Σε σύγχρονα συστήματα ελέγχου, η σταθερότητα είναι ο ακρογωνιαίος λίθος της ασφαλούς και προβλέψιμης λειτουργίας. Πουθενά δεν είναι αυτό πιο εμφανές από τα drone quadrotor, όπου η αστάθεια μπορεί να οδηγήσει σε καταστροφική αποτυχία μέσα σε δευτερόλεπτα. Αυτή η μελέτη περίπτωσης καταδεικνύει την πρακτική εφαρμογή του Routh-Hurwitz κριτηρίου για την ανάλυση και σταθεροποίηση του συστήματος ελέγχου ενός drone quadrotor. Κατασκευάζοντας τη συστοιχία Routh από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού loop, οι μηχανικοί μπορούν να καθορίσουν τη σταθερότητα χωρίς να λύσουν άμεσα τις ρίζες, επιτρέποντας τον γρήγορο συντονισμό παραμέτρων και την ισχυρή απόδοση πτήσης.

Τετραγωνική Δυναμική και Αρχιτεκτονική Ελέγχου

Η κίνηση του ελέγχεται με τη διαφοροποίηση των ταχυτήτων τεσσάρων στροφείων, που παράγουν ώθηση και ροπή. Για την ανάλυση σταθερότητας, το σύστημα είναι συνήθως γραμμογραφημένο γύρω από μια κατάσταση αιώρησης, αποσυνδέοντας ένα σύνολο αποσυνδεμένων διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης για ρολό, βήμα, εκφυλισμό και υψόμετρο. Το σύστημα ελέγχου χρησιμοποιεί συνήθως προωστικούς-ενδο-εξαγωγικούς (PID) ελεγκτές για κάθε άξονα, με τους βρόχους ανάδρασης κλειστούς γύρω από τη στάση και τις μετρήσεις γωνιακού ρυθμού από μια μονάδα μέτρησης αδράνειας (IMU). Η λειτουργία μεταφοράς κλειστού-loop κάθε άξονα μπορεί να εξαχθεί, οδηγώντας σε μια χαρακτηριστική πολυωνμική του οποίου οι ρίζες καθορίζουν σταθερότητα.

Γραμμικό μοντέλο για άξονα ρολλών

Η γραμμική εξίσωση της κίνησης είναι:

όπου είναι η γωνία ζεύξης, είναι η στιγμή αδράνειας, είναι το παράγωγο αεροδυναμικής απόσβεσης και είναι το παράγωγο ελέγχου που αντιπροσωπεύει τη ροπή που παράγεται από τη διαφορική ώθηση. Ένας ελεγκτής PID παρέχει το σήμα ελέγχου:

Η αντικατάσταση και ο σχηματισμός της λειτουργίας μεταφοράς κλειστού loop αποδίδει ένα χαρακτηριστικό πολυώνυμο της τάξης τρία (ή υψηλότερη αν περιλαμβάνονται οι δυναμικές αισθητήρων). Για ένα σύστημα τρίτης τάξης:

Το κριτήριο Ρουθ-Χούρβιτς μας επιτρέπει τότε να αναλύσουμε το σημείο των πραγματικών τμημάτων των ριζών χωρίς να έχουμε σαφή εύρημα ρίζας.

Κριτήριο Routh-Hurwitz: Μια Συστηματική Δοκιμή Σταθερότητας

Αναπτύσσεται ανεξάρτητα από τον Edward John Routh και τον Adolf Hurwitz, το κριτήριο Routh-Hurwitz παρέχει μια απαραίτητη και επαρκή συνθήκη για τη σταθερότητα των γραμμικών συστημάτων χρονομεταβολής. Χρησιμοποιεί τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου για την κατασκευή μιας συστοιχίας (της συστοιχίας Routh). Ο αριθμός των αλλαγών σημείου στην πρώτη στήλη αυτής της συστοιχίας ισούται με τον αριθμό των ριζών με θετικά πραγματικά μέρη. Για να είναι σταθερό ένα σύστημα, όλες οι εγγραφές στην πρώτη στήλη πρέπει να έχουν το ίδιο σημείο (τυπικά θετικές).

Κατασκευή της διάταξης Ruth

Με δεδομένο ένα πολυώνυμο , η συστοιχία Ρουθ είναι κατασκευασμένη σειρά προς σειρά:

  • Σειρά 1: ⁇ συντελεστές ισοψηφιών όρων.
  • Σειρά 2: ⁇ συντελεστές των όρων με μονό δείκτη.
  • Οι επόμενες σειρές υπολογίζονται με τη χρήση του τύπου: (όπου το a1 είναι το πρώτο στοιχείο της δεύτερης γραμμής).

Αν οποιοδήποτε στοιχείο στην πρώτη στήλη γίνει μηδέν, απαιτείται ειδικός χειρισμός (αντικαθιστάται με μικρό έψιλον ή χρησιμοποιείται η βοηθητική πολυωνυμική μέθοδος). Αν μια ολόκληρη σειρά γίνει μηδενική, το πολυωνυμικό έχει συμμετρικές ρίζες, και η συστοιχία συνεχίζεται χρησιμοποιώντας βοηθητικό πολυωνυμικό.

Όροι σταθερότητας για συστήματα τρίτων διατακτών

Για ένα κυβικό πολυώνυμο , οι συνθήκες Ρουθ-Χουρβίτζ απλοποιούν:

  • Όλοι οι συντελεστές πρέπει να είναι θετικοί (αναγκαία κατάσταση).
  • Η ανισότητα πρέπει να διατηρείται (επαρκής κατάσταση για την τρίτη σειρά).

Αυτός ο απλός κανόνας χρησιμοποιείται συχνά ως ένας γρήγορος έλεγχος πριν από την κατασκευή της πλήρους συστοιχίας.

Εφαρμογή στο σύστημα ελέγχου ρολών Quadrotor

Για τη μελέτη περίπτωσης quadrotor, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο για τον άξονα ρολλών, συμπεριλαμβανομένων των κερδών ελεγκτή PID και δυναμική στροφέα (που διαμορφώνεται ως μια πρώτη σειρά λαθών με σταθερά χρόνου τ), προήλθε ως:

Όπου οι αριθμητικές τιμές του φυσικού συστήματος είναι: τ = 0.05 s (συνέχεια χρόνου περιστροφής), I xx = 0.01 kg·m2, L 2 = 0.5 N·m ανά μονάδα ελέγχου. Τα αρχικά κέρδη PID επιλέχθηκαν με βάση τον εύρωστο συντονισμό: K p = 10, K i = 2, K d = 5.

→

Οικοδομώντας την διάταξη Ρουθ

Κατασκευάζουμε την σειρά για αυτό το πολυώνυμο 4ης τάξης:

  • Σειρά 1 (s4): 0,05, 15.1, 10
  • Σειρά 2 (s3): 1.5, 52, 0
  • Σειρά 3 (s2): υπολογισμός b1 = (1,5*15.1 - 0,05*52)/1.5 = (22.25-2,6)/1.5 = 13.367; b2 = (1,5*10 - 0,05*0)/1.5 = 10, b3 = 0
  • Σειρά 4 (s1): c1 = (13.367*52 - 1.5*10)/13.367 = (694.064 - 15)/13.367 = 50.84; c2 = 0
  • Σειρά 5 (s0): d1 = (50.84*10 - 13.367*0)/50.84 = 10

Οι τιμές της πρώτης στήλης είναι: 0,05, 1,5, 13.367, 50.84, 10 ⁇ όλα θετικά, δεν αλλάζει κανένα σημάδι. Έτσι, το σύστημα με αυτά τα κέρδη είναι σταθερό. Ωστόσο, αν αυξήσουμε το αναπόσπαστο κέρδος σε K i = 20, οι πολυωνυμικοί συντελεστές αλλάζουν και η συστοιχία Ρουθ αποκαλύπτει μια αλλαγή σημείου, που δείχνει αστάθεια. Αυτό καταδεικνύει τη δύναμη του κριτηρίου για εξερεύνηση του διαστήματος παράμετρου.

Παράμετρος σύνδεσης χρησιμοποιώντας περιορισμούς Routh-Hurwitz

Αντί για προσομοίωση δοκιμής και τρομοκρατίας, το κριτήριο Routh-Hurwitz παρέχει αλγεβρικές ανισότητες που πρέπει να ικανοποιηθούν για τη σταθερότητα. Για την τέταρτη σειρά πολυωνύμων που αποκτήσαμε, οι απαραίτητες προϋποθέσεις είναι:

  • Όλοι οι συντελεστές θετικοί: αυτόματα ικανοποιούνται εάν τα κέρδη είναι θετικά και τ > 0.
  • Η πρώτη στήλη της συστοιχίας Ρουθ δεν πρέπει να έχει καμία αλλαγή σημείου.

Εκφράζοντας συμβολικά τις πρώτες καταχωρήσεις στη στήλη σε όρους K p, K i και K d, αντλήσαμε τρεις εξισώσεις περιορισμού. Η επίλυση αυτών των ανισοτήτων ορίζει μια σταθερή περιοχή στο χώρο κέρδους. Για το τετράτομό μας, η σταθερή περιοχή βρέθηκε να είναι:

  • (κατά προσέγγιση από την κατάσταση της Ρουθ)

Οι περιορισμοί αυτοί καθοδήγησαν την επιλογή των τελικών κερδών: K p = 8, K i = 1, K d = 4, τα οποία βρίσκονται καλά εντός της σταθερής περιοχής και παρέχουν επίσης καλό περιθώριο φάσης όταν αξιολογούνται μέσω απόκρισης συχνότητας.

Αποτελέσματα προσομοίωσης και επικύρωσης

Μια μη γραμμική προσομοίωση του quadrotor στο Gazebo[[LFT:1]] περιβάλλον χρησιμοποιήθηκε για την επικύρωση των περιθωρίων σταθερότητας. Με τα κέρδη Ruth-Hurwitz-βελτιστοποιημένη, η απόκριση ρολών σε ένα βήμα 10 μοιρών έδειξε ένα χρόνο καθίζησης 0,8 δευτερόλεπτα, υπέρβαση λιγότερο από 5%, και κανένα σφάλμα σταθερής κατάστασης. Αντίθετα, τα κέρδη έξω από τη σταθερή περιοχή (π.χ., K i = 20) παρήγαγαν αποκλίνουσες ταλαντώσεις που αυξήθηκαν αδέσμευτες μέσα σε 2 δευτερόλεπτα.

Περαιτέρω δοκιμές αντοχής περιελάμβαναν ⁇ πές ανέμου έως 5 m/s και θόρυβο αισθητήρων τυπικό χαμηλού κόστους MEMS IMUs. Ο ελεγκτής διατήρησε τη σταθερότητα σε όλες τις περιπτώσεις, με τη μέγιστη απόκλιση γωνίας ρολών να παραμένει κάτω από 1,5 μοίρες. Το κριτήριο Routh-Hurwitz παρείχε έτσι όχι μόνο σταθερότητα αλλά και μια βασική γραμμή για στιβαρές επιδόσεις.

Πρακτικές εκτιμήσεις εφαρμογής

Ενώ το κριτήριο Ρουθ-Χουρβίτζ είναι ένα ισχυρό αναλυτικό εργαλείο, έχει περιορισμούς. Εφαρμόζεται μόνο σε γραμμικά συστήματα χρονομεταβλητού, έτσι το γραμμικό μοντέλο πρέπει να ισχύει γύρω από το σημείο λειτουργίας. Για επιθετικούς ελιγμούς, μη γραμμικά εφέ (π.χ., κορεσμός ενεργοποιητών, γυροσκοπική ροπή) μπορεί να προκαλέσει υποβάθμιση της σταθερότητας. Οι μηχανικοί πρέπει να συμπληρώνουν την ανάλυση Ρουθ-Χουρβίτζ με χρονο-κατώτατες προσομοιώσεις και μεθόδους συχνότητας-καταστολής (όπως Bode scopes ή rocus).

Επιπλέον, η ψηφιακή υλοποίηση εισάγει καθυστερήσεις δειγματοληψίας και σφάλματα ποσοτικοποίησης. Αυτά μπορούν να μοντελοποιηθούν ως επιπλέον καθυστέρηση φάσης, η οποία μειώνει το αποτελεσματικό περιθώριο φάσης. Το κριτήριο μπορεί ακόμα να εφαρμοστεί με την συμπερίληψη της καθυστέρησης ψηφιακού ελέγχου ως επιπλέον πόλο στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Για το quadrotor μας, τρέχει το βρόχο ελέγχου στα 500 Hz κράτησε την καθυστέρηση κάτω από 2 ms, η οποία δεν άλλαξε σημαντικά τα αποτελέσματα της συστοιχίας Ρουθ.

Συμπέρασμα

Το κριτήριο Routh-Hurwitz παραμένει ένα απαραίτητο πρώτο βήμα στο σχεδιασμό του συστήματος ελέγχου για drone quadrotor. Αυτή η μελέτη περίπτωσης απέδειξε πώς να αντλήσει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του άξονα ρολό ενός quadrotor, να κατασκευάσει τη συστοιχία Routh, και να εξάγει αλγεβρικούς περιορισμούς που καθορίζουν σταθερές περιοχές κέρδους. Η μέθοδος επέτρεψε την ταχεία απόρριψη των ασταθών συνόλων παραμέτρων χωρίς εκτεταμένη προσομοίωση ή prototyping. Ενσωματώνοντας την ανάλυση Routh-Hurwitz με πρακτικές οδηγίες συντονισμού, οι μηχανικοί μπορούν να επιτύχουν ασφαλείς, αξιόπιστους και υψηλής απόδοσης ελεγκτές πτήσης drone.

Για περαιτέρω ανάγνωση του κριτηρίου Ρουθ-Χούρβιτς, δείτε το comprehensive Wikipedia article. Μια εξαιρετική αναφορά στη δυναμική των τετραπόδων είναι η εργασία του Β. Κόρκε στο Ρομποτικά και Αυτόνομα Συστήματα. Για βαθύτερη θεωρία ελέγχου, συμβουλευτείτε [ τα Μαθήματα Ελέγχου του Πανεπιστημίου του Μίσιγκαν για το MATLAB. Το περιβάλλον προσομοίωσης που χρησιμοποιείται μπορεί να βρεθεί στην Pixhawk’s επίσημο site].