在现代控制系统中,稳定是安全、可预测的操作的基石。在四轮无人机中,这一点最明显不过,因为不稳定性可能导致几秒钟内发生灾难性故障。本案例研究展示了实际应用 Routh-Hurwitz标准[分析和稳定四轮无人机的控制系统。 通过从闭路系统的特征多号结构构建Routh阵列,工程师可以确定稳定性,而无需直接解决根源问题,从而能够快速参数调和和强大的飞行性能。

四方动力和控制架构

四极管是作用不足、高度连通的非线性系统。它的运动由四个转子的变速控制,产生推力和扭矩。对于稳定性分析,系统通常围绕一个悬浮条件线性化,产生一套卷、投、斜和高度的二阶偏微分方程。控制系统通常使用比例-综合-动态控制器,其反馈循环环绕姿态,并用惯性测量单元(IMU)进行角速测量。每个轴的闭合-转动转移功能可以产生,从而形成一个特征的多元性,其根部决定稳定性。

滚轴线化模型

考虑滚动动力学。运动的线性方程是:

其中为滚角,为惯性的时刻,为空气动力加固衍生物,为代表差推产生的扭矩的控制衍生物. 一个PID控制器提供控制信号:

替换和形成闭路转动功能产生一个特征性的三等(或如果包括传感器动力学的话更高)。

鲁特-胡维茨标准之后,让我们可以分析根部真部位的标志,而不明确找到根部.

鲁特-胡维茨标准:系统稳定测试

由爱德华·约翰·鲁特和阿道夫·胡尔维茨独立开发,鲁特-胡尔维茨标准为线性时间变量系统的稳定提供了必要和充分的条件,它利用特征多诺米的系数来构建一个阵列(即鲁特阵列). 该阵列第一列的标志变化数等于带正实部分的根数. 要使系统稳定,第一列中的所有条目都必须有相同的标志(通常为正数).

构造 Routh 矩阵

假设一个多边名称],Routh阵列按行构建:

  • 第1行: – 均指数值的系数.
  • 第2行:] – 奇数指数词的系数.
  • 之后的行使用公式计算:(其中a1是第二行的第一元素)。

如果第一列中的任何元素变为零,则需要特殊处理(替换为小的epsilon或使用辅助多诺方法). 如果整行变为零,则多诺米有对称根,且该阵列继续使用辅助多诺米.

三号命令系统的稳定条件

对于立方体聚],Routh-Hurwitz条件简化为:

  • 所有系数必须是正数(必要条件)。
  • 不平等必须维持(三阶的充分条件)。

这种直截了当的规则在构建完整阵列之前经常被用作快速检查.

四方滚控系统应用

在我们的四轮驱动案例研究中,滚轴的特征多名性,包括PID控制器增益和转子动力学(以时间常数\\\=的第一顺序滞后模式),是:

[]]

物理系统的数字值为:\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

[][]]

构建卢斯阵列

我们构造这第四顺序的多诺米数组:

  • 第1行(第4行):0.05、15.1、10
  • 第2行(第3行):1.5、52、0
  • 第3行(s2):计算b1=(1.5*15.1-0.05*52)/1.5=(22.65-2.6)/1.5=13.367;b2=(1.5*10-0.05*0)/1.5=10;b3=0
  • 第4行(s1): c1=(13.367*52 - 1.5*10)/13.367=(694.064 - 15)/13.367= 50.84;c2=0
  • 第5行(s0):d1=(50.84*10 - 13.367*0)/50.84=10

第一列值是:0.05、1.5、13.367、50.84、10 — — 都呈正值,没有标志变化。 因此,这些收益的系统是稳定的。 但是,如果我们将整体收益增加到K i=20,则多元系数变化,Routh阵列显示一个标志变化,表明不稳定性。 这证明了参数空间探索标准的力量。

使用鲁特-休维茨限制参数Tuning

与其说试验和过量模拟,鲁斯-胡维茨标准提供了数论不平等,而这种不平等必须满足稳定性。 对于我们获得的第四顺序的多诺米,必要的条件有:

  • 所有系数均为正数:如果增益为正数,则自动满足,且 > 0.
  • Routh数组的第一列必须没有任何符号变化.

通过以 K p, K i, K d 符号表示第一列条目, 我们得出了三个制约方程。 解决这些不平等定义了增益空间中的稳定区域。 对于我们的四重奏, 稳定区域被发现:

  • []]
  • []]
  • []]
  • (与Routh条件相近)

这些限制指导了最终收益的选择:K p=8,K i=1,K d=4,这些收益位于稳定区域之内,在通过频率反应进行评估时,也提供了良好的相差率。

模拟结果和验证

使用对 Gazebo 环境中的四边形的非线性模拟来验证稳定性边距。随着Routh-Hurwitz的优化收益,对10度步骤输入的滚动响应显示,沉积时间为0.8秒,射出率小于5%,没有稳定状态错误。 相反,稳定区域以外的收益(如K i = 20)产生不同的振荡,在2秒内不受约束。

进一步的强性测试包括风气流达5米/秒和低价MEMS IMU典型的感应噪音,控制器在所有情况下都保持了稳定性,最大滚角偏差保持在1.5度以下,因此,Routh-Hurwitz标准不仅提供了稳定性,而且还提供了稳性性能的基线。

实际执行考虑

虽然鲁特-赫维茨标准是一个强大的分析工具,但它有局限性,它只适用于线性时间变量系统,因此线性模型必须在操作点周围有效. 对于攻击性动作,非线性效应(如振动器饱和,陀螺旋转矩)可以导致稳定性退化. 工程师们应该用[时间-域模拟[频率-域方法(如Bode地块或根部地壳)来补充鲁特-赫维茨分析.

此外,数字执行引入了采样延迟和定量错误。这些错误可以作为额外相差模型,从而减少有效相差。该标准仍然可以通过将数字控制延迟作为额外极子纳入特性多诺米子来应用。对于我们的四重奏,运行500赫兹的控制循环将延迟保持在2ms以下,这并没有显著改变Routh阵列的结果。

结论

鲁思-胡维茨标准仍然是四轮驱动无人机控制系统设计中不可或缺的第一步。 案例研究展示了如何得出一个四轮驱动无人机滚轴的特征多元性,构建鲁思阵列,并提取确定稳定增益区域的代数限制。 该方法允许快速拒绝不稳定参数集,而无需进行广泛的模拟或原型。 通过将鲁思-胡维茨分析与实用调制指南相结合,工程师们可以实现安全、可靠和高性能的无人机飞行控制器。

关于鲁特-胡维茨标准的进一步解读,请参见 维基百科中的全面文章. 四维基语录中有關四维语录动态的极佳参考文献是B. Corke在[] Robotics and Automical Systems[中的论文. 关于更深的控制理论,请参考密歇根大学MATLAB的控制教程[. 使用的模拟环境可以在皮克斯霍克的官方网站中找到.