Integer Programming에 대한 이해

Integer 프로그래밍 (IP)은 정수 값에 약간의 결정 변수를 제한하는 수학 최적화의 지점입니다. 변수가 실제 번호를 취할 수있는 선형 프로그래밍과 달리, 정수 프로그래밍 힘 분리 선택 - 예를 들어, 브리지를 구축하거나 (이진 0‐1 결정) 또는 설치 (수변)에 많은 버스 정류장이 있는지 여부. 이것은 많은 결정이 예 / 아니오 또는 전체 단위에 와서 인프라 계획을위한 자연적 적합하다.

integer 프로그래밍 뒤에 PR 핵심 아이디어는 ]objective function]의 집합에 ]linear constraints]의 집합에 따라 최소화될 수 있습니다. 도시 프로젝트의 경우, 객관적인 기능은 일반적으로 비용과 환경 메트릭을 결합합니다. 제약은 예산 제한, 공간 제한, 법적 요구 사항 및 리소스를 포함할 수 있습니다. SolLT는 검색 공간에 사용되는 가장 적합한 방법]를 포함합니다.

이중 도전: 비용과 환경 영향

Urban Infrastructure 프로젝트는 두 가지 잠재적으로 충돌 목표를 달성하는 압력 증가에 따라 다음과 같습니다. 금융 비용을 최소화하고 환경 해를 줄일 수 있습니다. 전통적인 비용 효율적인 분석은 종종 생태 결과를 볼 수 있으며, 순수 녹색 디자인은 구현이 매우 비싸게 될 수 있습니다. Integer 프로그래밍은 단일 최적화 프레임 워크 내에서 이러한 목표를 정량화하고 균형 잡힌 방법을 제공합니다.

  • Cost Components에는 건설 자재, 노동, 장비, 토지 인수, 허가 및 장기 유지 보수가 포함됩니다. 지연 및 재작업은 더 많은 예산을 부과합니다. IP 모델은 마감일을 초과하거나 탄소 예산을 초과하는 처벌을 통합 할 수 있습니다.
  • 환경 메트릭스 커버 온실 가스 배출, 서식지 파편, 물 런오프, 소음 오염 및 자원 소집. 이러한 많은 것은 도로 건설의 킬로미터 당 CO2의 결정 변수의 선형 또는 조각방향 ‐ 라인의 기능으로 대략적으로 될 수 있습니다.

multi-objective integer program, planners는 Pareto frontier]를 생성할 수 있습니다. 이 경우, 회사는 커뮤니티 우선 순위, 규제 임계 값, 지속 가능성 대상과 일치하는 솔루션을 선택할 수 있습니다.

Urban Infrastructure를 위한 Integer Programming Model 공식화

정의 결정 변수

Decision 변수는 discrete 선택 플래너 얼굴을 캡처합니다. 일반적인 예제는 다음과 같습니다.

  • Binary variables (0‐1): 사이트 X에 새로운 지하철 역이 내장되어야 합니까? 도로가 재활용 아스팔트로 포장되어야 합니까? 물 처리 시설 사용 태양 광 발전이 필요?
  • Integer 변수: 많은 트래픽 차선을 추가하는 방법? 작동하는 많은 버스 노선은? 설치하기 위해 오염 물질의 수?
  • 콘티튜브은 종종 콘크리트의 양 (입방 미터)와 같은 정수와 함께 나타납니다.

Objective 기능 설정

Mathematically, 목적 함수는 비용과 환경 요인의 무게를 달아 지는 합계입니다. 무게는 정책 제작자에 의해 할당된 상대적 중요성을 반영합니다. 예를 들면:

Minimize[ w1 × (건축비) + w2 × (생활비료) + w3 × (국경 사용 영향)

우리는 또한 부드러운 제약 (예를 들어, 소음 제한을 초과)을 위반하기위한 처벌 조건을 포함 할 수 있습니다. 무게가 정의하기 어려울 때, 플래너는 [[FLT : 0]]]lexicographic 주문[FLT : 1] - 우선 비용 절감을 최소화하고, 똑같이 비용 대안 중 배출량을 최소화 할 수 있습니다.

Incorporating 제약

Constraints는 수학 방정식으로 실제의 한계를 번역:

  • 보장: 총 비용 ≤ 사용 가능한 자금.
  • 공간 불임: 두 개의 시설은 동일한 플롯을 묵을 수 없습니다 (예: 공원과 주차장). x1 + x2 ≤ 1과 같은 바이너리 제약을 사용하십시오.
  • 흡연 캡: PM2.5 배출량 ≤ 10톤/년.
  • 로컬 컨덴스:] 폐수 플랜트가 내장된 경우 하수관은 내장되어야 합니다(비례: x pipe ≥ x plant).
  • 자료실: 사이트 내의 사용가능한 강철, 노동시간, 장비 용량.

모델 해결

CPLEX, Gurobi, 또는 SCIP]과 같은 특수한 해결사는 수천 개의 변수와 제약 문제를 처리할 수 있습니다. PuLP (PyLT:7]) 또는 ]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

사례 연구 및 실무적 응용

로드 네트워크 디자인

새로운 고속도로 네트워크는 도로 세그먼트를 선택하기 위해 인테거 프로그래밍을 사용하여 건설 비용과 서식 파편을 최소화합니다. 결정 변수는 각 후보 세그먼트 (기본)를 나타냅니다. 제약은 네트워크 연결 및 교통 수요 만족을 보장합니다. 목표는 킬로미터 당 비용과 생태 영향 평가에서 파생 된 환경 점수를 결합합니다. 결과 두 세그먼트를 약간 더 긴 경로로 이동하면 4%를 추가하면서 4%를 비용이 절감됩니다.

폐기물 ‐ 에너지 시설 Siting

폐기물을 줄이기 위해 지역 선택은 에너지 플랜트가 증가하는 추세를 나타냅니다. 이 모델은 폐기물, 플랜트 건설 비용, 운영 비용, 근접 제한 (예 : 500m의 학교)에서 배출을 운반하는 운송 비용을 포함합니다. 정수 프로그램은 동시에 위치 및 용량을 최적화합니다. 유럽의 3 ‐ 현장 구성이 5 ‐ 현장 계획과 총 배출량을 12%로 계산하는 것으로 나타났습니다.

시설 위치 최적화에 대한 자세한 내용을 보려면 ]이 교통 과학 논문을 참조하십시오.

교통 Electrification

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구현 도전

도시 인프라를 위한 인테거 프로그래밍에도 불구하고 플러그 앤 플레이 도구가 아닙니다. Planners는 여러 실용적인 장애물을 직면해야합니다.

  • 데이터 품질 및 가용성: 환경 영향 데이터 (예: 습관 손실, 수명 주기 배출)는 종종 불확실하거나 불완전합니다. 감도 분석은 중요한 매개 변수를 식별하는 데 도움이됩니다.
  • Computational complexity: Integer 프로그램은 NP‐hard입니다; 큰 문제 (예 : 10,000+ 결정과 도시 전체 네트워크)는 시간 또는 해결을 필요로 할 수 있습니다. 미래 및 메타 헤리티지는 좋은하지만 최적의 솔루션을 보장 할 수 있습니다.
  • Stakeholder 수용: Mathematical 솔루션은 정치 또는 커뮤니티 선호도와 충돌할 수 있습니다. 투명 통신 및 상호 작용하는 의사 결정 지원 대쉬보드는 갭을 브릿지합니다.
  • Dynamic 조건: 건설비, 규정 및 환경 기본 변경 시간이 지남에 따라. IP 모델은 업데이트 된 데이터로 정기적으로 재시작되어야한다.

integer 프로그래밍을 포함한 공공 정책의 운영 연구에 대한 포괄적 인 가이드 - MIT OpenCourseWare 과정 "The Analytics Edge"은 실제 사례를 제공합니다.

미래 지향: 다른 도구와 IP 통합

지리 정보 시스템 (GIS)

GIS와 IP를 결합하면 공간적으로 명시된 최적화를 가능하게 합니다. 플래너는 토지 이용지도, 홍수 구역 및 인구 통계 데이터를 오버레이할 수 있습니다. GIS 출력은 정수 프로그램에 입력됩니다(예: 거리, 적합 점수). 이 융합은 녹색 인프라 계획에서 사용됩니다. 비 정원과 침투성 파베를 배치하는 데는 비용이 최소화하면서 물 캡처를 극대화할 수 있습니다.

Parameter Estimation을 위한 기계 학습

예측 모델은 IP로 공급하는 건설 비용, 에너지 수요 또는 생태적 영향 계수를 추정 할 수 있습니다. 예를 들어, 과거 프로젝트에서 훈련 된 신경 네트워크는 IP 목표에서 직접 표시된 도로의 킬로미터 당 배출 요소를 예측합니다.

Stochastic 정수 프로그래밍

미래 도시 프로젝트는 수요, 기후 패턴 및 재료 가격에서 불확실성을 직면 할 것입니다. Stochastic IP는 다양한 미래에 걸쳐 잘 수행되는 견고한 솔루션을 생산하는 여러 시나리오를 통합합니다. 이것은 해안 도시에 홍수 제어 인프라에 특히 관련이 있습니다.

]도시 인프라 및 OR에 대한 정보의 기사는 깊이에 대한 이러한 고급 모델링 방향에 대해 논의합니다.

결론: 더 똑똑한, 온실 도시 만들기

Integer 프로그래밍은 도시 인프라 계획을위한 엄격한 데이터 중심 프레임 워크를 제공합니다. 비용 및 환경 영향이 균형을 잡을 때 IP 모델은 플래너가 혼자 직관에 의해 찾을 수없는 수천 가지 대안과 발견 솔루션을 평가하는 데 도움이되는 플래너를 지원합니다. 도로 네트워크 및 운송 시설에 대한 트랜스 electrification에서 앉는 실제 ‐ 세계 응용 프로그램은 명확한 혜택을 보여줍니다. 비용, 감소 된 배출 및 토지 및 재료의 효율적인 사용.

도시가 계속 성장하고 얼굴을 단단히 예산과 엄격한 환경 규정으로, 정수 프로그램은 도시 플래너의 툴킷에 필수적인 도구가 될 것입니다. 성공의 열쇠는 적절한 해결사, 최적화 프로세스 전반에 걸쳐 이해 관계자를 사용하여 품질 데이터에 투자하고 있습니다. 이러한 기술을 바탕으로 도시는 사람들과 지구를 봉사하는 인프라를 구축 할 수 있습니다.