Теоретические основы анализа ячеек в теории цепей

Введение в Mesh-анализ

Сетчатый анализ является краеугольным камнем теории линейных цепей, обеспечивая систематический метод определения неизвестных токов в электрической сети. Сосредоточив внимание на токах, которые циркулируют в независимых петлях — или сетках — планарной цепи, инженеры могут уменьшить сложную сеть до управляемого набора линейных уравнений. Этот метод опирается непосредственно на Закон напряжения Кирхгофа (KVL) и является одним из двух фундаментальных методов анализа, преподаваемых во вводных курсах электротехники, другой является узловым анализом. Сетчатый анализ особенно эффективен для схем, которые содержат много источников напряжения и относительно мало узлов, поскольку количество требуемых уравнений равно количеству сеток, а не количеству узлов.

Изящность сетчатого анализа заключается в его способности навязывать согласованную конвенцию знаков и обрабатывать резистивные, емкостные и индуктивные элементы равномерно через их импедансные представления.В этой статье мы исследуем теоретические основы сетчатого анализа, получаем его математическую формулировку, обсуждаем практические соображения, такие как зависимые источники и непланарные топологии, и исследуем его приложения в современном моделировании и проектировании схем.

Теоретические основы

В своей основе, сетчатый анализ построен на двух столпах законов Кирхгофа: Закон Кирхгофа о текущем (KCL) и Закон Кирхгофа о напряжении (KVL). В то время как KCL управляет сохранением заряда в узлах, KVL обеспечивает сохранение энергии вокруг замкнутых контуров. Анализ сетки применяет KVL к каждой сетке в цепи, рассматривая сетчатые токи как неизвестные. Теоретические истоки могут быть прослежены до статьи Густава Кирхгоффа 1845 года, где он сформулировал эти законы, которые остаются действительными для контуров с комковатыми элементами на частотах, где квазистатическое приближение держит. Для дальнейшего исторического контекста см. запись Энциклопедии Британника о законах Кирхгофа .

Закон напряжения Кирхгофа (KVL)

KVL утверждает, что алгебраическая сумма всех падений напряжения вокруг любого замкнутого контура в цепи равно нулю. Это прямое следствие консервативного характера электрического поля в модели с сгустком-схемой. При применении KVL к сетке мы суммируем напряжение по каждому элементу в петле, заботясь о назначении положительного знака для повышения напряжения (например, при переходе от отрицательного к положительному выводу источника напряжения) и отрицательного знака для падений напряжения (например, через резистор в направлении потока тока). Уравнение, которое приводит к каждой сетке, является линейным в токах сетки.

Действующий закон Кирхгофа (KCL)

KCL утверждает, что алгебраическая сумма токов, входящих в любой узел, равна нулю. В сетчатом анализе KCL неявно удовлетворяется определением токов сетки. Предполагая, что вокруг каждой сетки протекает уникальный ток, и выражая токи ветвей в виде линейных комбинаций этих токов сетки, токи в узлах автоматически удовлетворяют KCL. Это неявное принудительное исполнение является одной из причин, по которой сетчатый анализ обычно дает меньше уравнений, чем метод на основе узла для схем со многими узлами.

Концепция Mesh Current

Сетка определяется как петля, которая не содержит никаких других петлей в ней на схеме схемы — по существу, «окно» в плоской цепи. Каждой сетке присваивается ток сетки, часто обозначаемый I , I ₂ и т. д. Направление каждого тока сетки произвольно, но обычное направление по часовой стрелке используется для поддержания согласованности. Фактический ток, протекающий через конкретный элемент, является тогда алгебраической суммой токов сетки, которые проходят через этот элемент. Например, резистор, разделяемый двумя сетками, несет ток сетки, равный разности двух токов сетки.

Это представление уменьшает число неизвестных от общего числа токов ветвей до числа независимых сеток. Для планарной схемы с B и N узлами число независимых сеток M приводится M = B — N + 1, как получено из теории графов плоских сетей. Это фундаментальное соотношение лежит в основе эффективности анализа сеток.

Математическая формула

Процесс настройки сетчатых уравнений включает в себя три этапа: идентификация всех сеток, назначение токов сетки и применение KVL к каждой сетке. Полученные уравнения образуют линейную систему, которую можно решить вручную для небольших цепей или компьютером для больших сетей. Коэффициенты токов сетки определяются сопротивлениями (или, в более общем смысле, импедансами) элементов схемы, а постоянные условия исходят из источников напряжения. Четкое, пошаговое руководство к этой процедуре обеспечивается Все о схемах .

Линейная система уравнений

Рассмотрим простую двухмешевую резистивную схему с резисторами R₁, R, , R и источниками напряжения V_{2II2, как по часовой стрелке. Применение KVL к левой сетке даёт:}

R₁1R —_2V1[

Для правильной сетки:

R₃2₁V₂[[

Обратите внимание, что источник напряжения V₂ пройден от положительного к отрицательному выводу, поэтому он появляется с отрицательным знаком.Эти два уравнения можно перегруппировать в стандартную линейную систему:

R₁+R₂₁ —_{2 =1}

R₂1R_22V2

Матрица форма

Вышеупомянутая система может быть записана компактно в форме матрицы как RI =V, где R является матрицей сопротивления сетке (симметричной для цепей, содержащих только резисторы и независимые источники), I является вектором столбца токов сетки, а V является вектором столбца вкладов источника напряжения.В целом для M сетки:

R =Rij, где Riii], Rijij является отрицательным от суммы сопротивлений, общих для сеток i и j.

Эта матричная формулировка естественным образом поддается методам вычислительного решения, таким как гауссовское устранение или разложение LU. Симметрия матрицы (при отсутствии зависимых источников) также намекает на основную ортогональность токов сетки, свойство, используемое в некоторых передовых методах анализа схем.

Решение с правилом Крамера или гауссовской ликвидацией

Для малых схем правило Крамера может применяться для нахождения каждого тока сетки в качестве соотношения детерминантов. Для более крупных схем гауссовское устранение более практично. Процесс включает в себя преобразование дополненной матрицы R | V в форму строкового эшелона и обратное замещение. Современные симуляторы схем, такие как SPICE, решают систему с использованием разреженных матричных методов, которые используют топологию сети для минимизации памяти и времени вычислений. Математическая основа сетчатого анализа, таким образом, тесно связана с линейной алгеброй и информатикой.

Практические соображения

В то время как основная процедура анализа сетки работает для простых резистивных схем с независимыми источниками напряжения, реальные схемы часто вводят осложнения: непланарные топологии, зависимые источники и источники тока.

Планар против непланарных схем

Сетчатый анализ строго применим только к плоским схемам — тем, которые могут быть нарисованы на плоской поверхности без каких-либо пересекающихся ветвей. Если схема не плоская, то есть ветви пересекаются и не могут быть перерисованы без пересечения, то концепция сетки теряет свою геометрическую простоту. В таких случаях должен использоваться петлевой анализ (который использует дерево и котрево из теории графов) или узловой анализ. Дополнительную информацию о различии можно найти в статье в Википедии о сетчатом анализе Для непланарных схем инженеры часто обращаются к узловому анализу, который не требует планарности.

Когда источник тока присутствует и лежит на границе между двумя сетками, он создает ограничение, которое связывает токи сетки. Чтобы избежать записи KVL непосредственно через источник тока (что не является простым), мы объединяем две пораженные сетки в «супермешку». Супермешь представляет собой замкнутый путь, который исключает источник тока, но включает все другие элементы двух сеток. KVL применяется к супермешке, и источник тока обеспечивает вспомогательное уравнение, относящееся к токам сетки. Этот метод также аналогичен суперузлу в узловом анализе. Подробные примеры метода супермеш доступны на таких сайтах, как Electrical4U.

Сравнение с нодальным анализом

Сетчатый анализ и узловой анализ являются двойственными методами. Сетчатый анализ использует KVL и рассматривает токи сетки как неизвестные; предпочтительнее, когда схема имеет меньше сеток, чем узлов. Нодальный анализ использует KCL и рассматривает напряжения узлов как неизвестные; предпочтительнее, когда схема имеет меньше узлов, чем сетки. Для схем с множеством источников напряжения сетчатый анализ часто упрощает уравнения, поскольку источники напряжения становятся известными константами с правой стороны. И наоборот, схемы со многими источниками тока более поддаются узловому анализу. Оба метода являются линейными и могут быть автоматизированы, но выбор зависит от топологии и предпочтения аналитика. В современном моделировании схем реализованы оба метода, часто объединяемые в модифицированном узловом анализе (MNA), который обрабатывает как источники напряжения, так и источники тока естественным образом.

Приложения в инженерии

Сетчатый анализ — это не просто академическое упражнение; он активно используется при проектировании, анализе и устранении неполадок электрических и электронных систем.От простых сетей распределения мощности до сложных интегральных схем принципы сетчатого анализа лежат в основе уравнений, решаемых симуляторами.

Компьютерное моделирование схемы

Такие программы, как SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) и его варианты (PSpice, LTSpice, Ngspice) внутренне формулируют уравнения схем с помощью метода, известного как модифицированный узловой анализ, который является гибридом узлового и сетчатого анализа.В то время как чистый сетчатый анализ редко используется в коммерческих симуляторах из-за его ограничения планарными схемами, основная идея решения линейной системы уравнений на основе KVL появляется в исторической разработке симуляторов схем. Понимание анализа сетки помогает инженерам интерпретировать моделирование вывода и устранения неполадок, которые включают петли и магнитную связь.

Дизайн и устранение неполадок

В лаборатории инженеры часто используют сетчатый анализ для быстрой проверки ручных расчетов для небольших схем. При проектировании регулятора напряжения или фильтра знание токов сетки помогает проверить, что компоненты не перегружены. Устранение неполадок часто включает в себя изолирующие петли: если конкретный резистор перегревается, сетчатый анализ может идентифицировать вклад тока из каждого источника. Метод также помогает в анализе чувствительности: принимая частичные производные токов сетки относительно значений компонентов, дизайнеры могут предсказать, как производственные допуски влияют на производительность.

Ограничения и расширения

Несмотря на свою полезность, сетчатый анализ имеет четко определенные ограничения. Он применяется только к плоским цепям; непланарные схемы требуют анализа петли на основе выбранного дерева. Чистый сетчатый анализ не может напрямую обрабатывать цепи с взаимной индуктивностью (трансформаторная связь), потому что напряжение, индуцируемое в одной петле, зависит от изменения тока в другой - это вводит связь, которая может быть смоделирована, но она нарушает простую резистивную матричную симметрию. Для анализа постоянного состояния переменного тока сетчатый анализ расширяется естественным образом, заменяя сопротивления сложными импедансами и используя фазорные формы KVL. Переходный анализ во временной области также может быть выполнен с использованием сетчатых уравнений с дифференциальными операторами, хотя сложность увеличивается.

Другое ограничение возникает, когда схема содержит идеальные операционные усилители (op-amps). Op-amps часто заставляют виртуальные короткие условия между узлами, которые можно легче обрабатывать узловым анализом. В таких случаях используется комбинированный подход, иногда называемый «анализом ячеек с виртуальными наземными ограничениями», но часто становится легче переключиться на узловой анализ. Двойственность предполагает, что опытный инженер должен быть комфортен с обоими методами.

Расширения сеточного анализа включают использование лаплаковских преобразований для анализа частотно-доменных областей, применение методов состояния-пространства для динамических систем и включение графо-теоретических петлевых токов для крупномасштабных сетей.Во многих передовых учебниках сетчатый анализ служит шлюзом для понимания топологии сети и теории линейных систем.

Заключение

Теоретические основы сетчатого анализа надежно покоятся на законе напряжения Кирхгофа и геометрическом свойстве планарности. При назначении токов сетки и написании KVL вокруг каждого независимого цикла инженеры и студенты могут систематически определять все токи ветви в цепи. Математическая формулировка дает линейную систему, которая может быть решена вручную или компьютером, и техника остается основным элементом электротехнического образования. Его ограничения - планарность и сложность с определенными источниками - управляемы через расширения, такие как метод супер-меша и двойной подход узлового анализа.

Тем не менее, сетчатый анализ учит структурированному способу мышления о цепях: он подчеркивает важность петель, суперпозиции токов и симметрии, присущей пассивным сетям. Независимо от того, анализируете ли вы простую схему лампы накаливания или многоступенчатый усилитель, метод сетчатого тока обеспечивает четкий путь от схемы схемы к численному решению. По мере того, как область электроники продолжает развиваться, базовая линейная алгебра и теория графов, которые поддерживают сетчатый анализ, остаются такими же актуальными, как и всегда. Для тех, кто ищет более глубокую математическую обработку, такие ресурсы, как «Основы электрических цепей» Александром и Садику предлагают всестороннее освещение этой важной темы.