مقدمه مقدماتی

معیار روث-هاورویتز یکی از پایدارترین ابزارهای تحلیلی در تئوری کنترل است، ارائه یک روش مستقیم جبری برای ارزیابی ثبات سیستم های زمان خطی (LTI) از زمان توسعه مستقل آن توسط ادوارد روث در 1877 و آدولف هرویتز در دهه 1890، معیار از یک تکنیک محاسبه دستی به یک تجزیه و تحلیل مدرن محاسباتی که روند کنترل آن را ادامه می دهد، تکامل یافته است.

منشأ های Criterion

نیاز به یک آزمون ثبات سیستماتیک در طول صنعتی شدن سریع قرن نوزدهم، زمانی که مهندسان در حال طراحی سیستم های مکانیکی به طور فزاینده پیچیده مانند موتورهای بخار، فرمانداران و وسایل نقلیه راه آهن بودند. ادوارد روث، ریاضیدان بریتانیایی، آرایه ثبات خود را در سال 1877 به عنوان یک روش عملی برای تعیین اینکه آیا تمام ریشه های یک ⁇ دارای قطعات واقعی منفی هستند - شرایط لازم برای یک سیستم آزمایشی مستقل، با استفاده از یک زمینه ریاضی دان آلمانی، یک محیط زیست، که قبلاً مشابه در سال 1895 ساخته شده است.

روش کلاسیک Routh-Hurwitz Method

در این میان، روش های کلاسیک نیاز به ساخت یک آرایه (FLT) دارند.[۱۰] [۱] [۱۰] [۳] [۱] [۱۰] [۱۰] [۱] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰]

  • [[ویرایش] [۱] [۱۰] [۱] [۱۰] [۱] [۲] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۳] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۳] [۳] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۱۰] [۱۰] [۳] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۳] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۱۰] [۱۰] [۳] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۱۰] [۳] [۱۰] [۱۰]
  • [[ویرایش] [۱] [۱۰] [۱۰] [۱] [۱۰] [۱] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۲] [۲] [۱۰] [۳] [۳] [۱۰] [۳] [۳] [۲] [۳] [۳] [۳] [۲] [۲] [۳] [۲] [۳] [۲] [۲] [۳] [۳] [۲] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۳] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۱۰] [۳] [۳] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۳] [۱۰] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۱۰]

تعداد تغییرات علامت در ستون اول آرایه برابر با تعداد ریشه ها با قطعات مثبت واقعی است.یک سیستم تنها در صورتی پایدار است که هیچ تغییر نشانه ای وجود نداشته باشد و اولین شاخص های ستونی همه غیر صفر هستند.این روش ظریف به مهندسان اجازه می دهد تا بدون حل کردن ثبات، یک مزیت مهم قبل از عصر محاسبات دیجیتال.

محدودیت های درخواست دستی

در حالی که به صورت مفهومی ساده است، ساخت دستی آرایه روث، ثابت کننده خطا است و برای اصلاح سفارش 5 یا بالاتر غیر عملی می شود، موارد ویژه مانند صفر در ستون اول یا کل ردیف صفر، نیاز به کنترل اضافی دارد - مانند جایگزینی صفر با یک psilon کوچک یا استفاده از یک کمکی.

بنیادهای ریاضی: ماتریکس هورویتس

[در این میان] [[[[ویرایش]] [[[[ویرایش]]] [[[ویرایش]]] [[[ویرایش]] [[۲]]]] [۲]] [۳] [۳] [۳]] [۲]] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۲] [۱۰] [۱۰] [۱۰] [۲] [۲] [۲] [۱۰] [۳] [۳] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۳] [۲] [۲] [۲] [۳] [۲] [۲] [۲] [۲] [۲]

پیشرفت های محاسباتی و اتوماسیون

کامپیوتر دیجیتال استفاده از معیار روث-هاورویتز را انقلابی کرد.[۵] در دهه های ۱۹۶۰ و ۱۹۷۰، محققان الگوریتم هایی را برای ساخت آرایه روث، رسیدگی به موارد خاص و محاسبه عوامل تعیین کننده هورویتس در کتابخانه های عددی اولیه و سپس یکپارچه به نرم افزار مهندسی مانند MATLAB، که شامل (FLT:0rloc) می شود، و [F:۱] برای تجزیه و تحلیل یک سیستم واحد می تواند به عنوان یک سیستم مدیریت واحد، به عنوان یک تابع یک سیستم مدیریت انعطاف پذیر باشد:

قطع عضو نمادین

بسته های ریاضیات نمادین (به عنوان مثال، Mathematica، WHM، SymPy) تجزیه و تحلیل دقیق Routh-Hurwitz را برای ⁇ ها با پارامترهای نمادین فعال می کنند، این قابلیت برای طراحی کنترل ارزشمند است، که مهندسان باید درک کنند که چگونه ثبات به سود متغیر، ثابت زمان یا پارامترهای فیزیکی بستگی دارد.

افزایش عددی

پیاده سازی های مدرن به مسائل عددی که کدهای اولیه کامپیوتری را نقض می کردند، مقادیر ضریب می توانند بسیاری از سفارشات را به شدت افزایش دهند، باعث خطای مقیاس پذیری و محاسبات دلخواه- دقیق برای اطمینان از قابلیت اطمینان شده است. علاوه بر این، الگوریتم ها اکنون به طور موثر پرونده ویژه ای از ردیف صفر را با استخراج خودکار یک عامل کمکی و استخراج آن، کنترل می کنند.

گسترش و معیارهای ثبات مرتبط

معیار روث-هاورویتز تنها آزمون ثبات نیست و تئوری کنترل مدرن روش های مکملی را توسعه داده است که محدودیت ها و جایگزین های کلیدی را شامل می شود:

ثبات هیئت داوران

برای سیستم های زمانی گسسته، معیار روث-هاورویتز مستقیماً به این دلیل اعمال نمی شود که منطقه ثبات دایره واحد است. آزمون ثبات هیئت داوران که توسط Eliahu در دهه ۱۹۵۰ ایجاد شده است، یک آرایه ی تبال شبیه روث را ایجاد می کند، اما بررسی می کند که آیا تمام ریشه های یک دروغ گسسته در داخل دایره واحد ضروری است.

روش های Nyquist و Bode

بر خلاف معیار Routh-Hurwitz که یک آزمون جبری است، روش های دامنه فرکانس مانند معیار ثبات Nyquist و طرح های Bode بینش بصری در مورد حاشیه های ثبات را ارائه می دهند، این روش ها می توانند سیستم ها را با تاخیر زمان و عناصر غیر خطی اداره کنند، در حالی که معیار Routh-Hurwitz محدود به سیستم های LTI است، با این حال، و Nyquist نیاز به ارزیابی عددی با استفاده از نرم افزار فرکانس ساده است.

روش مستقیم Lyapunov

برای سیستم های غیر خطی و زمان متغیر، نظریه ثبات Lyapunov یک چارچوب کلی تر ارائه می دهد. معیار Routh-Hurwitz را می توان به عنوان یک مورد خاص از ثبات Lyapunov برای سیستم های LTI مشاهده کرد، که در آن معادله Lyapunov کاهش به مجموعه ای از نابرابری های خطی.در واقع، ماتریس Hurwitz در راه حل مداوم معادله استفاده می شود و کنترل قوی Lyapov است.

برنامه های مدرن در مهندسی

معیار Routh-Hurwitz یک ابزار عملی در حوزه های مهندسی متعدد است:

  • ارزیابی ثبات از خلبان های هواپیما، سیستم های هدایت موشکی و کنترل نگرش ماهواره ای رایج است و تجزیه و تحلیل سفارش بالا در نرم افزار کنترل پرواز ایمنی را تضمین می کند.
  • ربات ها: تعیین ثبات دستکاری کنندگان ربات تحت بارهای مختلف و پیکربندی.این معیار کمک می کند تا کنترل کننده های PID و پارامترهای ناتوان کننده را تنظیم کند.
  • سیستم های قدرت: تجزیه و تحلیل ثبات شبکه با تعداد زیادی از ژنراتورها، بارهای و خطوط انتقال. ⁇ ویژگی ممکن است بیش از درجه 100، نیاز به پیاده سازی کارآمد عددی روث-هاورویتز.
  • Automotive: کنترل ثبات الکترونیکی، سیستم های تعلیق فعال و کنترل برق خودرو الکتریکی همه به تجزیه و تحلیل ثبات در طول طراحی متکی هستند.

روند فعلی و مسیرهای آینده

علی رغم اینکه بیش از یک قرن قدمت دارد، معیار روث-هاورویتز همچنان به الهام بخش تحقیقات است.سه جهت قابل توجه در حال ظهور هستند:

ادغام با کنترل داده-Driven Control

تکنیک های یادگیری ماشین برای استنتاج ثبات از داده های اندازه گیری شده، به ویژه برای سیستم هایی که مدل های ریاضی دقیق در دسترس نیستند، استفاده می شود. روش هایی مانند شناسایی غیر خطی دینامیک (SINDy) [FLT 1] می تواند مدل های ⁇ را از داده ها استخراج کند و سپس تجزیه و تحلیل Routh-Hurwitz می تواند به سیستم شناسایی شده این رویکرد کلاسیک با داده های مدرن استفاده شود.

کنترل قوی و سازگار

در کنترل قوی، وضعیت روث-هاورویتز برای استخراج قضیه Kاریتونوف استفاده می شود، که یک معیار ساده برای ثبات هیدروژل فاصله فراهم می کند، این منجر به آزمایش های ثبات عمومی برای سیستم ها با عدم اطمینان پارامتری پارامتری، موضوع تحقیقات فعال است.

کنترل کوانتومی و شبکه

زمینه های نوظهور مانند کنترل کوانتومی و شبکه های چند عاملی چالش های ثبات جدیدی را ایجاد می کنند. محققان چارچوب روث-هاورویتز را برای رسیدگی به سیستم های تاخیر، توزیع شده و غیر جهشی مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهند.

نتیجه گیری

معیار روث-هاورویتز از یک روش دستی آلژبریک به یک ابزار محاسباتی چند منظوره که در نرم افزار کنترل مدرن جاسازی شده است، تکامل یافته است، ارتباط پایدار آن از سادگی آن، سخت افزار ریاضی و سازگاری آن است، در حالی که روش های جدیدتر مانند طرح های نایستاتیک و توابع Lyapunov بینش های مکمل را ارائه می دهند، معیار پایداری برای سیستم های کنترل تاریخی آن باقی می ماند - به احتمال زیاد یک نمونه و سیستم های اثبات داده های گرافیکی آن را به عنوان یک الگوریتم کنترل داده های مبتنی بر اساس، به عنوان یک نمونه، و اثبات می کند.

برای مطالعه بیشتر، با آموزش داگلاس در Routh-Hurwitz یا MathWorld] مشورت کنید برای یک شیرجه عمیق تر به ریاضیات.