状態遷移の行列は、動的システムを分析する上で基本的です。 それらは、特に線形システムで、システムの状態が時間とともに変化する方法を記述します。 この記事では、これらの行列をさまざまなシステムに計算するためのステップバイステップガイドを提供します。

国家トランジション・マトリックスの理解

状態遷移行列は、多くの場合、Φ(t)と表記され、システムの初期状態を後日照合します。システムの差動式から派生し、状態の式への溶液を提供します。

ステップ1:システムを定義する

行列の形でシステムを書くことから始まります。

̇x(t) = A x(t)

A]はシステム行列と[x(t)は状態ベクトルです。

ステップ2: マトリックス指数の計算

状態遷移行列は、]の行列指数を計算することで取得されます。t) によって多岐に渡されます。

Φ(t)= e^{A t}]

これにより、二行列の指数関数を計算することも含まれ、対角化やヨルダンの形態など、さまざまな方法を使って行うことができます。

ステップ3:マトリックス指数の計算

対角化可能なマトリックスのために、次の手順に従ってください:

  • Aのeigenvaluesとeigenvectorsを検索します。
  • 行列]P]を eigenvectors の形式にします。
  • eigenvaluesの対角行列]Dを計算します。
  • e^{A t} = P e^{D t} P^{-1} を計算します。

ここで []e^{D t}[ は、エントリを持つ対角行列 ]]e^{λ i t} です。

追加のメモ

[A]が対角化されていないシステムでは、ヨルダンのフォームまたは数値メソッドを使用してe^{A t}を計算します。 MATLABやPythonライブラリなどのソフトウェアツールは、このプロセスを容易にすることができます。