Το κριτήριο Ρουθ-Χουρβίτζ είναι μια μαθηματική μέθοδος που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της σταθερότητας ενός γραμμικού συστήματος μεταβλητού χρόνου. Περιλαμβάνει ανάλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης του συστήματος για να εκτιμηθεί αν όλες οι ρίζες έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη.

Κατανόηση του κριτηρίου Routh-Hurwitz

Το κριτήριο Ρουθ-Χουρβίτζ χρησιμοποιεί τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου για την κατασκευή μιας συστοιχίας Ρουθ. Η σταθερότητα του συστήματος εξαρτάται από τα σημάδια της πρώτης στήλης αυτής της συστοιχίας. Αν όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης είναι θετικά, το σύστημα είναι σταθερό. Οποιαδήποτε αλλαγή σημείου υποδεικνύει την παρουσία ριζών με θετικά πραγματικά μέρη, οδηγώντας σε αστάθεια.

Κατασκευή της διάταξης Ruth

Για να χτίσετε τη συστοιχία Ρουθ, ακολουθήστε τα εξής βήματα:

  • Γράψτε τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου στις δύο πρώτες σειρές.
  • Υπολογίστε τις υπόλοιπες σειρές χρησιμοποιώντας καθοριστικούς παράγοντες με βάση τις παραπάνω σειρές.
  • Αναλύστε την πρώτη στήλη για αλλαγές στο σήμα.

Πρακτικό Παράδειγμα

Εξετάστε τη χαρακτηριστική εξίσωση: s^3 + 2s^2 + 3s + 4 = 0. Κατασκευάστε τη συστοιχία Ρουθ:

Πρώτη σειρά: 1, 3

Δεύτερη σειρά: 2, 4

Οι υπόλοιπες σειρές υπολογίζονται ως εξής:

Σειρά 3: (2*3 - 1*4)/2 = (6 - 4)/2 = 1

Σειρά 4: 4 (αντίγραφο του τελευταίου συντελεστή)

Η πρώτη στήλη είναι: 1, 2, 1, 4. Δεδομένου ότι όλοι είναι θετικοί, το σύστημα είναι σταθερό.