Nyquist Plots와 Root Locus 기술 간의 관계 탐구

제어 시스템 엔지니어링은 예측과 견고하게 행동하는 시스템을 설계하기위한 기초를 제공합니다. 가장 강력한 분석 도구 중에는 Nyquist 플로트와 루트 로커스 기술이 있습니다. 두 가지 방법 모두 안정성과 성능을 평가하는 동안 그들은 명백한 관점을 제공합니다. 그들의 관계를 이해하는 것은 시스템 분석을위한 종합 툴킷 엔지니어를 갖추고 있습니다. 이 문서는 깊이의 각 방법을 탐구하고 수학 기반을 통해 연결하고 실용적인 제어 디자인에서 결합 된 사용을 보여줍니다.

Nyquist Plots는 무엇입니까?

Nyquist 플로트는 시스템의 개방 루프 전송 기능의 그래픽 표현 L(s) imaginary Axis (]s = jω]). 도형은 L(jω)]의 실제 및 상상 구성 요소를 지도한다. 주파수는 Nyquist 플로트의 안정성에 따라 달라집니다. ( Nyquist 플로트는 NUTR).

Nyquist 플로우는 주파수 대시 통찰력을 제공합니다. 낮은 주파수에서, 도형은 일반적으로 시스템의 정수기가 없어지면 긍정적 인 실제 축의 지점에서 시작한다. 주파수 증가로, 곡선은 단계 이동을 나타내는 지구를 통과하고 강화를 얻습니다. 예를 들어, 첫 번째 주문 시스템은 오른쪽 사각형의 반경으로 나타납니다. 더 높은 주문 시스템은 여러 개의 랍스터 및 잠재적 인 적격을 전시하면서. 예를 들어, 첫 번째 주문 시스템은 0-1-order 시스템의 엔지니어를 통해 폐쇄 될 수 있습니다. (예 : 0-1-order 시스템)는 0-1-order 시스템의 엔지니어의 수를 분석하여 닫을 수 있습니다.

Nyquist 플로트는 특히 시간 지연 또는 비 최소 단계 행동을 가진 시스템에 대한 귀중한. 그들은 중요한 점에 플롯의 근접에서 직접 이득과 단계 마진을 시각화. 더 큰 이득 마진 (실제 축에 따라 1,0) 및 단계 마진 (단위 이득의 각도 차이) 더 강력한 견고함을 나타냅니다. 이 주파수 기반 평가는 시간별 방법을 보완합니다.

뿌리 Locus 기술을 이해

루트 locus 기술은 ]에서 닫히는 루프 극의 경로를 -시스템 매개 변수로 비행기, 일반적으로 K], 0에서 무한대에 따라 다릅니다. locus는 극 위치가 증가하는 방법을 보여준다, 직접 안정성과 일시적 응답에 영향을 미치는. 오른쪽 반편 비행기로 이동하는 극은 불안정성을 나타냅니다, 실제적인 쌍방향 또는 댐퍼를 따라, 자연적인 댐퍼와 같은 댐퍼를 나타냅니다.

루트 locus 방법은 특성 방정식 1 + K L(s) = 0에 의존합니다. locus를 건설하기위한 규칙은 다음과 같습니다. 오픈 루프 극과 제로에서 시작; 실제 축을 따라 세그먼트는 오른쪽에 극과 제로의 총 수가 확률이 높을 때 나타납니다; 그리고 asymptotes 가이드 분지의 이익 접근으로 무한합니다. 엔지니어는 이러한 규칙을 사용하여 특정 위치에 대한 특정 값 또는 특정 값에 대한 특정 값을 얻을 수 있습니다.

루트 locus는 직관적 인 디자인 피드백을 제공합니다. 이득을 조정함으로써, 엔지니어는 특정 댐핑 비율 (예를들면, OU = 0.5 5%의 과잉)을 위해 특정한 댐핑 지배적인 극을 원하거나 모든 극을 안정성에 부정적인 실제 부품을 보장 할 수 있습니다. 루트 locus는 또한 0이 점을 끌고, 일시적 성능을 개선하는 방법을 보여줍니다. 이 매개 변수화 된 전망은 고전적인 컨트롤러 튜닝에 뿌리 locus를 갖추거나 비례 또는 리드-리그레이터와 같은.

Nyquist 및 Root Locus 방법 연결

Nyquist 플로트와 루트 locus 기술은 동일한 언더링 시스템을 분석하지만 다른 도메인 - 주파수 응답 versus s-plane root 진화에서. 그들의 연결은 특성 방정식 1 + L(s) = 0에서 발생한다. Nyquist 크리터는 L(s) Nyquist ]의 루트를 모두 예측하여 안정성 평가한다.

수학 링크

특정 방정식 1 + L(s) = 0는 닫히는 루프 극을 정의합니다. Nyquist 플로트에서, 포인트 (-1, 0)은 1 + L(jω) = 0]]]]에 해당합니다. Nyquist 플로트가 통과하면 (-1, 0 극), 폐쇄 루프 시스템은 임차인이 스트로크에 대한 얻은 점에서 동일한 점에서 얻은 점에서 얻은 점에서 얻은 점에서 같은 점에서 얻은 점에서 얻은 점입니다.

Mathematically, Nyquist 선명한 상태는 불안정한 닫히는 반복 극 (Z)의 수가 주어진 이익을 위한 불안정한 열린 반복 극 (P)의 수와 동등한 것 (N)의 시계방향 경적 (-1, 0)의 수를 동등한 것: Z = P + N. 뿌리 locus는 직접 Z를 보상합니다. 두 방법 모두 동일한 안정성 상태를 확인합니다. 예를 들면, 체계가 오른쪽에 있는 2개의 열리는 반복 극이 있는 경우에, nyquist 선명한 비행선은, 두개의 좌측 좌측에 있는 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측에 있는 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측 좌측

디자인에 있는 Complementary 사용

엔지니어는 강력한 디자인에 대한 두 가지 방법을 활용합니다. Nyquist 플로트는 루트 locus가 아니라 모든 주파수에서 이득과 위상 마진을 밝혀주는 주파수 돔보기를 제공합니다. 루트 locus는 Nyquist 부족이 무엇인지 보여주는 기하학적 전망을 제공합니다. 함께, 그들은 "시스템 안정?"및 "방법은 일시적 응답에 영향을 미칠 수 있습니까?"

예를 들어 비례 컨트롤러를 설계 할 때, 엔지니어는 먼저 루트 locus를 사용하여 원하는 습기를 공급으로 지배적 인 극을 선택해야합니다. 그들은 그런 다음 nyquist로 검증하고 단계 마진은 견고성 요구 사항을 충족합니다. 마진이 충분하면, 그들은 이득을 조정하거나 보상기를 추가하고 사이클을 반복합니다. 이 이 이 이 결정 과정은 안정성과 성능을 모두 보장합니다.

Practical 신청

자동차 크루즈 컨트롤부터 항공 우주 자동 조종 장치-employ Nyquist 및 루트 locus 기술에 이르기까지. Nyquist 플로우스는 네트워크 제어 프로세스 또는 화학 반응기와 같은 상당한 지연을 가진 시스템에 필수적입니다. 도형은 명확하게 단계 래그 및 잠재적 인 이득 크로스 오버 문제를 보여줍니다. 루트 locus는 응답 속도와 오버워치와 직접 상관 관계되는 서보 시스템을 조정하는 데 선호됩니다.

사례 연구: 모터 속도 제어

개방형 루프 전송 기능이있는 DC 모터 속도 제어 시스템을 고려 [[FLT : 0]] L (s) = K / (s (2) (s + 5)] [FLT : 1]. 루트 locus를 사용하여 엔지니어는 시스템이 [[FLT : 2]]] 0 [[FLT : 3]]] (무거울이 임계 축을 교차)에 안정적으로 유지된다는 것을 결정합니다. [[FLT : 4]]K = 10[FLT : 1]] : 2]]]]] 0 [[FLT : 3]]]]]의 댐핑을 초과하거나, 댐핑을 감소시킬 수 있습니다.

Nyquist 플로트에서 동일한 이득에서, 이익 마진은 9.5 dB 및 단계 마진은 22°입니다. 이 마진은 국경 견고함을 나타냅니다. 엔지니어는 K = 5에 이익을 조정하고, 45°에 단계 마진을 개량하고 응답을 느리게 합니다. 루트 locus는 더 높은 습기를 가진 새로운 극 위치를 확인합니다. 이 유동적 과정은, 둘 다 도형기를 사용하여, 균형을 잡은 디자인을 달성합니다.

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비교 및 대비

Nyquist 플로트는 주파수 대역 견고 분석에 발췌 : 이득 및 단계 마진, 대역폭 및 감도. 일시적 응답 디자인의 루트 locus 발췌 : 댐핑 비율, 자연 주파수 및 고정 시간. Nyquist 핸들 시간 지연 더 자연적으로-단계 랩-while 루트 locus는 약화 (예 : 패레)을 요구합니다. 루트 locus는 이득 (예 : 0, 0 위치)보다 다른 디자인 매개 변수를 공개합니다. Nyquist는 Nyquist 안정성이 직접 표시되지 않습니다. Nyquist는 Nyquist 플로트가 직접적으로 측정하지 않습니다. Nyquist 플로트는 주파수 대역의 강력한 분석에 영향을줍니다.

두 가지 방법은 선형, 시간 - 내부variant 시스템을 가정합니다. 비선형 또는 시간 - 배링 시스템의 경우, 기능 또는 Lyapunov 방법을 설명하는 것과 같은 보완 도구가 필요합니다. 그러나 고전적 제어 내에서 Nyquist-root locus 관계는 기초입니다.