Giới thiệu về những phương trình khác nhau đầu tiên trong ngành kỹ thuật

Các phương trình khác nhau là ngôn ngữ trong đó nhiều định luật vật lý được viết ra. Trong số đó, những phương trình vi phân đầu tiên được sắp xếp theo thứ tự nền tảng cho việc mô hình hệ thống động động trong hầu hết các ngành kỹ thuật kỹ thuật. Từ dự đoán làm cho động cơ nóng bị nguội để thiết kế phản ứng của một bộ lọc điện tử, khả năng thiết lập và giải quyết các phương trình này là một kỹ năng cốt lõi. Hướng dẫn này mở rộng trên các phương pháp thiết yếu để giải quyết các phương trình vi phân phân phân loại đầu tiên và khám phá các ứng dụng thực tế với các ví dụ bê tông.

Phương trình khác nhau đầu tiên là gì?

Một phương trình vi phân đầu tiên liên quan đến một hàm không rõ [FLT: 0] [) x ] ] đạo hàm đầu tiên ]dy [FLT:] ].

dy/dx = f(x, y) )

hàm f [FLT:] có thể tuyến tính hay không tuyến tính trong cả hai [FLT:] [FLT:] và [FLT:] [FLT:] [FLT:] . Thứ tự của phương trình ám chỉ đạo hàm cao nhất; vì chỉ đạo hàm đầu tiên xuất hiện, được gọi là thứ tự [FLT]. Các phương trình này miêu tả tỷ lệ thay đổi nhiệt độ, lưu lượng, tăng trưởng, hoặc tỷ lệ hóa học. Trong thời gian [FLT], biến độc lập [FT] thường [FT], [FT], v.

Thí dụ, luật làm mát của Newton cho biết tốc độ thay đổi nhiệt độ [FLT: 0] t ) [FLT:] ] tùy thuộc vào sự khác biệt giữa đối tượng và môi trường của nó. Điều này dẫn trực tiếp đến phương trình thứ nhất T/d [T[T:] — T[FL:5] [FL:] [FL] [FL] [FL:] [FL] [FL]] [FL] [FL:] [FL] [FL]] [FL] [FL]] [FL]] [FL]]] [FL: 7] [L]] [L]] [L] [L]]

Phương pháp để giải quyết các phương trình khác nhau đầu tiên của phương trình kỹ thuật

Một số kỹ thuật được thiết lập tốt để giải quyết các phương trình xếp thứ tự đầu tiên, mỗi phương trình có thể áp dụng cho một dạng cấu trúc cụ thể.

Những phương trình có thể dàn xếp được

Một phương trình thứ nhất là khả năng nếu nó có thể được viết như một sản phẩm của ] và một chức năng [FLT:] ) )] )]] [FLT:]]] ]]]] [FLT:]]]]] ]]]]] [FLT:]]]]]] [FLT:]]]] [FLT:]]]] [FLT: [FLT:]]]]]]]]]]] [ [ [FLT:]]]]]] [ [ [FLT:]]]]]]]]]]]]] [ [ [ [ [ [ [FLT:]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] [ [ [ [ [ [ [ [

dy/dx = g(x) h )

Giải pháp được giải quyết bằng cách sắp xếp lại và kết hợp cả hai bên:

[/H(y) dy = x) dx )

Sau khi đánh giá tích phân, chúng tôi giải quyết rõ ràng nếu có thể, hoặc để lại giải pháp theo dạng ngầm. Các phương trình có thể giải quyết thường xuất hiện trong các vấn đề tăng trưởng và phân rã, như phân rã phóng xạ hoặc sạc/ tính phí của một bình quân qua một phản đối.

Biến ) Solve ) Solve dy/dx = 2x. [1/y] [L= 2x . Mặc dầu:[FL:6] Lincoln = C[FT].].

Phương trình tuyến đầu tiên

Một phương trình xếp thứ nhất tuyến tính có dạng chuẩn:

dy/dx + P(x) y = Q(x))

Nơi P ) và ) là chức năng x . Chỉ chìa khóa để giải quyết kiểu được định nghĩa là yếu tố : yếu tố [FLT: 7)::::

[FLT:] [x] = e ) P (x) ) [FLT:]

Nhân hai vế của phương trình với tôm (x) chuyển phần bên trái thành đạo hàm của x [FLT: 0] [FLT: 0] [FLT: 1]]

[dx [x] y] = x(x) Q(x) )

Kết hợp sản phẩm:

y = tôm (x) Q (x) dx + C )

Cuối cùng, chia cho x để có [FLT: 0] [FLT: 1] rõ ràng. Các phương trình tuyến tính mô hình nhiều hệ thống vật lý, bao gồm các mạch RL và RC, chuyển đổi nhiệt với nhiệt độ không đổi, và hệ thống điều khiển đầu tiên của hệ thống điều khiển.

Phần mở rộng

Một phương trình của dạng m [FLT:] Nếu các đạo hàm bộ phận thỏa mãn [FLT] [FLT = 0 [FLT: 1] ) nếu đạo hàm bộ phận , y =], thì khả năng này sẽ được gọi là [FLT:] nếu các đạo hàm bộ phận [FLT] đáp ứng [FLT] [FLT], y =] nếu các đạo hàm bộ phận [FLT] [FT], s và M=4. N. Giải pháp [C/C.E., E.S., E., x= phương trình E.C. và phương trình dự đoán tương ứng với phương trình phi thường.

Bernoulli Equali Equaations

Một phương trình Bernoulli là một phương trình phi tuyến tính của hình thức:

dy/dx + P(x) y = Q ) ) ) ) ] [FLT:]

nơi [FLT: 0] n [FLT: 1] là một con số thật không bằng 0 hay 1. Nó có thể được chuyển đổi thành phương trình tuyến tính bởi phương trình thay thế ) [FLT: 2] y ]1 – n). Phương pháp này có ích trong cơ học dịch, chẳng hạn, khi mô hình dòng chảy trong phương tiện truyền thông hay hóa học.

Phương trình đầu tiên đồng tính

Một phương trình thứ nhất có thể được diễn tả như [FLT:] [FLT:] [FLT:] [FLT:] [FLT:] [FLT:] [FLT:] [FLT:] [FLT:] [FT:4]] [FLT:]] [x[FLT: 1]]] nếu chức năng . Đó là [FLT:] fT:] fL: x] [FL:] [FL:]] [FL:] [FLT], s biến đổi một phương trình có thể], như một phương trình có thể thay đổi các phương trình liên quan đến các phương trình phức tạp và chất lỏng, như là một lớp phân tách].

Những ứng dụng trong ngành kỹ thuật

Những phương trình vi phân đầu tiên là những khối xây dựng cho nhiều mô hình kỹ thuật.

Hệ thống nhiệt: Định luật làm mát của Newton

Sự nguội đi của một vật rắn trong một vật thể lỏng theo định luật làm mát của Newton:

[FLT:] [FLT:]

[FLT:] [FLT:] nhiệt độ đối tượng [FLT:] [FLT:] [FLT:] [FLT:] là nhiệt độ môi trường [FL:] [FL: 7] là một hằng số tích cực phụ thuộc vào mặt và nhiệt độ. Đây là một phương trình tuyến tính đầu tiên. [FL: 8] [FT] [FT] [FT] [FL:], Bản đ:] [FT], Bản đ:] [FT],], [L],] [L],] [L],] là một phương pháp thức thức thức thức thức thức thức thức thức thứ nhất định tuyến tính [FT]: 1].

T [FLT:] = T) ) [FLT:] + [T ) – T [FLT:] ) ) ) [FLT:]]

Các kỹ sư dùng phương trình này để thiết kế vây làm mát, ước tính thời gian nóng không đổi trong thiết bị điện tử, và dự đoán nhiệt độ của các vật liệu trong thời gian điều trị nhiệt.

Mạch điện: Đáp ứng mạch RC

Trong một chuỗi mạch điện áp (FLT:3) ) ) [FLT: 2] [FLT:] , bộ điều áp [FLT:] [FL:] [FL:6]] [FL:]:]: [FL: 7]]

RC )c ) ) [FLT:] ] [FLT:] ) [FLT:] [FLT: 7) [FLT: 7)

Đây là một phương trình sắp xếp tuyến tính đầu tiên. Đối với một bước điện áp không đổi ) [FLT: 1] [FLT:] 0 [FLT:] [FLT:]] ] , giải pháp::] [FL: 7) [FL: 7] [FL:] [FL: 0] [FL: 0] [FL: 0], [FL: 9],],]

) ) ) [FLT:] [FLT:] ) [e –t/RC] [FLT: 7) [FLT: 7)

Sản phẩm RC là thời gian không thay đổi, ký hiệu các điện tụ điện nhanh như thế nào. Các mạch RC có khắp mọi nơi trong mạch thời gian, bộ lọc và điều chỉnh tín hiệu.

Điện lưu: Máy phản ứng liên tục dao động liên tục (CSTR)

Trong một lò phản ứng bình chứa hỗn hợp hoàn hảo, sự cân bằng khối lượng cho một loài hóa học dẫn đến:

V dC/dt = Q (C ) in ) – k V

V [FLT:] là tập trung [FLT:], [FLT:] [FLT:] tần số âm lượng [FLT:] [FLT:] , , [FLT:] [FLT:], [LT] độ tập trung [FLT]], [LT] [LT],] [LT] Phản ứng không đổi] này [FTTT:6] [FLT:] [FLT] [FLT:] [tr] trong [FLT] [FLT] [FLT]] [B] [BK] [B]] [tr thứ tự liên tục]] [FLT]] [FLT]] [FLT]] [FLT]]] [thời gian nhất định thời gian nhất phương trình điều khiển] [FL:]]]] [thời gian]] [thời gian]]

Hệ thống điều khiển: Phản ứng của hệ thống Order đầu tiên

Nhiều hệ thống điều khiển như một bộ điều khiển đơn giản hoặc một động cơ có mức độ giới hạn không đáng kể, được mô hình hóa như hệ thống trật tự máy móc đầu tiên:

[dy/dt + y = K u(t] )

Ở đây [FLT: 0] [FLT:] là thời gian không thay đổi, [FLT [FLT:]] [FLT:] tăng dần phương pháp liên tục [FLT:] [FLT] [FLT: t]] [FLT:] đầu vào [FLT:]. Giải pháp cho bước nhập [FT: 6] [FL: 1] [FT]]] [FT]], thiết kế [FT] và thông báo các thiết kế bằng cách giải quyết không [FT] là] [FT] [FT].T].

Ví dụ: Làm nguội đi một đối tượng — Giải pháp đầy đủ

Hãy cùng làm việc với một vấn đề điển hình: một phần kim loại ở mức 200 °C được đặt trong một phòng ở 25 ° C.

Stephen 1 – Đạo hàm và điều kiện ban đầu

Phương trình vi phân: T/dt = –0.02 (T – 25) ), với )T ) = 200 .

Stephen 2 – Giải quyết bằng phương pháp tích hợp )

Phương trình tuyến tính: [FLT: 0] [FLT: 0] = e [FLT: 0.5] . Hệ số [FLT:] [FL:6] [FL:]. [FL:7].

Stephen 3 – nhân và tích hợp )

[e ] 0 .02t T 0 [FL:] [FLT:] [FLT:].] [FLT: 0] [FLT: 0].[FT] [L] [L] [LT] [LT: 0] [LT] [LT] [LT] [LT] [LT]] [LT] [LT] [LT]: CLT] [LLT: CL] [L] [LT] [LLLLT] [LT]] [LL] [L] [LLL] [LLLLLLL] [LL] [LLLL] [LLL] [L] [LLL] [LLL: CL: C: C: CL] [L] [L] [LLLL] [L] [LL]]

Stephen 4 – Áp dụng điều kiện ban đầu

T = 200 [FLT = 25 + C ) . T T] [t] [FLT: 25 ] [FLT:]] ].

Dịch bởi Vũ Hạnh, Mai Linh, Nga, Ann, Yuki, Phương The Vampire3X Subteam ).

T(30) = 25 + 175 e –0.6 25 + 175 = 121.0°] .

Stephen 6 – Thời gian để đạt 50°C

Đặt 50 [FLT: khả năng] [FLT: 25 + 175] –0.02t e [FT:5]–0.02 [FT:6] [FT].

Giải pháp này cho thấy sức mạnh của các phương trình vi phân để dự đoán hành vi thế giới thực và đưa ra quyết định kỹ thuật.

Kết luận

Những phương trình vi phân khác nhau đầu tiên là một phương trình chủ yếu trong mỗi công cụ toán học của các kỹ sư, bằng cách nắm vững sự tách rời của các biến số, phương pháp kết hợp các yếu tố, phương pháp chính xác phương trình, và phương trình Bernoulli, các kỹ sư có thể mô hình và phân tích những hành vi sống động của hệ thống nhiệt, điện, lưu và điều khiển.

Để đọc thêm, hãy khám phá những nguồn tài nguyên này: Chương trình Mở Trường Huấn luyện Mở rộng – ), [FLT: 1] Viện nghiên cứu về Khan – Thứ tự Phương trình thứ nhất , và Paul’s Online Maths Notes – Phương trình khác nhau ).