制御システムエンジニアリングは、予測可能かつ堅牢なシステムの設計の基礎を提供します。最も強力な分析ツールの中には、Nyquistのプロットと根本的なローカス技術があります。両方の方法は安定性とパフォーマンスを評価しますが、彼らは異なる視点を提供します。彼らの関係を理解することは、システム分析のための包括的なツールキットでエンジニアを装備しています。この記事は、それぞれの方法を深さで探求し、数学的な基礎を通してそれらを接続し、実用的な制御設計でそれらの組み合わせた使用を実証します。

Nyquist のプロットは何ですか。

Nyquist のプロットは、システムのオープンループ転送機能のグラフィカルな表現です。 ]L(s)]は、想像上の軸に沿って評価されます(]]]]s = jω[])。 プロットは、]L(jω)の実物と想像上のコンポーネントを[FLT]を正式に決定するために、エンジニアが正式に割り当てられます。

Nyquist のプロットは、周波数ドメインのインサイトを提供します。低周波では、システムがインテグレータを持っていない場合、通常、プロットは正の実際の軸線の点から始まります。周波数が増加すると、曲線は、フェーズシフトと増加の減少を表す領域を通過します。例えば、最初の注文システムは、右上にあるセミサールとして表示され、高次システムは複数のローブと潜在的なエンサールを展示します。クロック数を分析することにより、0 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - のエンジニアは、約 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ニキストプロットは、時間遅延や非最小限のフェーズ動作を持つシステムにとって特に価値があります。 彼らは、プロットの近接から重要なポイントに直接ゲインとフェーズマージンを視覚化します。 より大きなゲインマージン(-1,0)から実際の軸に沿って、より大きなゲインマージン(単一ゲインの角度差)は、より強固を示しています。 この周波数ベースの評価は、タイムドメインメソッドを補完します。

ルート・ローカステクニックの理解

ルートローカス技術は、[]]のクローズドループ棒のパスをプロットする] - プレーンは、システムパラメータとして、通常、K]を獲得し、ゼロから無限まで変化します。 locusは、棒の位置がトランスゲインとどのように変化するかを明らかにし、安定性と一時的な応答に影響を与えます。 ポールは、適切なハーフ平面に移動すると、不安定性を示し、反対方向の角度や角度を合わせ、または固定軸を合わせます。

ルートローカス法は、特徴的な式1 + K L(s) = 0に依存しています。 locusの建設に関する規則には、ブランチはオープンループの棒で始まり、ゼロで終わります。 実際の軸に沿ってセグメントは、右側の棒の総数とゼロが奇数であるときに表示されます。 そして、無限のアプローチを得るためのアシンプトテスガイドブランチ。 エンジニアは、これらの規則を特定の値を計算するために使用します。

ルートローカスは直感的なデザインフィードバックを提供します。ゲインを調整することで、エンジニアは、特定のダンピング比(例えば、 ステーション=0.5 対 5% オーバーシュート)のドーミナントポールを交換したり、すべてのポールが安定性のために負の実質の部分を持っていることを確実にすることができます。ルートローカスは、ゼロが枝を引き付け、一時的なパフォーマンスを向上させる方法を示しています。このパラメータ化されたビューは、比例やリードラグアなどの古典的なコントローラーチューニングに不可欠の根ローカスになります。

ニキストとルート・ローカスのメソッドの接続

Nyquist は、同じ基礎的なシステムを分析し、異なるドメインから、周波数応答対 s 平面の根の進化を分析します。 それらの接続は、特性の式 1 + L(s) = 0]から発生します。 これらは、両方のルートを検査することにより安定性を評価します]]L(]]]][FLT::3:]]]]][FLT:[FLT:]]]:[FLT:[FLT:]]:[FLT:]:[FLT:]:]:[FLT:]:[FLT:]:[FLT:[FLT:[FLT:]:]:[FLT:[FLT:]:[FLT:[F]:]:]:[FLT:]:[F]:[F]:[FLT:[F]:[FLT:[F]:[FLT:[F]:[F]:[F]:]:]:[F

数学的リンク

特性式 [1 + L(s) = 0は、クローズドループの棒を定義します。 Nyquistのプロットでは、ポイント(-1、0)は1 + L(jω) = 0をいくつかの周波数の[Nyquistプロットが通過すると、クローズドループシステムは、根本的な要因に同じように、根本的な点を増加させる。

数学的に、Nyquist criterion は、不安定なクローズドループ ポール (Z) の数が、不安定なオープンループ ポール (P) と時計回りのエンサーションの数 (N) が (-1, 0) と同等である: Z = P + N. ルート locus は、特定の利益に対して Z を直接計算する。 どちらの方法は、同じ安定性条件を確認します。例えば、システムが 2 つのオープン ループ トランジット (N) を右に示すと Z = N. は、右は、Z = を右に示すようにする。

デザインにおける補完的な使用

エンジニアは、堅牢な設計のための両方の方法を活用します。 Nyquist は、ルート locus が、すべての周波数で利益と相続性を明らかにしない周波数ドメイン ビューを提供します。 Root locus は、Nyquist の欠如をパラメトリック ビューで提供しています。 これにより、利益が棒の位置に直接影響する様子がわかります。 一緒に、彼らは答えます: 「システムが安定していますか?」と「システムが一時的な応答にどのように影響しますか?

例えば、比例したコントローラーを設計するとき、エンジニアは最初に、目的の弱みで優位棒を配置する利益を選択するために、root locus を使用します。 それらは、利益と相続性が堅牢な要件を満たしている Nyquist で検証します。 余白が不足している場合は、それらは利益を調整するか、コンセンサを追加してサイクルを繰り返します。 この反復プロセスは、安定性と性能の両方を保証します。

実用的応用

自動車クルーズ制御から航空宇宙自動操縦まで、Nyquistとroot locus技術を採用したリアルワールド制御システム。Nyquistのプロットは、ネットワーク制御のプロセスや化学反応器などの重要な遅延を伴うシステムにとって不可欠です。プロットは、フェーズラグと潜在的なゲインクロスオーバーの問題を明確に示しています。Root locusは、ポール配置が応答速度とオーバーシュートに直接相関するサーボシステムを調整するために好まれています。

ケーススタディ:モータ速度制御

オープンソース転送機能L(s) = K /(s + 2)(s + 5))でDCモータ速度制御システムを検討してください。 ルートローカスを使用して、エンジニアは、システムが0< K < 30]のために安定していることを決定します。 K = 10[FLT] - は、彼らは、プロパティを30.7%以上、それらが、利益を低下させる可能性があります。

Nyquistのプロットから、同じ利益で、利益率は9.5dBであり、フェーズマージンは22°です。 これらのマージンは、境界線の堅牢性を示します。 エンジニアはK = 5[]]に利益を調整し、フェーズマージンを45°に改善しますが、応答を遅くします。 ルートローカスは、より高い弱みを伴う新しいポールの位置を確認します。 この反復プロセスは、両方のプロットを使用して、バランスの取れた設計を達成します。

多入力マルチ出力システム

ドローンやロボットアーム、Nyquist配列、root locus拡張(例えば複数のパラメーター)など、近代的な制御では、適用します。特徴的な loci メソッドを使用して、Nyquist ベースの解析は、各ループのルート locus テクニックがインサイトを提供する間、行列の転送機能を処理する。彼らの関係は、リターン 差行列の決定者を介して残っています。

比較とコントラスト

Nyquistは、周波数ドメインの堅牢性分析でエクセルをプロットします。ゲインとフェーズマージン、帯域幅、感度。ルートローカスは、過渡応答設計で優れています。減衰比、自然周波数、およびセトリング時間。Nyquistは、より自然に時間遅れを処理します。一方、ルートローカスは近似(例、パテ)を必要とします。ルートローカスは、設計パラメータが他の(例えば、Nyquistは、安定性が直接示す場所に影響を与えません)、どのように影響するかを明らかにします。

どちらの方法も、線形、時間差分システムと仮定します。非線形または時間差分システムの場合、関数やLyapunovメソッドを記述するような補完的なツールが必要です。しかし、古典的な制御では、Nyquist-root locusの関係は基礎的です。

コンテンツ

Nyquist は、ルート locus の技術を組み合わせるのではなく、同じ制御システムの動的に関する補完的な視点です。Nyquist のプロットは、周波数ドメインの安定性と堅牢性の評価を提供します。一方、ルート locus は、棒の移行のパラメーター スペース ビューを提供しています。特徴的な式による彼らの数学的なリンクは、ゲインやフェーズマージンなどの予測が直接ルート locus のバリエーションに収まることを確認します。両方の方法を習得することにより、エンジニアは、多様な機能を備えた多様なアプリケーションを安定的に設計する能力を向上します。

さらなるNyquistのプロットを読んでいる場合は、を参照してください。Nyquistの安定性のトロントノートの大学。 ルートローカスの詳細については、 [MIT OpenCourseWare on control System designを参照してください。 実用的な設計例は]に表示されています。 科学Directのエンジニアリングトピック[]。 これらのリソースは、それらの技術と相互接続の理解を深めます。