Nykyaikaisissa ohjausjärjestelmissä vakaus on turvallisen ja ennustettavan toiminnan kulmakivi. Missään tämä ei ole selvemmin nähtävissä kuin quadrotor-droneissa, joissa epävakaus voi johtaa katastrofaaliseen vikaan sekunnissa. Tämä tapaustutkimus osoittaa Ruuth-Hurwitz-kriteerin käytännön soveltamisen [[] analysoimiseksi ja vakauttamiseksi. Rakentamalla Ruuth-kokoonpanoa suljetun silmukkajärjestelmän ominaisesta polynomista insinöörit voivat määrittää vakauden ilman, että juuria olisi ratkaistu suoraan, mikä mahdollistaa nopean parametrin virityksen ja vankan lennon suorituskyvyn.

Quadrotor Dynamics and Control Architecture

Kvadrotori on alikäytettävä, erittäin kytketty epälineaarinen järjestelmä. Sen liike ohjataan vaihtelemalla neljän roottorin nopeutta, jotka tuottavat työntövoimaa ja vääntömomenttia. Vakautta-analyysissä järjestelmä on tyypillisesti lineaarinen noin leijurin kunnossa, tuottaen joukon irrotettu toisen asteen DIFFERENTIAL EQUATIONS roll, pick, jow, ja korkeus. Ohjausjärjestelmä käyttää yleisesti suhteellista-Integraalinen-Derivative (PID) ohjaimet kunkin akselin, jossa takaisinkytkentä kierrokset suljettu noin asento ja kulmanopeus mittaukset inertiamittaus yksikkö (IMU). Suljettu-loop siirtotoiminto kunkin akselin voidaan johtaa, mikä johtaa ominaiseen polynomi, jonka juuret määrittää vakautta.

Lineaarinen malli rulla-akselille

Ajattele rullan dynamiikkaa. Lineaarinen yhtälö liikkeen on:

[[LLT:0]]

jossa on rullakulma, on inertiamomentti, on aerodynaaminen vaimennusjohdannais ja on ohjausjohdos, joka edustaa erotustyöntövoiman tuottamaa vääntömomenttia. PID-ohjain antaa ohjaussignaalin:

Suljetun kierron siirtotoiminnon korvaaminen ja muodostaminen tuottaa ominaisen polynomin järjestys kolme (tai korkeamman, jos anturidynamiikka sisältyy mukaan). Kolmannen kierroksen järjestelmässä:

[[LLT:6]]

Routh-Hurwitzin kriteerin avulla voimme analysoida merkkejä juurien todellisista osista ilman selvää juurilöytöä.

The Routh-Hurwitz Criterion: A Systemaattinen vakaustesti

Kehitetty itsenäisesti Edward John Routh ja Adolf Hurwitz, Routh-Hurwitz kriteeri tarjoaa tarvittavat ja riittävät edellytykset vakauden lineaarisen aika-invariantti järjestelmiä. Se käyttää kertoimia ominaisuuden polynomi rakentaa matriisi (Ruuth array). Merkkien muutosten määrä tämän ryhmän ensimmäisessä sarakkeessa vastaa useita juuria positiivisia todellisia osia. Jotta järjestelmä on vakaa, kaikki merkinnät ensimmäisessä sarakkeessa on sama merkki (tyypillisesti positiivinen).

Muodostetaan Ruutikaari

Koska polynomi , Routh array on rakennettu rivi rivi riviltä:

  • Rivi 1: .
  • Rivi 2: ] .
  • Seuraavat rivit lasketaan kaavalla: (jossa a1 on toisen rivin ensimmäinen osa).

Jos jokin alkuaine ensimmäisessä sarakkeessa tulee nolla, erityiskäsittely on tarpeen (vaihdetaan pieni epsilon tai käyttää apupolynomi menetelmä). Jos koko rivi muuttuu nolla, polynomi on symmetrinen juuret, ja array jatkuu apu polynomi.

Kolmannen tilauksen järjestelmien vakausvaatimukset

Polynomikuution osalta Routh-Hurwitz-ehdot ovat seuraavat:

  • Kaikkien kerrointen on oltava positiivisia (tarpeellinen edellytys).
  • Epäyhtenäisyyden on oltava (riittävä edellytys kolmannelle järjestykselle).

Tätä yksinkertaista sääntöä käytetään usein pikatarkistuksena ennen koko järjestelmän rakentamista.

Sovellus Quadrotor Roll Control -järjestelmään

Meidän quadrotor tapauksessa tutkimus, ominaislaatuinen polynomi rulla akselin, mukaan lukien PID ohjaimen voitot ja roottoridynamiikka (mallittu ensimmäisen tilauksen viive kanssa aikavakio τ), oli johdettu seuraavasti:

[[LLT:13]]

Jos numeeriset arvot fyysisestä järjestelmästä ovat: τ = 0,05 s (roottorin aikavakio), I xx = 0,01 kg·m2, L 2 = 0,5 N·m yksikköä kohti kontrolli. Alkuperäiset PID voitot valittiin heurististisen virityksen perusteella: K p = 10, K i = 2, K d = 5. Satojen korvaaminen:

→

Ruutikaarien rakentaminen

Rakennamme array tämän neljännen tilauksen polynomi:

  • Rivi 1 (s4): 0,05, 15,1, 10
  • Rivi 2 (s3): 1.5, 52, 0
  • Rivi 3 (s2): compute b1 = (1.5*15,1 - 0,05*52) /1,5 = (22,65 - 2,6) /1,5 = 13,367; b2 = (1,5*10 - 0,05*0) /1,5 = 10; b3 = 0
  • Rivi 4 (s1): c1 = (13.367*52 - 1,5*10)/13.367 = (694.064 - 15)/13.367 = 50.84; c2 = 0
  • Rivi 5 (s0): d1 = (50.84*10 - 13.367*0) /50.84 = 10

Ensimmäinen sarake arvot ovat: 0.05, 1.5, 13.367, 50.84, 10 . kaikki myönteisiä, ei merkkejä muutoksia. Näin ollen järjestelmä näiden voittojen on vakaa. Kuitenkin, jos lisäämme kiinteä voitto K i = 20, polynomikertoimet muutos ja Routh array paljastaa merkki muutos, joka osoittaa epävakautta. Tämä osoittaa voimaa parametrin avaruustutkimus.

Parametri Viritys Routh-Hurwitz-rajoitteita käyttäen

Sen sijaan kokeilu-ja-virhe simulointi, Routh-Hurwitz kriteeri tarjoaa algebrallinen eriarvoisuutta, joka on tyydytettävä vakauden. Neljännen järjestyksessä polynomi saimme, tarvittavat edellytykset ovat:

  • Kaikki kertoimet positiivisia: automaattisesti tyytyväisiä, jos voitot ovat positiivisia ja τ > 0.
  • Ruutiryhmän ensimmäisessä sarakkeessa ei saa olla merkkejä muutoksista.

Ilmaisemalla ensimmäisen sarakkeen merkinnät symbolisesti kannalta K p, K i, ja K d, olemme saaneet kolme rajoite yhtälöt. Ratkaisemalla nämä eriarvoisuudet määritellään vakaa alue voitto tilaa. Meidän quadrotor, vakaa alue todettiin:

  • [[LLT:16]]
  • [[LLT:17]]
  • [[LLT:18]]
  • (noin Routhin tila)

Nämä rajoitukset ohjasivat lopullisten voittojen valintaa: K p = 8, K i = 1, K d = 4, jotka sijaitsevat hyvin vakaalla alueella ja tarjoavat myös hyvän vaiheen marginaalin, kun arvioidaan taajuusvasteella.

Simulaatiotulokset ja validointi

-ympäristössä olevan quadrotorin epälineaarista simulaatiota käytettiin vakausmarginaalien validoimiseen. Routh-Hurwitz-optimoitujen voittojen myötä rullavaste 10 asteen askelsyötteelle osoitti nolla-ajan olevan 0,8 sekuntia, ylitysaika alle 5%, eikä vakaassa tilassa tapahtunut virhettä. Sen sijaan voitot vakaan alueen ulkopuolella (esim. K i = 20) tuottivat toisistaan poikkeavia värähtelyjä, jotka kasvoivat sitomattomina 2 sekunnissa.

Lisäksi kestävyystestaus sisälsi tuulenpuuskat jopa 5 m/s ja anturin melua tyypillinen edullinen MEMS IMU. Ohjain säilytti vakautta kaikissa tapauksissa, suurin rullakulman poikkeama on alle 1,5 astetta.Ruuth-Hurwitz kriteeri siis tarjosi paitsi vakautta, mutta myös perustason vankka suorituskyky.

Käytännön toteutus

Vaikka Routh-Hurwitz-kriteeri on tehokas analyyttinen työkalu, sillä on rajoituksia. Sitä sovelletaan vain lineaariseen aika-invarianttijärjestelmään, joten lineaarisen mallin on oltava voimassa ympäri käyttöpistettä. Aggressiivisten manööverien osalta epälineaariset vaikutukset (esim. toimilaitteen saturaatio, gyroskooppinen vääntömomentti) voivat aiheuttaa stabiilisuuden heikentymistä. Insinöörien olisi täydennettävä Ruuth-Hurwitz-analyysiä -aika-ala-simulaatioilla[ ja -taajuus-domeenimenetelmillä[[ (kuten Bode-palstoilla tai juurilokuksella).

Lisäksi digitaalinen toteutus tuo esiin näytteenottoviiveitä ja kvantifiointivirheitä. Näitä voidaan mallintaa ylimääräisenä vaiheen viiveenä, joka vähentää tehokasta vaihemarginaalia. Kriteeriä voidaan edelleen soveltaa sisällyttämällä digitaalinen ohjausviive ylimääräisenä napana ominaiseen polynomi. Kvadrotorillemme 500 Hz:n ohjaussilmukka piti viiveen alle 2 ms:n, mikä ei merkittävästi muuttanut Ruuth-sarjan tuloksia.

Päätelmät

The Routh-Hurwitz kriteeri on edelleen välttämätön ensimmäinen askel ohjausjärjestelmän suunnittelu quadrotor drones. Tämä tapaus tutkimus osoitti, miten saada ominaisen polynomi quadrotor. Roll akseli, rakentaa Ruuth-matriisi, ja poimia algebraic rajoitteita, jotka määrittelevät vakaat gain alueet. Menetelmä mahdollisti nopean hylkäämisen epävakaa parametri asetetaan ilman laajaa simulaatiota tai prototyping. Integroimalla Routh-Hurwitz analyysi käytännön viritysohjeilla, insinöörit voivat saavuttaa turvallinen, luotettava ja suorituskykyinen lennokki lennonohjaimet.

Lisätietoja Routh-Hurwitz-kriteeristä on [ kattavassa Wikipedia-artikkelissa[. Erinomainen viittaus quadrotor-dynamiikkaan on B. Corken paperi Robotiikka ja autonomiset järjestelmät[. Syvempien valvontateorioiden osalta on Michiganin yliopiston (FLT:4] Control Tutorials for MATLAB. Käytetty simulointiympäristö löytyy Pixhawk.