फास्ट फोरियर ट्रांसफॉर्म (FFT) एक कुशल एल्गोरिथ्म है जो डिस्क्रेट फोरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) की गणना करता है। कूली-टकी एल्गोरिथ्म FFT को लागू करने का सबसे आम तरीका है, जो DFT के पुन: प्रयोज्य विघटन पर निर्भर करता है। इसकी गणितीय नींव को समझना एल्गोरिदम को प्रभावी ढंग से अनुकूलित करने और लागू करने में मदद करता है।

FFT की गणितीय आधार

DFT जटिल संख्याओं के आवृत्ति घटकों में एक अनुक्रम बदलता है।

X(k) = Σn=0]]N-1 x(n]]]-2πi kn/N]]]]]

x(n)] इनपुट अनुक्रम है, X(k)] आवृत्ति घटक है, और N]] अनुक्रम लंबाई है।

The Algorithm of the Cooley-Tukey Algorithm

Cooley-Tukey एल्गोरिदम भी और विषम भागों में अनुक्रम विभाजित करके छोटे DFT में DFT को विघटित करता है:

X(k) = Σn=0]]N-1]] x(n) e]-2πi kn/N]]]

जिसे रीराइट किया जा सकता है:

X(k) = Σn=0]]N/2-1] x(2n) e]-2πi 2n k/N] + e]-2πi k/N]]]]]] ]n=0[FLT:][FLT:]]N/2-1]]]n][FLT[FLT[F:8]]]]

यह अलगाव छोटे डीएफटी की पुन:प्राप्ति की अनुमति देता है, ओ (एन 2) से ओ (एन 2) तक कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है।

Algorithm लागू करना

FFT एल्गोरिदम बार-बार पुनरावर्ती विघटन लागू होता है जब तक कि आकार 1 का आधार मामला नहीं पहुंच जाता है। परिणाम तब दो भागों का उपयोग करके संयुक्त होते हैं, जो जटिल एक्सपोनेंशियल शर्तें हैं:

W]N](k) = e]-2πi k/N]]

ये कारक पुनर्संयोजन के दौरान छोटे डीएफटी के चरण को समायोजित करते हैं, जिससे पूर्ण रूप से परिवर्तित होने की क्षमता को सक्षम किया जा सकता है।