エンジニアリングにおける第一次受注の差分

差分式は、多くの物理的法が書かれている言語です。それらの中で、第一線の差分式は、ほぼすべてのエンジニアリング分野における動的システムモデリングの基礎を形成しています。ホットエンジンブロックが電子フィルターの応答を設計するためにクールな方法の予測から、これらの式を設定し、解決する能力はコアスキルです。このガイドは、第一線式差分程を解決し、具体的なエンジニアリング例を使用して、実用的なアプリケーションを探求するための重要な方法に展開します。

第一次注文差分は?

第一次項式は、未知の関数y(])]x)を最初の派生物[]]]dy/dxに関連付けます。一般的な形式は、

ダイ/dx = f(x, y)

関数 [[f]] は、両方の []x] と ]y[]]] で線形または非線形であることができます。 式の順序は、最も高い派生物的存在を指します。最初の派生物のみが現れているため、それは最初の-順序と呼ばれます。 これらの式は、変化のレートを記述します - 温度の崩壊、電流の上昇、化学的成長、または温度の変動の差の変動、または変化の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の変動の発生率[FLTFLTFLTF] または変化の差は、または変化の差の差分[FLTF] または変化の変動の変動の差の変動の変動の差の変動の変動の変動の差の変動の変動の変動の変動

例えば、ニュートンの冷却状態の法則は、オブジェクトの温度T]の変動率がオブジェクトとその環境の違いに比例している。これは、最初の順並び方程式に直通するt])は、オブジェクトとその環境の違いに比例している。[FLT:]dT/dt = –k(T – [FLT]][FLT]][FLT]][FLT]][FLT]][FLT][FLT][FLT]][F][FLT]][F][F]][FLT][F][F][F][FLT]]][FLT][F]]][F][FLT][FLT][FLT][F]]][F][F[F][F[F][FLT[F[F[FLT][F]]]][F]]]]]]]]]]

第一次受注分別式を解決するための方法

いくつかの井戸-確立された技術は、特定の構造形態に各適用された第一次式を解決するために存在します。 これらの方法のマスターは、エンジニアが手元で式のための右のツールを選ぶことを可能にします。

分離可能な式

第一次式式は[]]]の関数のプロダクトとして書かれることができるなら[[のxおよび]の関数の]の関数である:

[] ダイ/dx = g(x)・h(y)

ソリューションは、両側を後押しして統合することで得られる:

- - [H(Y)] - [H(Y)] - [H(Y)] - [H(Y)] - [H(Y)] - [H(Y)] - [H(Y)] - [H(Y)] - [H(W)] - [H(W)] - [H(W)] - [H(W)] - [H(W)] - [H(W)] - [H(W)] - [H(W)] - [H(W)] - [H(W)] - [H(W) - [H(W)] - [H(D(D)] - [H(D(D)] - [H(D(D) - [H(D) - [H(D)] - [H(D)] - [H(D(D)] - [H(D) - [H(D)] - [H(D)] - [H(D)] - [H(D) - [H(D(D)] - [H(D

統合体の評価後、可能な限り明示的にy[]を解決するか、または暗黙の形で溶液を残します。 分離可能な式は、放射線作用の崩壊や抵抗器を介してコンデンサの充電/排出などの成長と腐敗の問題にしばしば現れます。

[例:[]] 解決 ] dy/dx = 2xy]。 分離された変数:(1/y) dy = 2x dx[]。 統合: ln|y| = x2 + C。 [FLT:] [FLT:] [FLT:[FLT:]] [FLT:[FLT:]]]] [FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:]]]]]]]] [[[[[[[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[[[[FLT:[F]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

リニアファーストオーダー式

線形第一線式は標準的な形態を備えています:

[] ダイ/dx + P(x) y = Q(x)

[]Pと[Q[]はxのみの機能です。 このタイプの問題を解決するためのキーは、の統合因子]として定義されています。

μ(x)=e) チャンバー(x) dx ]

μ(x)による式の両側を合わせることは、左の側面をμ(x)の派生物に変えます]]]y]:

[d/dx [μ(x)] = μ(x) Q(x)]

収量を積むこと:

μ(x) y = μ(x) Q(x) dx + C

最後に、μ(x)で]y]を明示的に取得します。 リニア式は、RLおよびRC回路、一定の周囲温度の熱伝達、および第一線制御システム応答を含む多くの物理システムをモデル化します。

正確な評価

フォームの式 []M(x、y) dx + N(x、y) dy = 0 が呼び出されます 部分的な派生物が ] を満たしている場合、 と y = 夕食N/ ⁇ ] 。 その場合には、 潜在的な ANSI( ⁇ ) および 等しい および s の が異なる と s s が異なる と s s s s が、 s と s s s s s s s は、 s と s s s s s s s s s s と s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s

ベルヌーリの株式

Bernoulli 式は、フォームの非線形式です。

ダイ/dx + P(x) y = Q(x) yn[

ここで [n]は、0または1に等しい実質の番号です。 これは、置換]v = y1 - n[によって線形式に変換することができます。 この方法は、多孔質媒体または特定の化学反応のモデリングフローに役立ちます。

均質な第一次注文式

第一次式式は[]homogeneous]が関数f(x、y)が比率[]]]]]]y/x]の関数として表現できます。 つまり、]]dy/dx = F(y/x)は、置換の問題を変換する[FLT][FLT]]]]の代替法と[FLT]の変形]の[FLT]を[F]に変換します。 [FLT:[F]:[FLT:[F]:[F]:[F]の変形するような流体の変形の変形の変形の変形の変形の変形]は、および[F[FLT:[FLT:[FLT:[F]の変形の変形の変形の変形の変形の変形の変形]は、および[F[F]の変形]の変形]の変形]の変形の変形の変形の変形の変形の変形

エンジニアリングのアプリケーション

第一次種差分は、多くのエンジニアリングモデルのビルディングブロックです。以下は、主要な4つの分野から詳細な例です。

サーマルシステム:ニュートンの冷却法

流体媒体の固体オブジェクトの冷却は、ニュートンの冷却法に従います。

[]dT/dt = –k (T – T]∞]]])]

[[T]はオブジェクト温度、T]∞]は周囲温度であり、]k[は、表面面積と熱係数に応じて正の定数転送です。 これは、線形の順順式です。 初期条件]] [FLT:[FLT:]]] ]]は、表面面積と熱係数に応じて正の正の変換です。 [[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:] [F] [FLT:[F]] [[F]] [[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[F]]]]]] [[FLT:[F]]]] [[FLT:[FLT:[F]]] [[FLT:[F]]] [[FLT

T(t) = T[∞[] +(T0] - T∞[)])e[[[ - ]

エンジニアは、冷却フィンの設計、電子機器の熱時間定数を推定し、熱処理中の材料の温度履歴を予測するために、この式を使用します。

電気回路:RCの遮断の応答

電圧源[]V[]s[](t)]]、コンデンサー電圧[v]]c[(t)]サティ:

RC dv]]c]/dt + vc = V[s[](t)[

これは線形第一次式です。一定したステップ電圧[V]s] = V0]と初期[[v]]=]]]= 0、溶液は:

vc[]](t) = V0(1 - - ])[[]]

製品の[RC]は、コンデンサの充電を素早く特徴付ける時間定数です。RC回路はタイミング回路、フィルタ、信号調整でユビキタスです。

流体力学:連続撹拌式タンク反応器(CSTR)

完全に混合されたタンク原子炉では、化学種のための質量バランスは、次のようになります。

[]V dC/dt = Q (C[]]]]) - C) - k C V

Vは、ボリューム、[Q]の体積流量、C濃度、[]]C[[]]]]]]の体積流量、のインレット濃度、および[K]]の濃度、]]C[[FLT:]]]]]]の[FLT:[FLT:[FLT:]の推定速度は、および[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:]の応答速度を、]の応答速度を、]の応答速度を、および[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:]の量、]の量、]の量、]の

制御システム: 第一次-順序システム応答

単純サーモスタットや、過失のモーターなどの多くの制御システムは、第一次システムとしてモデル化されます。

τ dy/dt + y = K u(t)

ここでは[τ]は、一定時間(])K]は、着実な状態のゲイン、u(t)])の入力です。 ユニットステップ入力の溶液] = 1は、ゼロ初期条件で[LT]]]]u(]]]]][FLT:[FLT:]]]]]]]]][[FLT:[[FLT:]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[FLT:[FLT:[[[[[FLT:]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[

例:オブジェクトの冷却 - 完全なソリューション

典型的な問題で作業しましょう。200°Cの金属部分は25°Cのお部屋に配置されます。冷却定数]k] = 0.02分〜1。30分後に温度を見つけて50°Cに達する必要があります。

ステップ1 - 式と初期条件[

差動式: []]dT/dt = –0.02 (T – 25)]], T(0) = 200].

[ステップ2 – 統合因子メソッドを使用して解決する]

式は線形です: []]dT/dt + 0.02 T = 0.5。 積分係数 ]μ(t) = e - 0.02 dt[]] = e]] ] ]。

ステップ3 – 複数重統合[

[]d/dt [e0.02t] T ] = 0.5 e 0.02t [[FLT:] e]] T = T = .02t[FLT] [FLT: [FLT:[FLT:[FLT:] [[FLT:[FLT:]]] [[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[FLT:[F]]]]] [[FLT:[FLT:[F]]]] [[FLT:[FLT:[FLT:[F]]] [[FLT:[F]] [[[[FLT:[[F]]]] [[F]] [[FLT:[F]]] [[FLT

ステップ4 - 初期条件[を適用]

T(0) = 200] → 200 = 25 + C → C = 175]。 [T(t) = 25 + 175 e - 0.02t ]]。

ステップ5 - 30分後の温度[

[]T(30) = 25 + 175 e[–0.6]] ≈ 25 + 175 × 0.5488 = 121.0°C。

[ステップ6 - 50°C[に達する時間]

[[]50 = 25 + 175 e–0.02t≈]]→e–0.02t[] = 25/175 ≈ 0.1429]]]。 自然ログを取る:–0.02t = ln(0.1429) - [FLT:] - [FLT:] - [FLT:] - [FLT:] - [FLT:] - [FLT:] - [[FLT:] - [FLT:] - [[FLT:] - [FLT:] - [FLT:[FLT:] - [[F] - [[FLT:] - [[FLT:] - [FLT:] - [FLT:] - [[FLT:] - [[F] - [[F] - [[FLT:] - [[FLT:] - [[FLT:] - [

このソリューションは、現実の行動を予測し、エンジニアリングの決定を行うための差分的な方程式の力を示しています。

コンテンツ

第一次差分式は、すべてのエンジニアの数学ツールキットで主流です。変数の分離をマスターすることにより、統合因子メソッド、正確な式、およびBernoulli置換、エンジニアは、熱、電気、流体、制御システムの動的動作をモデル化し、分析することができます。上記のステップバイステップ例は、これらのメソッドが、実際の予測に抽象的な式を変換する方法を示しています。これらの技術を使用して継続した慣行は、より複雑なシステムの設計と研究に必要な複雑なシステムに取り組むために、より複雑な作業を組み込むことができます。

さらなる読書のために、これらのリソースを探索: ]MIT OpenCourseWare - 差動式]、 ]]Khan Academy - ファーストオーダーの差動式、 [[]]]Paul's Online Math Note – 差動式。