Biến hình Fourier nhanh (FFT) là một thuật toán hiệu quả cho việc tính toán biến dạng bộ bốn (DFT). Thuật toán máy tính của ông BAR là phương pháp phổ biến nhất để thực hiện FFT, dựa vào phân hủy của DFT. Hiểu được các nền toán học của nó giúp tối ưu hóa và áp dụng thuật toán một cách hiệu quả.

Cơ sở toán học FFT

DFT biến một chuỗi số phức tạp thành các thành phần tần số.

X = [FLT:] [FLT:] [FLT:] X [FLT:] x [FLT:] e ] 2 ]] - 2 [FLT: 5] - x [FLT: 5] - x [FLT:] - K ]

[FLT: 0]x là chuỗi đầu vào X [FLT:] , và [FLT:] là chuỗi dài ).

Sự tận dụng của thuật toán Cooley-Tukey

Thuật toán Cooley-Tukey phân hủy DFT thành DFT nhỏ hơn bằng cách chia chuỗi thành các phần chẵn và lẻ:

X(k) = [FLT:] x [FN] e ]-2 [FLT:]] ] ] [FLT:]] [FLT:]] [FLT:]] [FLT:] ] [FLT:]] [F:]] [FLT:]] [FN:]

Có thể viết lại như sau:

X(k) = [FLT: 0] [FLT: 0] [[FLT: 0] ) [FT:] e [FL: 8] [FT:] [FN:] [FN:] [FL:] [FL: 0] [FL: 2] [L] [L] [FL:] [FL] [FL] [FL] [FL:] [FL] [FL] [FL] [FL] [FL] [FL] [FL] [FL]] [FL] [FL]] [FL] [FL]] [FL]] [FL]] [FT] [FL] [FL]] [L]] [FL]] [FL: 10] [L] [L] [L: 10] [L:] [L]] [F]] [L: 10] [L:] [L:]] [L] [L] [L]]

Sự tách rời này cho phép tái đệ quy tính của các DFT nhỏ hơn, giảm sự phức tạp tính toán từ O(N2) sang O(N log N).

Áp dụng thuật toán

Thuật toán FFT áp dụng phân hủy đệ quy liên tục cho đến khi đạt được trường hợp cơ bản của kích thước 1. Kết quả được kết hợp với nhau bằng cách sử dụng các yếu tố twiddle, mà là các điều khoản cấp số nhân phức tạp:

W N (k) = e ) 2] 2 [FLT:]

Những yếu tố này điều chỉnh giai đoạn của những DFT nhỏ hơn trong quá trình tái tổ hợp, cho phép tính toán hiệu quả của sự biến đổi hoàn toàn.