Transform Fourier Fast (FFT) adalah algoritme yang efisien untuk komputasi Discrete Fourier Transform (DFT). Algoritme Cooley-Tukey adalah metode yang paling umum untuk menerapkan FFT, mengandalkan dekomposisi rekursif dari DFT. Memahami fondasi matematikanya membantu dalam mengoptimasi dan menerapkan algoritme secara efektif.

Dasar Matematika Maksimal FFT

FOTA FT mengubah urutan bilangan kompleks menjadi komponen frekuensi. Ini didefinisikan sebagai:

⁇ ]X(k) = ⁇ ]n ⁇ N-1] x(n) e-2 ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

toolhan di mana x(n)[ adalah urutan input, X(k) adalah komponen frekuensi, dan N adalah panjang sekuens.

Derivasi dari algoritma Cooley-Tukey

Algoritma Cooley-Tukey menguraikan DFT ke dalam DFT yang lebih kecil dengan membagi urutan ke dalam bagian genap dan ganjil:

X`k) = ⁇ ]n ⁇ N-1 x(n) e-2 πi kn/N

Zaindon yang dapat ditulis ulang sebagai:

X(k) = ⁇ ]n ⁇ N/2-1 x(2n) e-2 ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ] + e]-2 ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ] ⁇ ]][FLT]]][FLT]:2[t1][t][t][t1]][t1][t]]]:2[t1][t]][t]]]][t]]]]

Pemisahan morfio ini memungkinkan komputasi rekursif dari DFT yang lebih kecil, mengurangi kompleksitas komputasi dari O(N2) ke O(N log N).

Mengaplikasikan Algoritma

Algoritme FFT uglikasi FFT menerapkan dekomposisi rekursif berulang kali sampai kasus dasar ukuran 1 tercapai. Hasilnya kemudian digabungkan menggunakan faktor twiddle, yang merupakan istilah eksponensial kompleks:

WN(k) = e-2 ih k/N]

Faktor - faktor ini menyesuaikan fase DFT yang lebih kecil selama rekombinasi, memungkinkan pengiraan yang efisien dari transformasi penuh.