理解整数编程

Integer 编程(IP)是数学优化的一个分支,它将一些或所有决定变量限制在整数值上。与变量可以取任何真实数字的线性编程不同,整数编程迫使离散选择——比如,是否要搭建桥梁(一个二进制 0 1 个决定),或者要安装多少总线站(一个计数变量),这使得它自然适合基础设施规划,因为许多决定是是/否的或者出现在整个单元中。

整数编程的核心思想是定义一个] 客观函数[],以尽量减少(或最大化]一系列线性限制[]为条件,对于城市项目,客观功能通常结合成本和环境度量。限制可能包括预算限制、空间限制、法律要求和资源可用性。解决整数程序需要通过可能的整数组合搜索,以找到一个具有最佳客观价值的组合。因为搜索空间可能很巨大,因此,像[branch(9)和X]bund和[cuting plane方法被用于高效的原始次优化解决方案。

双重挑战:成本和环境影响

城市基础设施项目面临着越来越大的压力,要实现两个可能相互冲突的目标:将财政成本降到最低,减少环境损害。 传统的成本效益分析往往忽略生态后果,而纯粹的绿色设计可能太昂贵,无法实施。 整数方案提供了一种在单一优化框架内量化和平衡这些目标的方法。

  • 成本组件包括建筑材料、劳动力、设备、土地购置、许可和长期维护。 拖延和重修预算进一步膨胀。 IP模型可以包含对超过期限或超过碳预算的处罚。
  • 环境指标涵盖温室气体排放、生境破碎、水径流、噪音污染和资源耗竭,其中许多可大致视为决策变量的线性或片性线性功能(例如每公里道路建造的二氧化碳吨数)。

通过制定多目标整数程序,规划者可以产生的权衡平衡边框[——一套无法改进目标而不使另一个目标恶化的解决方案。 利益攸关方然后可以选择一种符合社区优先事项、监管阈值或可持续性目标的解决办法。

制定城市基础设施整数规划模式

定义决定变量

决策变量能够捕捉规划者面临的不同选择。

  • 基准变量(0 ⁇ 1): X站点是否应该新建地铁站? 是否应该铺设可回收沥青的路面?水处理设施是否应该使用太阳能?
  • 整数变量: 有多少交通道要加?有多少公交线路要运行?安装的污染洗涤器数量?
  • 连续变量经常与整数并列出现,如混凝土(以立方米计)的量排列.

设定目标函数

从数学上讲,客观功能是成本和环境因素的加权总和。重量反映了决策者给予的相对重要性。

最小化 w1×(建筑成本)+ w2×(生命周期排放)+ w3×(土地使用影响)

我们还可以包括违反软约束的惩罚条款(例如超过噪音限制),当重量难以定义时,规划者可以使用 语法定单[——首先优先降低成本,然后将排放量最小化为同样昂贵的替代品.

纳入制约因素

限制将现实世界的限制转化为数学方程式:

  • [ 预算: 总成本 可用资金。
  • 空间不可行: 两个设施不能占用同一个地块(例如公园和停车场). 使用二进制约束,如x1+x2 ⁇ 1.
  • 管制封顶:PM2.5排放量 10吨/年。
  • 逻辑依赖性: 如果建造废水厂,还必须建造下水道管道(二进制含义:x 管 ××××××厂).
  • 资源限制: 可用的钢铁,劳动时数,或现场设备容量.

解决模式

专门的解析器,如[]CPLEX,Gurobi,或[SCIP]可以处理千变数和制约的问题. Open source explain as (Python)或[JuMP(Julia)允许快速原型. 对于城市规模大的问题,解析技术()Benders解析[或Lagrangen 放松])将问题分为较小的,可操作的块.

案例研究和实用应用

公路网设计

城市规划新的高速公路网采用整数编程来选择建设哪条道路,同时尽量减少建筑成本和生境的分散。决策变量代表每个候选路段(二进制 ) 。 制约因素确保网络连接和交通需求满足。目标将每公里成本和生态影响评估得出的环境分数结合起来。 结果显示,将两条路段转向稍长的路段将破坏生境减少30%,而成本只增加4%。

废物处理机制

选择废物堆放能源厂的地点需要整数决定:选择一个候选地点的子集。 模型包括运输废物的成本、工厂建设成本、运行中的排放量和邻近限制(例如,校内500米以内)。一个整数方案同时优化了地点和能力。 欧洲的一个真正的项目发现,一个三址配置节省了18%的成本,而一个五址规划则减少了12%的总排放量。

关于设施位置优化的进一步解读,见本运输科学文件关于多目标设施位置。

公共交通

向电动车组过渡需要整数决定:哪个公共汽车库安装充电基础设施,多少充电机,以及哪些路线转换。 目标平衡了资本成本、日常运行成本和电网排放。 制约因素包括电动公共汽车的幅度限制、仓库容量和充电时间窗口。 一个IP模型帮助一个中等城市确定在五年内分阶段转换,优先选择高架车路线,与快速推出一年相比,成本和排放量都减少了22%。

执行方面的挑战

尽管城市基础设施的整数编程具有一定的实力,但它并不是一个插件和游戏工具。 规划者必须面对几个实际障碍:

  • 数据质量和可得性:环境影响数据(如生境损失,生命周期排放)往往不确定或不完全. 敏感性分析有助于确定关键参数.
  • 计算复杂度:[]整数程序是NP ⁇ rd;大问题(例如,拥有10,000+决定的全市网络)可能需要时数或日日才能解决. Heuristics和metaheuristics可以提供良好但不能保证的最佳解决方案.
  • 利益攸关方接受: 数学解决办法可能与政治或社区偏好相冲突. 透明的沟通和交互式决定 支持仪表板有助于弥合差距.
  • 动态条件: 建造成本,规章,环境基线随时间变化. IP模型应定期以更新数据重新运行.

关于公共政策业务研究的全面指南——包括整数编程——MIT OpenCourseWare课程“分析边际”提供了实例。

未来方向:将IP与其他工具融合

地理信息系统(地理信息系统)

将IP与GIS结合起来可以实现空间清晰的优化。 规划人员可以覆盖土地、洪泛区和人口数据。GIS输出成为整数程序的投入(例如距离、适切分数 ) 。 这种组合被用于绿色基础设施规划 — — 决定将雨园和渗透路面放置在何处,以最大限度地捕获暴雨水,同时将成本降到最低。

参数估计的机器学习

预测模型可以估计建筑成本、能源需求或生态影响系数,这些系数可以反馈到IP中。 比如,一个接受过以往项目培训的神经网络预测每公里道路的排放系数,然后直接出现在IP目标中。

整数编程

未来城市项目将面临需求、气候模式和物价的不确定性。 斯特奇特的IP将包含多种情景,并带有概率加权,产生能很好地在一系列未来中发挥作用的强效解决方案。 这与沿海城市的防洪基础设施特别相关。

有关城市基础设施和OR的]条深入讨论了这些先进的建模方向。

结论:使城市更聪明、更绿

整数编程为城市基础设施规划提供了一个严格的、数据驱动的框架。 当成本和环境影响必须平衡时,IP模型帮助规划者评估数千种替代品,并发现仅凭直觉是无法找到的解决方案。 从公路网络和过境电气化到垃圾设施选址,现实世界的应用都显示出明显的好处:成本降低、排放减少、土地和材料使用效率提高。

随着城市继续增长,面临更严格的预算以及更严格的环境监管,整数方案将成为城市规划者工具包中不可或缺的工具。 成功的关键在于投资优质数据,使用适当的解答器,以及让利益攸关方参与优化过程。 通过接受这些技术,城市可以建设既服务于人又服务于地球的基础设施。