工程设计中的整数

整数编程(IP)是数学优化的一类,其中一些或所有决定变量都只能取整数值。在工程中,当决定涉及离散选择时,这一要求自然产生:需要生产多少个单元,选择哪些组件,是打开一个设施,还是指定什么路由路径。整数线性程序的一般形式是将一个受线性限制的线性客观函数最小化(或最大化),整体性限制在许多实际情况下往往使问题NP-hard.

工程师们在结构设计(从离散目录中选择光束部分 ) 、 电网规划(单位承诺和传输扩展 ) 、 化学过程合成(选择设备大小和配置 ) 、 航空航天轨道调度(分配起飞槽 ) 等不同领域遇到IP。 即使基础物理或经济学是连续的,但需要从有限的一组标准组件中选择,尊重资源的整数,或处理逻辑条件(如果当时的制约)自然导致IP配方。 先进的电网热学不仅仅是学术的奇特;它们也是工程师在精确解题者需要数日或数周的情况下及时做出接近最佳决定的必要工具。

为什么精确的方法变得不切实际

传统的整数编程精确算法 — — 分机和定边、分机和动态编程 — — 保证找到全球最佳编程。它们通过系统地系统地列举各种可能性,利用线性编程放松的界限来打压分支。 然而,对于具有数千个整数变量和复杂制约的大规模事件,计数树可以指数爆炸。 即使有复杂的预溶和剪切飞机,许多工程IP在现实世界操作所需的时间预算范围内仍然难以解决 — — 例如,制造厂的日头排程问题可能需要几分钟而不是几个小时的解决方案。

此外,精确的解答者对问题结构很敏感:高度对称的IP,那些有许多平等限制的IP,或者那些有非线性(如双线性术语)的IP,往往会打败目前最先进的解答者。 在工程中,问题往往包括复杂特征,如二阶锥形约束[或将IP推向舒适的精确方法范围的单体线性成本[。 这一差距促使人们发展出先进的热力学,牺牲最佳性保证,以换取速度、可伸缩性和稳健性。

高级高压:更深的潜水

整数编程的热度可以分为构造热度(产生初步可行的解决方案)和改良热度(严格地提炼一个候选者). 在过去20年中,出现了一套强大的先进热度,每个都具有不同的机制来逃避本地的Otitima和高效探索搜索空间.

元数据: 引导随机搜索

元论如 遗传算法 , 模拟Annaling(SA) , Tabu搜索(TS)等是高层次策略,它协调了基本的局部搜索或扰动过程. 遗传算法 模拟自然选择: 候选解决方案群在代代数上会使用交叉和突变操作器进行演化. 对于工程IP,编码变量作为二元串或穿透矢量往往效果良好. 模拟Annealing 在高温下可以接受更糟糕的解决方案,逐渐冷却以集中到最佳区域. Tabu搜索通过保持访问动作的短时记忆来增强局部搜索能力,避免周期.

这些方法在工程学中很受欢迎,因为它们容易平行,只需要函数评价(没有梯度),并且可以处理黑框限制. 例如,GA已经成功应用到优化天线布置[和管道网络设计[,其中目标计算成本昂贵但整数限制是关键.

可变邻居搜索( VNS)

VNS系统利用了搜索过程中改变邻居结构的想法。 从最初的解决方案开始, VNS在越来越遥远的邻居(抖动)中应用了一系列动作, 然后在当前最佳解决方案中进行本地搜索。 在工程问题中, 比如[ 带有时间窗口的车辆路线[ 或[ 设施布局[[], VNS往往比单邻居的高度高,因为它能够逃脱固定移动无法实现的深方微型。

大型邻里搜索( LNS)

LNS在精确解析器可以在子问题内使用时特别强大. 方法破坏当前溶液的一部分(例如去除20%的整数任务),然后最优化地使用一个小IP或约束性编程解析器重建. 在工程背景中,如空线乘员调度[]和半导体排程[],LNS可以在完全IP解析器失败的秒内产生近最佳解析.

放松和整齐

高级圆形的heuristics 不仅没有简单地解决LP的放松和四舍五入,而是使用迭代固定:解开LP,根据分数结果(如接近0或1的值)将一些变量固定为整数值,解开减法,重复. 易控泵[ 方法,经常嵌入商业解析器,可以快速生成可行的整数解决方案,然后通过本地搜索改进. 对于混合整数编程,可以提供许多二进变量(工程设计中常见的),这一技术提供了快速的初始解决方案.

混合喜怒曲:结合力量

复杂工程IP最有效的方法往往是混合体,将不同的heuristics整合起来或者将heuristics与精确的组件结合起来. 例如,一个memetic算法[(GA+局部搜索])对每个孩子解决方案都应用了本地搜索,确保人口总是本地优化. 另一个强大的混合体是Benders解析[与一个heuristic主问题结合:精确的解析器处理容易持续的子问题,而huristic解决整数主问题.

混合方法特别有价值,因为它们平衡了强化和多样化。 在工程中,问题数据经常发生变化(例如,按小时更新的需求预测),混合方法可以被调制来利用重复性结构。 例如,在[生产调度[中,约束性编程和混合整流编程的混合方法既可以处理时间约束(CP的强度),也可以处理能力限制(IP的强度).

工程应用:具体实例

网络设计和复原力

电信和公用网络设计往往涉及选择链接能力(标准带宽的整数倍数)和定位备份路径以幸存失败. 用于可存活网络设计的整数编程模型[可以有数百万个变量. Exactive substanders trough,但一个自定义的LNSheuristic,反复修复一个子集边缘,已经显示在分钟内在5%的优化时间内实现解决方案.

制造布局和时间安排

在工厂中,细胞制造问题将机器分割到细胞中,以尽量减少细胞间运动——一个设置的分割IP. 最近的研究[使用一个具有适应性内存的多启动塔布搜索,在20秒内用200台机器解决事件,以数量级的顺序比精确的分支和捆绑的解决器表现好.

卫星业务资源分配

卫星任务调度必须指定一组观测(每个观测需要特定的时间窗口和动力)给卫星轨道,这是一个复杂的IP,具有优先限制和整数时间,在地面操作系统中部署了与线性编程放松圆环的混合热力混合模拟反射,使50多个卫星的星座的运行进度接近最佳。

与机器学习的整合

新兴研究集成机器学习(ML])来指导热力搜索。ML模型不使用通用扰动,而是根据实例的特点预测有希望的变量固定或有希望的邻里。 学习驱动的热力[对于重复模式的经常性工程问题(例如每周生产规划)特别有希望。例如,神经网络可以预测在大型邻里搜索中哪些变量应当优先,将搜索时间缩短一半,而不造成质量的可测损失。

未来方向

下一代工程IP的heuristics可能涉及自适应算法,即调制参数在线,组合解析器[,选择苍蝇上最好的heuristic,[]quantum-inspirted methods[](类似于模拟在量子肛门上),以某些受限的问题为主. 推进网络物理系统(自主的车辆,智能的网格)的实时优化,要求有不仅快速而且强于噪音和部分数据的huristics.

基准库的标准化(如MIPLIB 2017])通过允许公平比较来加速了开发. 随着工程软件越来越多地采用IP解析器作为核心组件,"热度"和"精确度"的区分正在模糊;现代解析器如古罗比和CPLEX已经将许多这些热度(可行性泵,RINS,局部分支)作为默认策略纳入其中. 工程师可以利用这些强大的工具而无需从零开始执行,但理解背后的热度对于调参数和诊断性能问题至关重要.

简言之,先进的heuristic并不是精确方法的替代,而是让工程师能够解决以前无法解决的问题的补充武器库。 通过了解元器件、邻里搜索和混合体的景观,工程师可以开发或选择正确的heuristic来应对其具体的整数编程挑战 — — 实现现代工程要求的解决方案质量和计算速度的平衡。