can be seen as a sampled version of the Laplace transform via the mapping z = esT
  • DTFT:] The DTFT is the Z-transform evaluated on the unit cycle (]z = ej]]) It exists only if the ROC includes the unit manbraform systems provides a broader framework,

لمزيد من القراءة، استشارة [Wikipedia's Z-transform article و ] Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing ] by Steven W. Smith.

خاتمة

إن نظام " Z-transform " أداة لا غنى عنها لدعم عملية تجهيز الإشارات الرقمية الحديثة، ومن تصميم مرشحات سمعية عالية الجودة وتحليل نظم مراقبة التغذية المرتدة إلى حل معادلة الاختلاف وتقييم استقرار النظام، فإن تطبيقاته واسعة وناقدة، ولا يزال إدراكا قويا للقاعدة الأساسية للزدحام، وممتلكاتها، وشركة ROC، وتقنيات التحويل، يمكِّن المهندسين من العمل بثقة في مجال التفكك.