Ymmärtäminen Raja-arvo-ongelmat konepajassa

Raja-arvo ongelmia (BVP) syntyy luonnollisesti lähes jokaisessa haarassa suunnittelu. Toisin kuin alkuarvo ongelmia (IVP), jossa kaikki ehdot on määritelty yhdessä lähtöpisteessä, BVP asettaa rajoituksia kahdessa tai useammassa eri paikoissa. Esimerkiksi rakennemekaniikka, taipuma kiinteä palkki on nolla molemmissa tukissa; lämmönsiirto, lämpötila päässä sauvan voidaan pitää vakiona; nesteen dynamiikka, nopeus profiilin viskoosi virtaus on täytettävä no-liukuva olosuhteissa kiinteissä seinissä. Nämä kaksi pistettä olosuhteet tekevät analytic ratkaisuja vaikea tai mahdotonta, varsinkin kun hallitseva yhtälöt ovat epälineaarisia. Ammuntamenetelmä tarjoaa järjestelmällisen numeerisen lähestymistavan ratkaista tällaisia BVPs muuntamalla ne sekvenssi IVPs, jotka voidaan integroida käyttäen standarditekniikoita, kuten Runge-Kutta tai Adams-Bashforth menetelmiä.

Ammuntamenetelmä: yksityiskohtainen selitys

Perusajatuksena ammunta menetelmä on käsitellä puuttuva alkutila(s) BVP kuin tuntematon parametreja ja sitten ratkaista vastaava IVP toistuvasti kunnes raja kunnossa ääripäässä on tyytyväinen. Nimi tulee analogisesti tykistö: aivan kuten tykkimies säätää kulman tykki osua tavoite, menetelmä säätää alkuperäisen arvauksen "hit" vaaditun raja-arvon vastakkaisessa päätepiste.

BVP:n muuntaminen laskimoinfuusiona

Harkitse toisen asteen tavallinen DIFFERENTIAL EQUATION (ODE) muodossa kanssa rajaehdot ja . Sovelltaa ammuntamenetelmä, me muuntaa tämän IVP tarjoamalla alustavan arvauksen kaltevuus . Ongelma tulee:

  • Ratkaise ja .
  • Integroidaan :stä :ään käyttäen numeerista ODE-ratkaisijaa.
  • Laskettu arvo arvioidaan pitkän päätepisteen kohdalla.

Tavoitteena on löytää rinne sellainen, että . Tämä on juurien etsimisongelma: määritellä ja ratkaista .

Iteratiivinen prosessi

Koska kartoitus on yleensä epälineaarinen, tarvitaan iteratiivisen numeerisen menetelmän. Yhteisiä valintoja ovat sekanttimenetelmä, väärä sijainti tai Newton.

  1. Uuden arvauksen valitseminen :lle edellisen virheen perusteella.
  2. IVP:n integrointi :stä :een.
  3. Juuristotutkimusjärjestelmän päivittäminen asti on toleranssin alapuolella.

Kun ODE on lineaarinen, funktio on lineaarinen , ja oikea kaltevuus löytyy kahdesta "shots" superpositiolla. Epälineaaristen ongelmien osalta menetelmä vaatii huolellista alkukarsintaa erojen välttämiseksi.

BPP:n korkeampien tilausten ja järjestelmien käsittely

Ampumismenetelmä on yleistynyt luonnollisesti :n ensitilaus- ja käyttöohjeisiin, joissa [:n alkuolosuhteet ovat tiedossa ja []:n tietoja ei tunneta. Alun arvausten tuntematon vektori säädetään samanaikaisesti moniulotteisella juurien määritysalgoritmilla, kuten Newton. Tätä lähestymistapaa käytetään yleisesti lentoradan optimointiin ja biomekaniikassa tuki- ja liikuntaelimistön dynamiikkaan.

Käytännön sovellukset konepajassa

Ammuntamenetelmä on laajalti käytössä kaikilla tekniikan aloilla, koska se hyödyntää vahvoja IVP-ratkaisijoita, jotka ovat hyvin testattuja ja tehokkaita.

Puomien deflection siviili- ja konetekniikan alalla

Euler-Bernoulli-säteen yhtälö , jossa rajaolosuhteet siirtymässä ja kaltevuudessa päissä ovat klassinen BVP. Vähentämällä neljännen asteen yhtälön ensimmäisen asteen ODES-järjestelmään insinöörit voivat käyttää ammunta-aikaa ennustaakseen taipumia monimutkaisessa lastauksessa, kuten vaihtelevia jakautuneita kuormia tai pistekuormitusta. Menetelmä käsittelee helposti epälineaarista materiaalia (esim. elastoplastista muodonmuutosta) tai geometrisiä epälineaarisia erityispiirteitä (suuria taipumia).

Lämpöjohtaminen ja erilaiset rajaehdot

Vakaan tilan lämmönsiirrossa komposiittiseinän tai -evän läpi lämpötila täyttää (tai lämmönmuodostuksessa) tietyt lämpötilat yhdellä sivulla ja konvektiivinen raja-arvo toisella. Ampuminen mahdollistaa sen, että yksi iteroidaan tuntemattomalla lämpövuolla vasemmalla puolella kunnes lämpötila tai sen kaltevuus vastaa oikeanpuoleista tilaa. Tämä on korvaamatonta lämmönvaihtimien, elektronisten jäähdytysjärjestelmien ja lämpöeristyskerrosten suunnittelussa.

Rajapintavirrat nestedynamiikassa

Blasius yhtälö laminaarin virtausta tasaisen levyn yli on kolmannen asteen ODE raja-olosuhteissa levyn pinnalla ja vapaassa virta. Ammuntamenetelmä on standarditekniikka löytää puuttuva alkuehto seinän leikkaus stressi. Laajennukset Falkner-Skan virrat (suunnaukset) ja puristuvia raja kerrokset luottaa samaan iteratiivisen kehyksen.

Edut ja rajoitukset

Kuten minkä tahansa numeerisen menetelmän kohdalla, ampumismenetelmällä on vahvuuksia ja heikkouksia, jotka määrittävät, milloin se on tarkoituksenmukaista.

Tärkeimmät edut

  • Simplikaatio ja joustavuus[: Se edellyttää vain IVP-ratkaisijaa ja juurien etsijää, jotka molemmat ovat saatavilla kaikissa tieteellisissä tietoteknisissä ympäristöissä.
  • Kädet Epälineaarisuus[: Toisin kuin suora finite-ero menetelmiä, jotka johtavat suuriin järjestelmiin epälineaarisia yhtälöitä, ammuntamenetelmä rikkoo ongelman pienempiin, peräkkäisiin integraatioihin.
  • Well-Soveltuu yksinkertaisiin geometries[: Kun verkkotunnus on yksiulotteinen ja operaattori ei ole erittäin jäykkä, ammunta usein lähenee nopeasti.

Rajoitukset ja aallonmurtajat

  • Sensitiivisyys alkuaikojen riveihin[: Epälineaaristen ongelmien osalta huono arvaus voi johtaa eroihin tai konvergenssiin väärään ratkaisuun (jos on olemassa useita ratkaisuja).
  • Stiff ongelmat[: Jos IVP on jäykkä ja hyvin erilaisia aikavaakaja ... numeerinen integraatio voi muuttua epävakaaksi tai vaatia epäkäytännöllisen pieniä askelkokoja, ellei implisiittistä ratkaisijaa käytetä.
  • Säännöllinen ja yksittäinen BVPs[]: Ammunta voi epäonnistua ongelmia, joissa puuttuva alkuperäinen kunto sijaitsee alueella, joka aiheuttaa ratkaisun räjähtää ennen kuin saavuttaa kaukana rajan. Tämä tunnetaan "ylitys" ongelma ja usein edellyttää käyttöä rinnakkaisten ammunta tai useita ammunta (murtaa verkkotunnuksen segmentteihin).
  • Kaikkiin yrityksiin kohdistuvat kustannukset : Jokainen laukaus edellyttää järjestelmän täydellistä integrointia; korkea-ulotteisten järjestelmien tai hyvin hienojen toleranssien osalta kertyneet kustannukset voivat olla suuret suhteessa maailmanlaajuisiin menetelmiin.

Ammuntamenetelmän toteuttaminen numeerisilla työkaluilla

Nykyaikaiset laskentavälineet tekevät ampumismenetelmän toteuttamisesta yksinkertaista. Esimerkiksi Python[], voi käyttää [] integraatioon ja [ tai ]-menetelmällä juurien etsimiseen. [MATLAB[], sisäänrakennettu [] ja ovat todella kollokointiin perustuvia maailmanlaajuisia menetelmiä, mutta ammuntamenetelmä voidaan koodata käsin ja . Teollisuuden sovelluksiin, kaupalliseen finiittiseen elementtiin tai finiittiseen volyymiin (ANSYS, COMSOL) usein sisällyttää ammuntatyyppisiä menetelmiä erityisille alamalleille.

Insinöörejä toteutettaessa on oltava tietoinen siitä, että

  • Proper Scaling: Epädimulationalisointi yhtälöt vähentää herkkyyttä parametrin suuruusluokkaa.
  • Tapahtuman havaitseminen[: Integraation keskeyttäminen aikaisin, jos liuos poikkeaa fyysisestä sidonnasta tai rikkoo sitä (esim. negatiivinen lämpötila).
  • Kontinenation[: Jos ongelma on erittäin epälineaarinen, aloita yksinkertaisemmalla versiolla (esim., lineaarinen) ja asteittain käyttöön ei-lineaarisuus samalla, kun käytetään aiempia ratkaisuja alkuviisaina.

Päätelmät

Ammuntamenetelmä on edelleen olennainen työkalu insinöörin numeerisia arsenaali koska se muuttaa usein pelottava BVP iterated IVP. Sen intuitiivinen juurien etsiminen tulkinta, yhdessä rikas laadukkaita IVP ratkaisijat, tekee siitä saatavilla monenlaisia käytännön ongelmia.Mittauksen määrittäminen säde taipuma laskenta lämpöprofiileja ja rajakerros velocities. Vaikka ei ihmelääke (erityisesti jäykkä tai yksittäinen ongelmia), sen yksinkertaisuus ja joustavuus varmistaa sen jatkuvan käytön sekä tutkimus-ja suunnitteluyhteyksissä. Ohjaamalla ammuntamenetelmä, insinöörit saavat luotettava tapa mallin järjestelmiä, joissa olosuhteet ovat levinneet ala, lopulta tukemalla tarkempia ja tehokkaampia suunnittelupäätöksiä.

Ulkoiset resurssit: