केस स्टडी: एक क्वाडरोटर ड्रोन कंट्रोल सिस्टम को स्थिर करने के लिए रोथ-हुर्विट्ज़ लागू करना

आधुनिक नियंत्रण प्रणालियों में स्थिरता सुरक्षित और पूर्वानुमानित संचालन का आधार है। कहीं भी क्वाडरोटर ड्रोन की तुलना में यह अधिक स्पष्ट नहीं है, जहां अस्थिरता सेकंड के भीतर catastrophic विफलता का कारण बन सकती है। यह मामला अध्ययन Routh-Hurwitz criterion के व्यावहारिक अनुप्रयोग को दर्शाता है ताकि क्वाडरोटर ड्रोन की नियंत्रण प्रणाली का विश्लेषण और स्थिर किया जा सके। बंद लूप सिस्टम की विशेषता बहुपद से Routh सरणी का निर्माण करके, इंजीनियर सीधे जड़ों के लिए हल किए बिना स्थिरता निर्धारित कर सकते हैं, जिससे तेजी से पैरामीटर ट्यूनिंग और मजबूत उड़ान प्रदर्शन सक्षम हो सके।

क्वाडरोटर डायनेमिक्स एंड कंट्रोल आर्किटेक्चर

एक quadrotor एक underactuated, अत्यधिक युग्मित गैररेखा प्रणाली है। इसकी गति को चार रोटर्स की गति को अलग करके नियंत्रित किया जाता है, जो जोर और टोक़ उत्पन्न करता है। स्थिरता विश्लेषण के लिए, प्रणाली को आम तौर पर एक होवर की स्थिति के आसपास रैखिकीकृत किया जाता है, जो रोल, पिच, याव और ऊंचाई के लिए अलग-अलग तरीकों का एक सेट उत्पन्न करता है। नियंत्रण प्रणाली आमतौर पर प्रत्येक अक्ष के लिए आनुपातिक-इंटेग्रल-डेरिवेटिव (PID) नियंत्रकों को नियोजित करती है, जिसमें फीडबैक लूप्स एक जड़ों (IMU) से दृष्टिकोण और कोणीय दर माप के आसपास बंद हो जाता है।

रोल एक्सिस के लिए रैखिकीकृत मॉडल

रोल गतिशीलता पर विचार करें। गति का रैखिक समीकरण है:

]]

जहां रोल एंगल है, inertia का क्षण है, वायुगतिकीय भिगोने वाला व्युत्पन्न है, और नियंत्रण व्युत्पन्न है जो अंतर जोर से उत्पादित टोक़ का प्रतिनिधित्व करता है। एक PID नियंत्रक नियंत्रण संकेत प्रदान करता है:

]]]

बंद लूप ट्रांसफर फंक्शन को स्थापित करने और बनाने से क्रम तीन (या अधिक यदि सेंसर गतिशीलता शामिल है) की एक विशेषता बहुपद पैदा होती है।

]]

Routh-Hurwitz criterion तो हमें जड़ों के वास्तविक भागों के संकेत का विश्लेषण करने की अनुमति देता है।

Routh-Hurwitz Criterion: एक व्यवस्थित स्थिरता टेस्ट

एडवर्ड जॉन रोथ और एडॉल्फ हुरविट्ज़ द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित किया गया, रोथ-हुरविटस क्रिएशन रैखिक समय-निर्वरक प्रणालियों की स्थिरता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति प्रदान करता है। यह एक सरणी (रूथ सरणी) बनाने के लिए विशिष्ट बहुपद के गुणांक का उपयोग करता है। इस सरणी के पहले स्तंभ में संकेत परिवर्तन की संख्या सकारात्मक वास्तविक भागों के साथ जड़ों की संख्या के बराबर है। एक प्रणाली के लिए स्थिर होने के लिए, पहले कॉलम में सभी प्रविष्टियों में समान संकेत (आम तौर पर सकारात्मक) होना चाहिए।

रोथ ऐरे का निर्माण

एक बहुपद ] को देखते हुए, Routh सरणी पंक्ति द्वारा पंक्ति बनाई गई है:

• पंक्ति 1: ] - समान रूप से अनुक्रमित शर्तों के गुणांक।
• पंक्ति 2: - विषम-अनुसूचित शर्तों के गुणांक।
• इसके बाद सूत्र का उपयोग करके पंक्तियों को computed किया जाता है: (जहां A1 दूसरी पंक्ति का पहला तत्व है)।

यदि पहले स्तंभ में कोई तत्व शून्य हो जाता है, तो विशेष हैंडलिंग की आवश्यकता होती है (एक छोटे से epsilon के साथ जगह या सहायक बहुपद विधि का उपयोग करें)। यदि एक पूरी पंक्ति शून्य हो जाती है, तो बहुपद में सममित जड़ें होती हैं, और सरणी एक सहायक बहुपद का उपयोग जारी रखा जाता है।

तृतीय-आदेश प्रणाली के लिए स्थिरता की स्थिति

एक घन बहुपद ] के लिए, रूथ-हुर्विट्ज की स्थिति सरल है:

• सभी गुणांक सकारात्मक (आवश्यक स्थिति) होना चाहिए।
• असमानता ] को तीसरे क्रम के लिए पर्याप्त स्थिति (""""""" होना चाहिए।

यह सरल नियम अक्सर पूर्ण सरणी बनाने से पहले एक त्वरित जांच के रूप में प्रयोग किया जाता है।

क्वाडरोटर रोल कंट्रोल सिस्टम के लिए आवेदन

हमारे quadrotor मामले अध्ययन के लिए, रोल अक्ष के लिए विशिष्ट बहुपद, जिसमें पीआईडी नियंत्रक लाभ और रोटर गतिशीलता (समय स्थिर τ के साथ एक प्रथम क्रम अंतराल के रूप में मॉडल) शामिल हैं, निम्नानुसार व्युत्पन्न हो गया:

]]

जहां भौतिक प्रणाली से संख्यात्मक मान हैं: τ = 0.05 s (रोटर टाइम स्थिर), I xx = 0.01 kg · m2, L 2 = 0.5 N · m प्रति यूनिट नियंत्रण। प्रारंभिक PID लाभ को हरिस्टिक ट्यूनिंग के आधार पर चुना गया: K p = 10, K i = 2, K d = 5। प्रतिस्थापन पैदावार:

] → ]]]

रोथ ऐरे का निर्माण

हम इस चौथे क्रम के लिए सरणी का निर्माण करते हैं:

• पंक्ति 1 (s4): 0.05, 15.1, 10
• पंक्ति 2 (s3): 1.5, 52, 0
• पंक्ति 3 (s2): compute b1 = (1.5 * 15.1 - 0.05 * 52) / 1.5 = (22.65 - 2.6) / 1.5 = 13.367; b2 = (1.5 * 10 - 0.05 * 0) / 1.5 = 10; b3 = 0
• पंक्ति 4 (s1): c1 = (13.367 * 52 - 1.5 * 10) / 13.367 = (694.064 - 15) / 13.367 = 50.84; c2 = 0
• पंक्ति 5 (s0): d1 = (50.84 * 10 - 13.367 * 0) / 50.84 = 10

पहला स्तंभ मान हैं: 0.05, 1.5, 13.367, 50.84, 10 - सभी सकारात्मक, कोई संकेत परिवर्तन नहीं। इस प्रकार, इन लाभ के साथ प्रणाली स्थिर है। हालांकि, अगर हम K i = 20 के अभिन्न लाभ को बढ़ाते हैं, तो बहुपद गुणांक परिवर्तन और Routh सरणी संकेत परिवर्तन प्रकट करती है, जिससे अस्थिरता का संकेत मिलता है। यह पैरामीटर अंतरिक्ष अन्वेषण के लिए मानदंड की शक्ति को दर्शाता है।

पैरामीटर ट्यूनिंग का उपयोग करके Routh-Hurwitz Constraint

परीक्षण और आतंकवादी सिमुलेशन के बजाय, Routh-Hurwitz मानदंड अल्जेब्रिक असमानता प्रदान करता है जो स्थिरता के लिए संतुष्ट होना चाहिए। चौथे क्रम में बहुपद हम प्राप्त करने के लिए, आवश्यक स्थितियां हैं:

• सभी गुणांक सकारात्मक: यदि लाभ सकारात्मक और τ > 0 हैं तो स्वचालित रूप से संतुष्ट हैं।
• The first number of the Routh array is not bent बदलाव.

पहली स्तंभ प्रविष्टियों को व्यक्त करके K p, K i और K d के संदर्भ में प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त करके, हमने तीन बाधा समीकरणों को प्राप्त किया। इन असमानताओं को हल करने से लाभ स्थान में एक स्थिर क्षेत्र को परिभाषित किया गया। हमारे quadrotor के लिए, स्थिर क्षेत्र को पाया गया था:

• ]]
• ]]
• ]]
• ] (रूथ की स्थिति से अनुमानित)

इन बाधाओं ने अंतिम लाभ के चयन का मार्गदर्शन किया: K p = 8, K i = 1, K d = 4, जो स्थिर क्षेत्र के भीतर अच्छी तरह से झूठ बोलते हैं और आवृत्ति प्रतिक्रिया के माध्यम से मूल्यांकन करते समय अच्छा चरण मार्जिन भी प्रदान करते हैं।

सिमुलेशन परिणाम और वैधता

में quadrotor का एक गैर-रैखिक अनुकरण Gazebo पर्यावरण का उपयोग स्थिरता मार्जिन को मान्य करने के लिए किया गया था। Routh-Hurwitz-optimized लाभ के साथ, 10 डिग्री के चरण इनपुट के लिए रोल प्रतिक्रिया ने 0.8 सेकंड का एक सेटलिंग समय दिखाया, 5% से कम ओवरशॉट किया, और कोई स्थिर-राज्य त्रुटि नहीं थी। इसके विपरीत, स्थिर क्षेत्र के बाहर लाभ (जैसे, K i = 20) ने 2 सेकंड के भीतर असीम हो गया, जो विचलनपूर्ण दोलन का उत्पादन किया।

आगे की मजबूती परीक्षण में पवन गस्ट को 5 मीटर / एस तक और कम लागत वाली एमईएमएस आईएमयू के सेंसर शोर को शामिल किया गया। नियंत्रक ने सभी मामलों में स्थिरता बनाए रखी, अधिकतम रोल कोण विचलन 1.5 डिग्री के तहत शेष रहा। Routh-Hurwitz मानदंड इस प्रकार न केवल स्थिरता बल्कि मजबूत प्रदर्शन के लिए एक बेसलाइन भी प्रदान की गई।

प्रैक्टिकल कार्यान्वयन विचार

जबकि रोथ-हुर्विट्ज मानदंड एक शक्तिशाली विश्लेषणात्मक उपकरण है, इसमें सीमाएं हैं। यह केवल रैखिक समय-invariant प्रणालियों पर लागू होता है, इसलिए रैखिकीकृत मॉडल ऑपरेटिंग बिंदु के आसपास मान्य होना चाहिए। आक्रामक पैंतरेबाज़ी के लिए, गैर-रेखीय प्रभाव (जैसे, एक्टूएटर संतृप्ति, gyroscopic टोक़) स्थिरता गिरावट का कारण बन सकता है। इंजीनियर्स को रॉथ-हुर्विट्ज़ विश्लेषण के साथ समय-domain सिमुलेशन और आवृत्ति-डोमेन विधि (जैसे Bode साजिश या रूट लोकस के रूप में)])]]]]]] के रूप में होना चाहिए।

इसके अतिरिक्त, डिजिटल कार्यान्वयन नमूना देरी और मात्रात्मक त्रुटियों को पेश करता है। इन्हें एक अतिरिक्त चरण अंतराल के रूप में मॉडल किया जा सकता है, जो प्रभावी चरण मार्जिन को कम करता है। हालांकि, हालांकि, यह अभी भी विशिष्ट बहुपद में एक अतिरिक्त ध्रुव के रूप में डिजिटल नियंत्रण देरी को शामिल करके लागू किया जा सकता है। हमारे quadrotor के लिए, 500 हर्ट्ज पर नियंत्रण लूप को चलाने से 2 एमएस से नीचे की देरी हुई, जिसने Routh सरणी परिणामों को काफी बदल नहीं दिया।

निष्कर्ष

Routh-Hurwitz मानदंड quadrotor ड्रोन के लिए नियंत्रण प्रणाली डिजाइन में एक अनिवार्य पहला कदम है। इस मामले के अध्ययन ने प्रदर्शित किया कि क्वाड्रोटर के रोल अक्ष की विशेषता बहुपद को कैसे निष्क्रिय किया जाए, रोथ सरणी का निर्माण किया जाए और बीजगणित बाधाएं निकाली जाएं जो स्थिर लाभ क्षेत्रों को परिभाषित करती हैं। विधि ने व्यापक सिमुलेशन या प्रोटोटाइप के बिना अस्थिर पैरामीटर सेट की तेजी से अस्वीकृति की अनुमति दी। व्यावहारिक ट्यूनिंग दिशानिर्देशों के साथ Routh-Hurwitz विश्लेषण को एकीकृत करके, इंजीनियर सुरक्षित, विश्वसनीय और उच्च प्रदर्शन वाले ड्रोन उड़ान नियंत्रकों को प्राप्त कर सकते हैं।

Routh-Hurwitz criterion पर आगे पढ़ने के लिए, ]comprehensive विकिपीडिया article] देखें। क्वाडरोटर गतिशीलता पर एक उत्कृष्ट संदर्भ B. Corke द्वारा ]Robotics और स्वायत्त प्रणालियों [[FLT: 3]]]] में कागज है। गहरे नियंत्रण सिद्धांत के लिए, परामर्श Macchigan विश्वविद्यालय MATLAB के लिए नियंत्रण ट्यूटोरियल]]। सिमुलेशन वातावरण [[FLT:FLT:6]]Pixhawk आधिकारिक साइट [FLT]] पर पाया जा सकता है।