Johdatus ensimmäisen tilauksen erilaisuuksiin konehuoneessa

Differentiaaliyhtälöt ovat kieli, jolla monet fyysiset lait on kirjoitettu. Niistä, ensimmäisen-järjestyksen DIFFERENTIAL EQUATIONS muodostavat perustan mallintaminen dynaamisia järjestelmiä lähes jokaisessa tekniikka kurinalaisuus. Ennustamalla, miten kuuma moottori lohko viilenee suunnitella vastaus sähköisen suodattimen, kyky perustaa ja ratkaista nämä yhtälöt on ydin taitoa. Tämä opas laajentaa keskeisiä menetelmiä ratkaista ensimmäisen-järjestyksen DIFFERENTIAL EQUATIONS ja tutkii niiden käytännön sovelluksia konkreettisia teknisiä esimerkkejä.

Mitkä ovat ensimmäisen tilauksen differentiaaliset yhtälöt?

Ensimmäisen tason DIFFERENTIAL EQUATION liittyy tuntematon toiminto y[][[]x]) sen ensimmäinen johdannainen ]dy/dx. Yleinen muoto on

]dy/dx = f(x, y) [

jossa toiminto f voi olla lineaarinen tai epälineaarinen sekä x[ ja y[[]. EQUATION järjestys viittaa suurimpaan johdannaiseen läsnä; koska vain ensimmäinen johdannainen esiintyy, sitä kutsutaan ensimmäisen asteen järjestyksessä. Nämä yhtälöt kuvaavat muutoksen nopeutta . . lämpötilarepeämä, virtavirta, väestönkasvu tai kemiallinen reaktionopeus. Teknisissä yhteyksissä riippumaton muuttuja on usein aika (t[]]), ja riippuvainen muuttuja edustaa fysikaalista määrää, kuten lämpötilaa, jännitettä tai pitoisuutta.

Esimerkiksi Newton.s-laki jäähdytys todetaan, että muutosnopeus esineen lämpötila T[][[[]t[]) on verrannollinen kohteen ja sen ympäristön väliseen eroon. Tämä johtaa suoraan ensimmäisen asteen yhtälöön []dT/dt = ...k(T ....]env[][].].

Menetelmät ensimmäisen tilauksen erilaisuuksien yhdistämiseksi

Ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi on olemassa useita vakiintuneita tekniikoita, joita kukin sovelletaan tiettyyn rakenteelliseen muotoon. Näiden menetelmien avulla insinöörit voivat valita oikean työkalun käsillä olevaan yhtälöön.

Selkeät yhtälöt

Ensimmäisen asteen yhtälö on selectable, jos se voidaan kirjoittaa :n funktion tuloksena x[ ja [:n funktion] mukaisesti.

dy/dx = g(x) · h(y)

Liuos saadaan uudelleenjärjestämällä ja integroimalla molemmat puolet:

∫ (1 / h(y)) dy = ∫ g(x) dx

Arvioidaan integrals, me ratkaista [y[] nimenomaisesti, jos mahdollista, tai jätä ratkaisu implisiittisessä muodossa. Setabable yhtälöt esiintyvät usein kasvu- ja hajoamisongelmia, kuten radioaktiivinen hajoaminen tai lataaminen / lataaminen kondensaattorin kautta vastus.

Esimerkki:[] Ratkaise dy/dx = 2xy[. Erilliset muuttujat: [](1/y) dy = 2x dx[]. Integroi: [[] ln.y. = x2 + C. Sitten y = Ce[]x2[[][[[[]].]].

Lineaariset ensimmäisen tilauksen yhtälöt

Lineaarinen ensimmäisen asteen yhtälö on vakiomuotoinen:

]dy/dx + P(x) y = Q(x) [

jossa P[ ja Q[ ovat ]:n toimintoja.:n] ratkaisun avain on [:]:n integrointitekijä [[]:], joka on määritelty seuraavasti:

μ(x) = e∫ P(x) dx[

Jos yhtälön molemmat puolet kerrotaan μ(x:llä), vasen puoli muuttuu mikro(x:n) johdannaksi [:

d/dx [ μ(x) y] = μ(x) Q(x) []

Satojen integrointi:

μ(x) y = ∫ μ(x) Q(x) dx + C[

Jakakaa μ(x):lla [y[:n saamiseksi. Lineaariset yhtälöt mallintavat monia fyysisiä järjestelmiä, mukaan lukien RL- ja RC-piirit, lämmönsiirto, jossa on vakiolämpötila, ja ensimmäisen asteen ohjausjärjestelmän vasteet.

Tarkat yhtälöt

Muotoa kuvaava yhtälö M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0[ on [ekstak[], jos osittaiset johdannaiset täyttävät []∂M/∂y = ∂N/∂x. Tällöin on olemassa potentiaalinen toiminto . ∂(x, y) siten, että ∂.x = M ja ∂. ∂..../x, y = N. Ratkaisu on . Tarkka yhtälöt syntyvät termodynamiikassa ja sähkömagneettisissa muodoissa, kun erotusmuoto vastaa konservatiivista kenttää.

Bernoulli-yhtälöt

A Bernoulli yhtälö on epälineaarinen yhtälö muodossa:

]dy/dx + P(x) y = Q(x) y[n[]

jossa n on todellinen luku, joka ei ole yhtä suuri kuin 0 tai 1. Se voidaan muuntaa lineaariseksi yhtälöksi korvaamalla v = y1 . n[[]]]. Tämä menetelmä on hyödyllinen nestemekaniikassa esimerkiksi silloin, kun mallinnetaan virtaus huokoisissa välineissä tai tietyissä kemiallisissa reaktioissa.

Homogeeninen ensimmäisen tilauksen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälö on ]homogeneous[], jos toiminto f(x, y) voidaan ilmaista suhteen funktiona [y/x[]]. Se on []dy/dx = F(y/x). Korvaava aine v = y/x[] muuttaa yhtälön erotettavissa olevaksi yhtälöksi. Homogeneous yhtälöt esiintyvät skaalautumisessa johtuvissa ongelmissa ja samankaltaisuusratkaisuissa, kuten rajakerrosvirtaus nestedynamiikassa.

Tekniikan sovellukset

Ensimmäisen asteen DIFFERENTIAL EQUATIONS ovat rakennuspalikoita monien insinöörimallien. Alla on yksityiskohtaisia esimerkkejä neljästä tärkeästä alasta.

Lämpöjärjestelmät: Newton...

Jäähdytys kiinteä esine neste väliaineen noudattaa Newton...

]dT/dt = .k (T . T. T[∞]) [

jossa T[ on kohteen lämpötila T[∞[[[] on ympäristön lämpötila, ja [] on positiivinen vakio pinta-alasta ja lämmönsiirtokertoimesta riippuen. Tämä on lineaarinen ensimmäisen asteen yhtälö. Alkutilanteen T(0] = T[[[[[[]], ratkaisu on:

]T(t) = T]∞[ + (T[[] .

Insinöörit käyttävät tätä yhtälöä jäähdytysevän suunnitteluun, lämpöaikavakioiden arviointiin elektronisissa laitteissa ja materiaalien lämpötilahistorian ennustamiseen lämpökäsittelyn aikana.

Sähköpiirit: RC Circuit Response

Sarjassa RC-piiri, jossa on jännitelähde Vs[](t)[], kondensaattorijännite v[]c[[]](t)[[[]] täyttää seuraavat vaatimukset:

]RC dv[c/dt + vc] = V[s[][t][t][[]]]

Tämä on lineaarinen ensimmäisen asteen yhtälö. Jatkuvan askeljännitteen V[s[] = V[]0[[][[[]]] ja alkuvaiheen []v[]c[[](0] = 0[], ratkaisu on:

]v[]c[](t) = V[]0[] (1 ... ].................................................................................................................................................................................................

Tuote RC[] on aikavakio, joka kuvaa kondensaattorin latausnopeutta. RC-piirit ovat kaikkialla ajanottopiireissä, suodattimissa ja signaalinkäsittelyssä.

Nestedynaaminen: jatkuvatoiminen kiihdytinreaktori (CSTR)

Kemiallisen lajin massatase täysin sekalaisessa säiliöreaktorissa johtaa

]V dC/dt = Q (C[ C) .

jossa ]V[] on tilavuus, Q[] tilavuusvirta, []C[] pitoisuus, [[]]][[[[[]]]]][[[[] sisääntulopitoisuus, ja [[]]k[[[] reaktionopeus vakio. Tämä ensimmäisen asteen yhtälö määrittää, miten pitoisuus kehittyy ajan myötä. Se auttaa insinööreaktoreiden suunnittelussa, estimaateissa ja tuotteiden laadun valvonnassa.

Ohjausjärjestelmät: Ensimmäisen tilauksen järjestelmän vastaus

Monet ohjausjärjestelmät, kuten yksinkertainen termostaatti tai moottori, jossa on mitätön induktanssi, ovat ensiluokkaisia:

]τ dy/dt + y = K u(t)

Tässä τ[ on aikavakio, K[, vakaa tila voitto, ja [u(t][[]] panos. Ratkaisu yksikön askelsyöte []u(t) = 1[[] ilman alkuehtoa on [[]y(t) = K (1 . ... ].........................................................................................................................

Esimerkki: Olion jäähdytys ... Full Solution

Antaa ... Anna tyypillisen ongelman ratkaista. Metalliosa 200 °C:ssa asetetaan huoneeseen 25 °C:ssa. Jäähdytysvakio k = 0,02 min−1. Etsi lämpötila 30 minuutin kuluttua ja aika, joka tarvitaan 50 °C:n saavuttamiseen.

vaihe 1 ... Yhtälö ja alkuedellytys

DIFFERENTIAL EQUATION: dT/dt = ..0.02 (T . 25)[], T(0) = 200.

vaihe 2 ... Ratkaise integroiva tekijä menetelmällä[

Yhtälö on lineaarinen: dT/dt + 0,02 T = 0,5. Integrointikerroin μ(t) = e∫ 0.02 dt[] = e[[0.02t[][.

vaihe 3 ......................................................................................................................................................................................................................................................

d/dt [e0,02t[ T ] = 0,5 e[0,02t[[[[]]. Integrointi: [[]e[[]0,02t[ T = 25 e[0,02t[ + C[]. Näin [T(t] = 25 + C e.02t[[][.

vaihe 4 ... Käytä alkuehtoa

]T(0) = 200 → 200 = 25 + C → C = 175[].

vaihe 5 ... Lämpötila 30 minuutin kuluttua

]T(30) = 25 + 175 e]...........................................................................................................................................................................................................................................

vaihe 6 ......................................................................................................................................................................................................................................................

Sarja 50 = 25 + 175 e]............................................................................................................................................................................................................................................

Tämä ratkaisu osoittaa DIFFERENTIAL EQUATIONS voima ennustaa reaalimaailman käyttäytymistä ja tehdä teknisiä päätöksiä.

Päätelmät

Ensimmäisen asteen DIFFERENTIAL EQUATIONS ovat niitti jokaisen insinöörin matemaattisia työkalupakkeja. Mastering erottaminen muuttujat, integrointitekijä menetelmä, tarkka yhtälöt, ja Bernoulli korvaaminen, insinöörit voivat mallintaa ja analysoida dynaaminen käyttäytyminen lämpö-, sähkö-, neste- ja ohjausjärjestelmien. Vaiheittain-edellä esimerkki havainnollistaa, miten nämä menetelmät muuntaa abstrakti yhtälö käytännön ennuste. Jatkuva käytäntö näiden tekniikoiden rakentaa intuitiota tarvitaan käsitellä monimutkaisempia järjestelmiä suunnittelussa ja tutkimuksessa.

Lisätietoja saat tutustumalla näihin resursseihin: MIT OpenCourseWare ... Differentiaaliset yhtälöt, [Khan Academy ...