엔지니어링의 첫 번째 주문 차동에 대한 소개

이 가이드는 진정한 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의 스타일의

첫 번째 주문 차동은 무엇입니까?

첫 번째 명령 차동 방정식은 알 수없는 함수 y] x])를 첫 번째 파생 dy/dx에 리레이트합니다. 일반적인 형태는

dy/dx = f(x, y)

함수는 f은 ]x과 y] 모두의 선형 또는 비선형이 될 수 있다. 방정식의 순서는 가장 높은 파생상품을 나타냅니다. 이 방정식은 변경의 비율을 설명하고 있습니다. 온도 감퇴, 현재 흐름, 온도, 화학적 반응, 그리고 기타 물질적 반응에 따라 달라집니다.]는 다음과 같은 변수를 나타냅니다.

예를 들어, Newton의 냉각 법은 객체의 온도의 변화의 비율 T]t]])는 객체와 환경의 차이에 비례합니다. 그것은 먼저 ‐ 의문 방정식 dT/dt = –k(T – Ten[FLT]]]]]]]]]].]].

첫 번째 주문 차동을 해결하는 방법

여러 가지 잘 설정된 기술은 특정 구조상 형태에 적용된 첫 번째 명령식, 각을 해결하는 데 존재합니다. 이러한 방법을 마스터하면 엔지니어가 직접 방정식에 적합한 도구를 선택할 수 있습니다.

분리가능한 동등한 것

첫번째 순서 방정식은 separable] x]의 기능으로 쓸 수 있는 경우에 y의 기능:

dy/dx = g(x) · h(y)

해결책은 양면을 배열하고 통합해서 얻어집니다:

] (x) dx

완전한 침식 후, 우리는 y]을 위해, 또는 불합성 형태로 해결책을 남겨두면 명시적으로 해결합니다. 분리식은 종종 증가 및 감퇴 문제로 나타납니다. 방사성 감퇴 또는 저항기를 통해 축전기의 충전 / 방전과 같은.

예: 솔브 ]dy/dx = 2xy]. 분리형 변수: (1/y)dy = 2x dx]. 통합: ln|y|=x2 + C.][FLT:]]]]]]]]]]][FLT:]]]]]]]][FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:]]]]]]]]]][FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT

선형 일류 Equations

선형 첫번째 순서 방정식에는 표준 모양이 있습니다:

dy/dx + P(x) y = Q(x)

여기서 P과 Q]은 ]x]의 함수입니다. 이 유형의 해결의 핵심은 ]integrating Factor로 정의됩니다.

μ(x) = e]] ]

μ(x)의 방정식의 양쪽을 곱하면 μ(x)의 유래물로 왼쪽을 변환합니다 y:

d/dx [μ(x) y ] = μ(x) Q(x)

통합 수율:

μ(x) y = s s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = s y = y = s s s s s s y = s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s

마지막으로, μ(x)로 나눕니다. y] 을 얻으려면. 선형 방정식 모델은 RL 및 RC 회로, 일정한 주위 온도와 열전달, 그리고 첫 번째 명령 제어 시스템 응답을 포함하여 많은 물리적 시스템을 갖는다.

정확한 Equations

NULL의 전자식 방정식은 M(x, y)dx + N(x, y) dy = 0] 라고 합니다 exact] 부분 파생물이 만족하면 ∂M/∂y = ∂N/∂x. 그 경우, 그 결과, 그 범위는 δx, NULLX, NULLX, NULLX, NULLX, NULLX, NULL, NULLX, NULL, NULLX, NULLX, NULLX, NULL, NULL, NULL, NULL, NULL, NULL, NULL, NULL, NULL, N)에 해당 필드에 해당합니다.

Bernoulli의 사명

Bernoulli 방정식은 양식의 비선형식입니다.

dy/dx + P(x) y = Q(x) yn]]]

여기서 n은 0 또는 1과 동일하지 않은 실제 번호입니다. 하위 대용 v = y]1 – n]]]]에 의해 선형식으로 변환될 수 있습니다. 이 방법은 유체 기계 공학에 유용합니다. 예를 들어, 다공성 미디어 또는 특정 화학 반응에 있는 흐름 모델링.

의원 첫번째 순서 동등한 것

첫번째 순서 방정식은 ]의 기능 f(x, y)]의 함수로 표현할 수 있다 y/x]. 즉, dy/dx = F(y/x)]의 역학적 문제와 같은 역학적 문제로 나타낸다. ]]의 의 역학적 문제로 나타낸다.

기술 분야

첫 번째 학기별 차분한 방정식은 많은 엔지니어링 모델의 건물 블록입니다. 아래는 네 가지 주요 영역에서 상세한 예입니다.

열 시스템: Newton의 냉각 법

유체 매체의 단단한 물체의 냉각은 냉각의 뉴턴의 법에 따릅니다:

dT/dt = –k (T – T∞])]]

T은 객체 온도, T]∞]]는 주변 온도, ]k]는 표면 영역과 열전달 계수에 따라 긍정적 인 상수입니다. 이것은 선형 첫번째 ‐순식입니다. 초기 조건 [[LTLT:0]]:0]]:0]]:0]]:0]]

T(t) = T∞]] + (T]0] – T∞]) e]]–kt

엔지니어는 전자 장치에서 열 시간 일정을 평가하는 fins를 냉각하는 이 방정식을 사용하고 열처리 도중 물자의 온도 역사를 예측합니다.

전기 회로: RC 회로 응답

전압 소스와 시리즈 RC 회로 ]Vs(t), 커패시터 전압 v]]c]] satisfies:

]RC dvc]/dt + v]c] = V]]](t)]]]

이것은 선형 첫번째 순서 방정식입니다. 일정한 단계 전압 V]s]] = V]0]] ]와 처음 vc(0) = 0, 해결책은:

vc](t) = V]0]] (1 – e]]-t/(RC)]]]]]

제품 RC은 시간 상수, 빨리 축전기 요금을 특성화하는 방법 이다. RC 회로는 타이밍 회로, 필터 및 신호 조절에서 ubiquitous입니다.

유체 역학: 연속 스러레드 ‐탱크 반응기 (CSTR)

완벽하게 혼합 탱크 원자로에서, 화학 종의 질량 균형은 다음과 같이 나뉩니다.

V dC/dt = Q (C]in] – C) – k C V]

여기서 V은 볼륨, Q] 부피 유량, C] 농도, ]C]]]in] 입구 농도, k]] 의 값은, 의 값은, 의 값은, 의 값은, 의 값은, 의 값은, 값은, 값은, 값의 값의 값의 값에 대한 값이 있는 값이, 값의 값이, 값이, 값의 값의 값의 값이, 값의 값의 값의 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값의 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이, 값이,

제어 시스템: 첫번째 순서 체계 응답

간단한 보온장치 또는 negligible 유도를 가진 모터와 같은 많은 통제 시스템은, 첫번째 순서 체계로 모델링됩니다:

댄디/dt + y = K u(t)]

여기 ] τ]는 시간 상수, K]] 안정된 ‐state 이득, u(t)]] 입력. 단위 단계 입력에 대한 솔루션 u(t) = 1 0 초기 조건 [[FLTLT:8]]]] ]]]] ]]]]] ]]]]]] ]]]]]]]] ]]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

예: 개체의 냉각 – 전체 솔루션

일반적인 문제를 통해 일하자. 200°C에 금속 부속은 25°C에 방에서 둡니다. 냉각 일정한 k = 0.02 min−1. 50°C에 도달하기 위하여 요구되는 온도를 찾아내십시오.

단계 1 – 동등 및 초기 조건

차분한 방정식: dT/dt = –0.02 (T – 25), T(0) = 200].

Step 2 – 정수를 사용하여 정수 인자 메서드

방정식은 선형이다: dT/dt + 0.02 T = 0.5]. 통합 인자 μ(t) = e]] 0.02 dt]]] = e]]0.02t .

Step 3 – 곱하고 통합

d/dt [ e0.02t] T ] = 0.5 e0.02t]]]]. 통합: e0.02t T = 25 eLT]0.02t[FLT]]]]]]]]]]]FLT:2]]FLT:2FLT:2]]]]]]]]]]]]][

Step 4 – 초기 조건] 적용

T(0) = 200 → 200 = 25 + C → C = 175. 그래서 T(t) = 25 + 175 e]]–0.02t].

5 단계 – 30 분 후 온도

T(30) = 25 + 175 e–0.6] ≈ 25 + 175 × 0.5488 = 121.0°C].

Step 6 - 50°C에 도달하는 시간]

]50 = 25 + 175 e–0.02t]] → ]e]–0.02t] = 25/175 ≈ 0.1429. 자연 로그를 가져다: –0.02t=ln(0.1LT:9]]

이 솔루션은 실제 행동을 예측하고 엔지니어링 결정을 내릴 수있는 차별 방정식의 힘을 보여줍니다.

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더 읽기를 위해,이 리소스를 탐구: MIT OpenCourseWare – 차분한 Equations], Khan Academy – 첫 번째 주문 차분], Paul’s Online Math Notes – 차분한 Equations.