टी-SNE (t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding) दो या तीन आयामों में उच्च-आयामी डेटा को देखने के लिए एक लोकप्रिय तकनीक है। यह उन पैटर्न और क्लस्टरों को प्रकट करने में मदद करता है जो मूल डेटा में आसानी से संरक्षित नहीं हैं। T-SNE के पीछे के गणितीय सिद्धांतों को समझना इसके अनुप्रयोग और व्याख्या में सुधार कर सकता है।

टी-SNE के कोर अवधारणाओं

टी-SNE उच्च-आयामी डेटा बिंदुओं को एक संभावना वितरण में परिवर्तित करता है जो उनकी समानता को दर्शाता है। इसके बाद यह एक कम-आयामी एम्बेडिंग चाहता है जो इन समानताओं को निकटवर्ती रूप से संभव बनाए रखता है। इस प्रक्रिया में दो मुख्य चरण शामिल हैं: कंप्यूटिंग जोड़ी समानताएं और वितरण के बीच एक विचलन को कम करना।

गणितीय फाउंडेशन

उच्च आयामी अंतरिक्ष में, दो बिंदुओं के बीच समानता को गॉसियन वितरण का उपयोग करके मॉडल किया जाता है। संभावना यह है कि बिंदु j] बिंदु का पड़ोसी है i] द्वारा दिया गया है:

pj j j j ]]j ] / 2sigma i^2)}{sum {k neq i} exp(- ] ]i]] - x]k ] ]] / 2sigma i]}

यह प्रत्येक बिंदु के लिए पड़ोसियों पर एक संभावना वितरण को परिभाषित करता है। संयुक्त संभावना pij] को समरूपित किया जाता है:

p]ij] = frac{pj ]j |i] + pi ]i }{2N}

जहाँ N] कुल अंक है। निम्न-आयामी अंतरिक्ष में, समानताएं एक डिग्री स्वतंत्रता के साथ छात्र के टी-वितरण का उपयोग करके मॉडलिंग की जाती हैं:

q]ij = frac{(1+ ]]]]] - y]j]]]]]]] ^2^{-1}}{sum {k neq l} (1+ ] ]]k]] - y]]l]]]]]]l]] ]] ]]]l[FLT:]]]]

अनुकूलन प्रक्रिया

लक्ष्य निम्न-आयामी अंक ]y]i]] को ढूंढना है कि उच्च और निम्न-आयामी वितरण के बीच Kullback-Leibler विचलन को कम:

KL(P | Q) = sum {i neq j} p]ij] log frac{p]ij]}{q]ij}]}]ij]}]}]ij]]]}

यह ढाल वंश के माध्यम से प्राप्त किया जाता है, विचलन को कम करने के लिए कम आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं की स्थिति को समायोजित किया जाता है। ढाल p]ij]]]]]]] और q]]ij]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]][FLT:[FLT:]]]][[FLT[FLT[[[[[[[FLT[[[[[[[[[[[[FLT[[[[FLT[[[[[FLT[[[[[[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

निष्कर्ष

टी-SNE के गणितीय आधार को समझना में यह समझना शामिल है कि समानताएं कैसे मॉडलिंग की जाती हैं और अनुकूलन इन समानताओं को आयामों में कैसे जोड़ती है। यह नींव ट्यूनिंग मापदंडों में मदद करती है और दृश्यता को प्रभावी ढंग से व्याख्या करती है।